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2018届湖北省八校高三上学期第一次联考(12月)数学(理)试题 含答案


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2018 届高三第一次联考

数学试题(理)
一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。) 1.已知集合 M ? { y y ? x ? x , x ? R}, N ? ? y y ? ( ) x , x ? R ? ,则(

? ?

1 3

? ?



A. M ? N

B. N ? M )

C. M ? CR N

D. CR N ? M

2. 复数 z ? (1 ? 2i)(2 ? i) 的共轭复数为( A.- 5i B. 5i

C. 1 ? 5i

D. 1 ? 5i

3. 将函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? 则 m 的最小值是( A. ) B.

?
3

) 的图像向右平移 m(m ? 0) 个单位后得到的图像关于原点对称, 2? 3 5? 6


? 6

? 3

C.

D.

2 4. 已知函数 f ( x) ? x ? log2 x ,则不等式 f ( x ? 1) ? f (2) ? 0 的解集为(

(??, ?1) ? (3, ??) A.

( ??, ?3) ? (1, ??) B.

(?3, ?1) ? (?1,1) C.

( ?1,1) ? (1,3) D.

5. 已知命题 p : ?a, b ? R , a ? b 且 命题的是( ) A. p ? q B. ? p ? q

1 1 3 ? ,命题 q : ?x ? R , sin x ? cos x ? .下列命题是真 a b 2
C. p ? ? q D. ?p ? ?q

6. 将正方体(如图 1)截去三个三棱锥后,得到如图 2 所示的几何体,侧视图的 视线方向如图 2 所示,则该几何体的侧视图为( )

7. 下列说法错误的是(



A. “函数 f ( x ) 的奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的充分不必要条件. B.已知 A、B、C 不共线,若 PA ? PB ? PC ? 0 则 P 是△ ABC 的重心. C.命题“ ?x0 ? R , sin x0 ? 1 ”的否定是: “ ?x ? R , sin x ? 1 ”. D.命题“若 ? ?

??? ? ??? ? ??? ?

?

?
3

,则 cos ? ?

1 1 ? ”的逆否命题是: “若 cos ? ? ,则 ? ? ”. 2 2 3


8. 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 ? 10, S30 ? 130 ,则 S40 ? (

A.-510 B.400 C. 400 或-510 D.30 或 40 9. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶,算法至今仍是多项式求值比较先进的算法. 已知 f ( x) ? 2018x 2017 ? 2017 x 2016 ? ?? ? 2 x ? 1 , 下列程序 框图设计的是求 f ( x0 ) 的值,在“ 是( ) A. n ? i B. n ? i ? 1 C. n ? 2018 ? i D. n ? 2017 ? i 10. 已知 3? ? ? ? 4? ,且 ”中应填的执行语句

1 ? cos ? 1 ? cos ? 6 ,则 ? ? 2 2 2
37? 47? 或 12 12 13? 15? 或 4 4

? ?(
A.



19? 23? 或 6 6 ??? ? ??? ??? ? ? 11. 已知△ ABC 中, a, b, c 为角 A, B, C 的对边, aBC ? ( 6 ? 2)bCA ? ( 6 ? 2)cAB ? 0 ,
B. C. D. 则△ ABC 的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定 12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相 等的部分,我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误 命题的个数是( ) ..

10? 11? 或 3 3

P 1 : 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一; P2 : 如果一个函数是两个圆的太极函数,那么这两个圆为同心圆; P3 : 圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 的一个太极函数为 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ;

P4 : 圆的太极函数均是中心对称图形; P5 : 奇函数都是太极函数; P6 : 偶函数不可能是太极函数.
A. 2 B. 3 C.4 D.5 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已 知 平 面 向 量 a ? (2,1), b ? (2, x). 若 a 与 b 的 夹 角 为 ? , 且 (a ? 2b ) ? ( a ? b, ) 则

?

?

?

?

?

?

?

?

x?

. .

14.曲线 y ? x 2 与直线 y ? 2 x 所围成的封闭图形的面积为

15. 已 知 等 差 数 列 {an } 是 递 增 数 列 , 且 a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a7 ? 3a3 ? 8 , 则 a4 的 取 值 范 围 为 .

16. f ( x ) 是 R 上可导的奇函数, f ?( x) 是 f ( x ) 的导函数.已知 x ? 0 时 f ( x) ? f ?( x), f (1) ? e 不 等式 0 ? f ln(x ? 1? x 2 ) ? e ln(x?

?

?

1 ? x2 )

的解集为 M ,则在 M 上 g ( x) ? sin 6 x 的零点的个数

为 . 三、解答题(本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(12 分)已知向量 a ? ? sin(

?

? ?

?
2

? x ), 3 sin (

? ? 3? ? ? ? x) ? , b ? (sin x,cos x), f ( x) ? a ? b 2 ?

(1)求 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的取值集合 M ; (2)在△ ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 的对边若 值范围. 18.(12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, an?2 ? 4an?1 ? 4an (1)求证 {an?1 ? 2an } 是等比数列; (2)求 {an } 的通项公式.
0 19.(12 分)四棱锥 S ? ABCD 中, AD ∥ BC , BC ? CD, ?SDA ? ?SDC ? 60 , AD ? DC

C ? ? ? M 且 c ? 1 ,求△ ABC 的周长的取 2 4

?

1 1 BC ? SD , E 为 SD 的中点. 2 2 (1)求证:平面 AEC ? 平面 ABCD ; (2)求 BC 与平面 CDE 所成角的余弦值.

20.(12 分)已知某工厂每天固定成本是 4 万元,每生产一件产品 成本增加 100 元,工厂每件产品的出厂价定为 a 元时,生产 x 件产 品的销售收入是 R ( x ) ? ?

1 2 x ? 500 x (元) , P ( x ) 为每天生产 x 件产品的平均利润(平均利润 4



总利润 ).销售商从工厂每件 a 元进货后又以每件 b 元销售, b ? a ? ? (c ? a ) ,其中 c 为最 总产量

高限价 (a ? b ? c ) , ? 为销售乐观系数,据市场调查, ? 是由当 b ? a 是 c ? b , c ? a 的比例中 项时来确定. (1)每天生产量 x 为多少时,平均利润 P ( x ) 取得最大值?并求 P ( x ) 的最大值; (2)求乐观系数 ? 的值; (3)若 c ? 600 ,当厂家平均利润最大时,求 a与b 的值. 21.(12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? ax 2 ? bx, x ? 1 是 f ( x ) 的一个极值点. (1)若 x ? 1 是 f ( x ) 的唯一极值点,求实数 a 的取值范围; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)若存在正数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? a ,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答。如果多做,则按所做第一个题目计分。 22.(10 分)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ? ?
? 2 2 cos ? x ?2? t ? , 的参数方程为 . C ? 2 ( t 为参数) 2 ? sin 2 ? ?y ? 2? 2 t ? ? 2

(1)将曲线 C1 与 C2 的方程化为直角坐标系下的普通方程; (2)若 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,求 AB . 23.(10 分)已知 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 1 . (1)求 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上的最大值 m 及最小值 n . (2) a, b ? R ,设 am ? bn ? 1 ,求 a ? b 的最小值.
2 2

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2018 届高三第一次联考

数学参考答案(理)
一、选择题 C A B C A—— D A B C D—— B C 二、填空题 13. ?

1 2

14.

4 3

15. ? ?4,11?

16. 2

三、解答题 17.(1) a ? (cos x ? 3cos x) ,

?

? ? f ( x) ? a ? b ? sin x cos x ? 3cos2 x
1 3 3 ? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x- ) ? 2 2 2 3 2
? f ( x ) 的最大值为 1 ?
此时 2 x ?

3 2
,
即 x ? k? ?

??????4 分

?
3

? 2k? ?

?
2

5? k?z 12
??????6 分

5? ? ? ? M ? x x ? k? ? ,k ? z? 12 ? ?
(2)?

C ? ? ?M 2 4

?

C ? 2k? ?

?

C ? 5? ? ? k? ? 2 4 12 ?C ?

3

,

? C ? (0, ? )

?
3

??????7 分

? c ? 1 由 c2 ? b2 ? a 2 ? 2ab cos c 得 c2 ? a 2 ? b2 ? ab

? (a ? b)2 ? 3ab ? (a ? b)2 ?
又? a ? b ? 1

3(a ? b)2 (a ? b)2 ? 4 4

?a ? b ? 2

??????10 分

??????11 分

故 2 ? a ? b ? c ? 3 ,即周长 ? 的范围为 ? ? ? 2,3? . ??????12 分

18.(1)由 an?2 ? 4an?1 ? 4an 得

an?2 ? 2an?1 ? 2an?1 ? 4an ? 2(an?1 ? 2an )

? 22 (an ? 2an?1 ) ? ? ? 2n (a2 ? a1 ) ? 0
? an ?2 ? 2an ?1 ?2 an ?1 ? 2an
??????6 分

??an?1 ? 2an ? 是等比数列.

(2)由(1)可得 an?1 ? 2an ? 2n?1 (a2 ? 2a1 ) ? 2n

?

an ?1 an 1 ? ? 2 n ?1 2 n 2

1 1 ? an ? ? n ? 是首项为 ,公差为 的等差数列 2 2 ?2 ? ? an n ? 2n 2
??????12 分

an ? n ? 2n?1 .

19.(1)?E 为 SD 的中点, AD ? DC ?

1 SD, ?SDA ? ?SDC ? 600 2

? ED ? EC ? AD ? DC.
设 O 为 AC 的中点,连接 EO, DO 则 EO ? AC

? AD // BC, BC ? CD
又 OD ? OA ? OC

? A D? B C .

??EOC ? ?EOD

从而 EO ? OD

? AC ? ABCD DO ? 面 ABCD A C? D O ?0 ? EO ? 面 ABCD ? EO ? 面 AEC ?面 EAC ? 面 ABCD ??????6 分
(2)设 F 为 CD 的中点,连接 OF、EF ,则 OF 平行且等于

1 AD 2

? AD ∥ BC ?EF ∥ BC 不难得出 CD ? 面 OEF (? EO ? CD FO ? CD )

?面 ECD ? 面 OEF
OF 在面 ECD 射影为 EF , ?EFO 的大小为 BC 与面 ECD 改成角的大小
设 AD ? a ,则 OF ?

a 2

E F?

3 a 2

c os ? EFO ?

OF 3 ? EF 3 3 .(亦可以建系完成) ??????12 分 3

即 BC 与 ECD 改成角的余弦值为

20.依题意总利润= ? =?

1 2 x ? 500 x ? 100 x ? 40000 4

1 2 x ? 400 x ? 40000 4 1 ? x 2 ? 400 x ? 40000 1 40000 ? P( x ) ? 4 ?? x? ? 400 x 4 x 1 40000 ? ?200 ? 400 ? 200. 此时 x ? 4 x
x ? 400

即,每天生产量为 400 件时,平均利润最大,最大值为 200 元 ??????6 分 (2)由 b ? a ? ? (c ? a ) 得 ? ?

b?a c?a

? b ? a 是 c ? b, c ? a 的比例中项

?(b ? a)2 ? (c ? b)(c ? a)
两边除以 (b ? a) 得 1 ?
2

( c ? a ) ? (b ? a ) c ? a c?a c?a ?( ? 1) b?a b?a b?a b?a

?1 ? (

1

?

? 1) ?

1

?

解得 ? ?

5 ?1 . 2

??????8 分

(3)厂家平均利润最大,? a ? 每件产品的毛利为 b ? a

40000 40000 ? 100 x ? P( x ) ? ? 100 ? 200 ? 400 元 x 400

?b ? a ? ? (c ? a) ? 100( 5 ? 1)

?b ? 100( 5 ? 3) 元
? a ? 400 (元) , b ? 100( 5 ? 3) 元. ??????12 分

21.(1) f ?( x) ? ( x ? 1)e x ? 2ax ? b ,

? x ? 1 是极值点

? f ?( x) ? 0 ,故 2a ? b ? 0 ,

b ? ?2a

f ?( x) ? ( x ? 1)(e x ? 2a)
? x ? 1 是唯一的极值点

?e x ? 2a ? 0 恒成立或 e x ? 2a ? 0 恒成立
由 e ? 2a ? 0 恒成立得 2a ? ?e ,又 e ? 0
x x x x x x

?a ? 0
x

由 e ? 2a ? 0 恒 成 立 得 2a ? ?e , 而 ? e 不 存 在 最 小 值 , ? e ? 2a ? 0 不 可 能 恒 成 立 .

?a ? 0

??????4 分

(2)由(1)知,当 a ? 0 时, x ? 1 , f ?( x) ? 0 ;

x ?1 ,

f ?( x )? 0 .

? f ( x ) 在 ( ??,1) 递减,在 (1, ??) 上递增.
当?

e ? a ? 0 时, ln(?2a ) ? 1 2
x ? 1 , f ?( x) ? 0 .

x ? ln( ?2a ) , f ?( x) ? 0 ; ln(?2a) ? x ? 1 , f ?( x) ? 0 ;

? f ( x ) 在 ( ??,ln( ?2a )) 、 (1, ??) 上递增,在 (ln( ?2a),1) 上递减。
当a ? ?

e 时, f ( x ) 在 ( ??,1) 、 (ln( ?2a ), ??) 上递增,在 (ln( ?2a ),1) 递减。 2

a??

e 时, f ( x ) 在 R 上递增. ??????8 分 2

(3)当 a ? 0 时, f (1) ? ?e ? a ? a ,满足题意;

e ? a ? 0 时, f (1) ? ?e ? a ? a ,满足题意; 2 e 当 a ? ? 时,由(2)知需 f (0) ? a 或 f (ln( ?2a )) ? a , 2
当? 当 f (0) ? a 时, a ? ?2 ,而 f (1) ? ?e ? a ? a ,故存在 x1 ? 0 使得 f ( x1 ) ? a ,这样 x ? (0, x1 ]

时 f ( x ) 的值域为 ( ?2, a ] 从而可知满足题意 当 f (ln( ?2a )) ? a 时,得 ln( ?2a ) ? 1 或者 ln( ?2a ) ? 3 解得 a ? ? 当a ? ?

e3 ; 2

e 时, f (0) ? ?2 可得满足题意. 2

? a 的取值范围 a ? ?

e3 或 a ? ?2 . ??????12 分 2

22.(1)曲线 C1 的直角坐标系的普通方程为 y 2 ? 2 x 曲线 C2 的直角坐标系的普通方程为 x ? y ? 4 (2)将 C2 的参数方程代入 C1 的方程 y 2 ? 2 x 得 ??????5 分

(2 ?

2 2 2 t ) ? 2(2 ? t ) 得: 2 2

1 2 t ? 3 2t ? 0 2
解得 t1 ? 0, t2 ? 6 2

? | AB |?| t1 ? t2 |? 6 2 . ??????10 分
x ?1 ?3 x 1 ? 23.(1)? f ( x ) ? ? x ? 2 ? ? x ? 1 2 ? ?3 x ? 1 x?? 2
3 ? x ? [?1,1] 时, f ( x ) max ? 3, f ( x ) min ? . ??????5 分 2 3 (2) am ? bn ? 3a ? b ? 1 2 3 (32 ? ( )2 )( a 2 ? b2 ) 4 1 4 2 2 2 2 2 ?a ? b ? ? ? ; a ? b 的最小值为 . 3 9 45 45 32 ? ( ) 2 9? 2 4

??????10 分


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