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湖北黄冈中学20102011学年度高二上学期期末


湖北黄冈中学 2010—2011 学年度高二上学期期末考试

数学理试题
命题:胡华川 审稿:程金辉 校对: 袁 进

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“ ?x ? Z ,x2+x+m<0”的否定是( ) A.存在 x∈Z 使 x2+x+m≥0 B.不存在 x ? Z 使 x2+x+m≥0 C. ? x ? Z ,x2+x+m≤0 D. ? x ? Z ,x2+x+m≥0 2.下列说法错误的是( ) A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系; ^ ^ ^ B.线性回归方程对应的直线y=bx+a至少经过其样本数据点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点; C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; D.在回归分析中, R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好. 3.两个正态分布 N (?1,?12 )(?1 ? 0) 和 N (?2 , ? 22 )(? 2 ? 0) 对应的曲线如图所示,则有( )
2 2

?1 ? ?2 ,?1 ? ? 2 B. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 C. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 D. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2
A.
2 2

y
N ( ?1 , ? 12 )

N ( ?2 , ? 2 2 )

x 4.对实数 a, b, c ,命题“若 a ? b ,则 ac ? bc ”,在这个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中,真命题的个 数为( ) A.2 B .0 C. 4 D.3 5.设语句甲:“事件 A 与事件 B 是对立事件”,语句乙:“P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知随机变量 X 的分布列如下表,随机变量 X 的均值 E ( X ) ? 1 ,则 x 的值为( A.0.3 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.24


X

0

1

2

P
7.已知等式 x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ? 1)3 ? b2 ( x ? 1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 , 定义映射 f : (a1 , a2 , a3 , a4 ) ? (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,则 f (4,3, 2,1) ? ( A. (1, 2,3, 4) B. (0,3, 4,0) C. (0, ?3, 4, ?1) ) D. (?1, 0, 2, ?2)

0.4

x

y

8.抛掷红、蓝两颗骰子,若已知蓝骰子的点数为 3 或 6 时,则两颗骰子点数之和大于 8 的概率为(



1 A. 3

1 B. 2

5 C. 36

5 D. 12

9.现有四所大学进行自主招生,同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁 4 位学生发出录取通知书.若这 4 名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读, 则仅有 2 名学生被录取到同一所大学的概率为( ) A.

1 2

B.

9 16

C.

11 16

D.

7 24

2, ?, n) 10. 设 a1 ,a 2 ,…,a n 是 1,2,…,n 的一个排列,把排在 a i 的左边 且比 a i 小 的数的个数称为 a i 的顺序数 ( i ? 1, . 如 .. .

在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在由 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字构成的全排列 中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为( ) A.48 B. 96 C. 144 D. 192

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.除夕夜,一位同学希望给他的 4 位好友每人发一条短信问候,为节省时间看春晚,他准备从手机草稿箱中直接选取已有 短信内容发出.已知他手机草稿箱中只有 3 条适合的短信,则该同学共有 种不同的发短信的方法.

5 2 ;命题 q: ?x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0 ,给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题; 2 ②命题“p∧ ? q”是假命题;③命题“p∨q”是真命题;④命题“ ? p∨ ? q”是假命题,其中正确的是_____________. (填写正确
12.已知命题 p: ?x ? R ,使 sin x ? 的序号) 13. 如图, 半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆. 现 抛到此纸板上,使硬币整体随机平落在纸板内(硬币不出纸板边界) ,则硬币落 率为 . 14.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p=_______时, 大,其最大值为________. 15.对任意正整数 n 定义双阶乘 n !! 如下:当 n 为偶数时, n!! ? n(n ? 2)(n ? 4) ??? 4 ? 2 ; 当 n 为奇数时, n!! ? n(n ? 2)(n ? 4) ??? 3 ?1 ,现有如下四个命题: ① (2011!!)(2010!!) ? 2011! ; ② 2010!! ? 2 ?1005!; ③设 1010!! ? a ?10k (a, k ? N*) ,若 a 的个位数不是 0,则 k ? 112;
nm n1 n2 ④设 15!! ? a1 ( ai 为正质数, ni 为正整数 (i ? 1, 2,?, m) ) ,则 (ni )max ? 4 ; a2 ?am

将半径为 1 cm 的一枚硬币 下后与小圆无公共点的概 成功次数的标准差 的值最 ...

则其中正确的命题是_________________(填上所有正确命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0,对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f ( x) ? (3 ? 2a) 是增函数,
x

若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

2 17. (本小题满分 12 分)若 X ~ N (? , ? ) ,则 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P( ? ? 2? ? X ?

? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974 .在 2010 年黄冈中学理科实验班招生考试中,有 5000 人参加考试,
考生的数学成绩服 X ~ N (90,100) . (Ⅰ)在 5000 名考生中,数学分数在 (100,120) 之间的考生约有多少人; (Ⅱ)若对数学分数从高到低的前 114 名考生予以录取,问录取分数线为多少?

1 2? ? 18. (本小题满分 12 分)在 ? x ? 2 ? 的展开式中,第 3 项的系数与倒数第 3 项的系数之比为 . 16 x ? ? (Ⅰ)求 n 的值;
(Ⅱ)展开式的哪几项是有理项(回答项数即可 ) ; ...... (Ⅲ)求出展开式中系数最大的项.

n

19. (本小题满分 13 分)袋中有大小相同的三个球,编号分别为 1、2 和 3,从袋中每次取出一个球,若取到的球的编号为偶 数,则把该球编号加 1(如:取到球的编号为 2,改为 3)后放回袋中继续取球;若取到球的编号为奇数,则取球停止,用 X 表示所有被取球的编号之和. (Ⅰ)求 X 的概率分布;

(Ⅱ)求 X 的数学期望与方差.

20. 某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示: 积极参加班级 工作 不太主动参 加班级工作 合计

18 学习积极性高 19 学习积极性一般 合计 (Ⅰ)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概 率是

50

12 ,请完成上面的 2 ? 2 列联表; 25

(Ⅱ)在(1)的条件下,试运用独立性检验的思想方法分析:在犯错误概率不 超过 0.1%的情况下判断学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关?并说 明理由.

P( K 2 ? ko )
k0

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10 .828

21. (本小题满分 14 分)有人玩掷正四面体骰子走跳棋的游戏,已知正四面体骰子四个面上分别印有 A, B, C , D ,棋盘上标 有第 0 站、第 1 站、第 2 站、…、第 100 站.一枚棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次骰子,若掷出后骰子为 A 面,棋子向前 跳 2 站,若掷出后骰子为 B, C , D 中的一面,则棋子向前跳 1 站,直到棋子跳到第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失败大 本营)时,该游戏结束.设棋子跳到第 n 站的概率为 P . n (n? N ) (Ⅰ)求 P 0,P 1,P 2; (Ⅱ)求证: Pn ? Pn ?1 ? ?

1 ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) ; 4

(Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率.

参考答案
1. 【答案】D 解析:由定义知选 D.

? ?a ? 经过样本点的中心( x , y ),可能不经过(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的 2. 【答案】B 提示:回归直线方程 ? y ? bx
任何一点,这些点分布在这条直线附近. 3. 【答案】C 解析:显然 ?1 ? ?2 ,正态曲线越“瘦高”,表示取值越集中, ? 越小.

4. 【答案】A 解析:若 a>b,c2=0,则 ac2=bc2.∴原命题为假;若 ac2>bc2,则 c2≠0 且 c2>0,则 a>b.∴逆命题为真;又∵ 逆命题与否命题等价,∴否命题也为真;又∵逆否命题与原命题等价, ∴逆否命题为假. 5. 【答案】A 提示:若事件 A 与事件 B 是对立事件,则 A∪B 为必然事件,再由概率的加法公式得 P(A)+P(B)=1.设掷一 枚硬币 3 次,事件 A:“至少出现一次正面”,事件 B:“3 次出现正面”,则 P(A)= B 不是对立事件. 6. 【答案】B 提示: x ? y ? 0.6 , E ( X ) ? x ? 2 y ? 1 ,解得 x ? 0.2 . 7. 【解析】 :C 依题意得 a1 ? C4 ? C3 b1 ,得 b1 ? 0 ,同理有 a2 ? C4 ? C3 b1 ? b2 ,得 b2 ? ?3 ,再利用排除法选 C.
3 3 2 2

7 1 ,P(B)= ,满足 P(A)+P(B)=1,但 A、 8 8

8. 【答案】 :D 提示:记 A:“蓝骰子的点数为 3 或 6”,A 发生时红骰子可以为 1 ? 6 中任意一个, n( A) ? 12 ,记 B:“两颗 骰子点数之和大于 8”,则 AB 包含 (3,6),(6,3),(6, 4),(6,5),(6,6) 5 种情况,所以 P( B | A) ?

n( AB) 5 ? . n( A) 12

9. 【答案】B

提示:所有等可能的结果相当于甲、乙、丙、丁四位学生任选四所大学之一,共有 4 种,仅有两名学生被

4

2 2 3 录取到同一所大学,可先把四个同学分成 1+1+2 三份,有 C4 种分法,再选择三所大学就读,即有 C4 A4 种就读方式.故所求

的概率为

2 3 C4 A4 9 ? . 4 4 16

3 2 1 4 10. 【答案】 C 提示: 分析知 8 必在第 3 位, 7 必在第 5 位; 若 5 在第 6 位, 则有:A4 若 5 在第 7 位, 则有 C4 A2 ? 48 , A4 ? 96 ,

合计为 144 种. 11. 【答案】81 提示:给每一位好友都有 3 种选择,因此共有发短信的方法 3 ? 81种. 12. 【答案】②③ 提示:因 p 为假命题,q 为真命题,故非 p 是真命题,非 q 是假命题;所以 p∧q 是假命题;p∧非 q 是假 命题;p∨q 是真命题;命题“ ? p∨ ? q”是真命题.
4

13. 【答案】 : 14 . 【答案】

77 81

提示:几何概型问题, P ?

? ? 92 ? ? (1 ? 1)2 77 ? . ? (9)2 81

1 ;5 2

解 析 : 设 成 功 次 数 为 随 机 变 量 ? , 服 从 二 项 分 布 B(100, p) , 要 使 标 准 差 最 大 , 即 须 方 差

1 时满足. 此时 ? (? ) ? D(? ) ? 5 . 2 15. 【答案】①④ 提示:由定义 (2011!!)(2010!!) ? (2011? 2009 ??? 3?1)(2010 ? 2008 ??? 4 ? 2) ,∴①为真命题;

D(? ) ? npq ? 100 p(1 ? p) 最大,当 p ?

2010!! ? 2010 ? 2008 ??? 4 ? 2 ? 21005 ?1005! ,∴②为假命题;由条件就是要求从个位数算起到第 1 个不是 0 的数字 之间 1010 ?1008 ?? ? 2 的尾数中共有多少个连续的 0,也即为 1010 ?1000 ? 990 ?? ? 20 ? 10 中各数的尾数所含 0 的 个数的总和,共有 11? 9 ? 12 ? 1 ? 112 个,而 5 ? 2 还能产生 0(如 50 ? 2 等)∴③是假命题; 15!! ? 15 ?13 ?11? 9 ? 7 ? 5 ? 3 ?1 ? 13 ?11? 7 ? 52 ? 34 ,∴④为真命题,∴正确的命题是①④. 2 16.解:设 g ( x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,由于关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x∈R 恒成立,
所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 故 Δ= 4a ? 16 ? 0 ,∴ ?2 ? a ? 2 . ………………………………………………3 分 又∵函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,∴ 3 ? 2a ? 1 ,∴ a ? 1 .………………………6 分 由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假. …………………………7 分
2

若 P 真 q 假,则 ? 若 p 假 q 真,则 ?

? ?2 ? a ? 2 ∴1 ? a ? 2 ; ?a ≥ 1,

………………………………………9 分

?a ≤ ?2, 或a ≥ 2 ∴ a ? ?2 ;…………………………………………11 分 ?a ? 1, 综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1 ? a ? 2 或 a ? ?2 .…………………………12 分 1 17.解: (Ⅰ) p(100 ? X ? 120) ? [ p (90 ? 30 ? X ? 90 ? 30) ? p (90 ? 10 ? X ? 90 ? 10)] 2 1 ? (0.997 ?4 0 . 6 8?2 6 ) ; 0. 1574 …………………………5 分 2 数学分数在 (100,120) 之间的考生约有: 5000 ? 0.1574 ? 787 人;………………6 分 114 1 ? 0.0228 ? [1 ? p(70 ? X ? 110)] , (Ⅱ)注意到 114 人占 5000 的比例为 P ? 5000 2
所以录取分数线应该在 110. ……………………………………………………………12 分 18.解: (Ⅰ)展开式第 3 项为 T3 ? C 倒数第 3 项是 Tn?2?1 ? C
n?2 n

2 n
2

? ?

? 2? x ?? 2 ? , ?x ?
6
n?2

2

? ?

? 2? x ?? 2 ? ?x ?

……………………(写出两个通项得 3 分)

2 2 Cn 2 1 所以有: ? n ?2 n ?2 ,解得 n ? 8 ;………………………………4 分 16 Cn 2

(Ⅱ)当 n ? 8 时, ? x ?

8? r 8? r ? 2 ? ?2 r 2? ? r r r 2 展开式的通项为 T ? C x ? ? C 2 x r ?1 8 8 ? 2? 2 ? x ? ? ?x ? 8?r ? 2r 为整数,此时 r 可以取到 0,2,4,6,8,……………………7 分 要为有理项则 2

8

? ?

r

所以有理项分别是第 1 项,第 3 项,第 5 项,第 7 项,第 9 项;………………8 分 1 ?2 ?C8r ? 2r ≥ C8r ?1 ? 2r ?1 ≥ ? ? ?r 9?r (Ⅲ)设第 r ? 1 项系数的最大,则 ? r r , ∴ , r ?1 r ?1 ? C ? 2 ≥ C ? 2 ? 1 2 8 ? 8 ? ≥ ?8 ? r r ?1 ?

解得: 5 ≤ r ≤ 6 ,……………………………………………………………10 分 故系数的最大的项是第 6 项和第 7 项,分别为 1792 x
? 17 2

, 1792 x

?11

……… 12 分

19. 解: (Ⅰ)在 X ? 1 时,表示第一次取到的 1 号球, P( X ? 1) ?

在 X ?3 时 , 表 示 第 一 次 取 到 2 号 球 , 第 二 次 取 到 1 号 球 , 或 第 一 次 取 到 3 号 球 ,

1 ;………………1 分 3

1 1 1 4 P( X ? 3) ? ? ? ? ;……………………………………………………4 分 3 3 3 9 在 X ? 5 时,表示第一次取到 2 号球,第二次取到 3 号球, 1 2 2 P( X ? 5) ? ? ? .…………………………………………………………6 分 3 3 9
X 的概率分布为…………………………………………………………………………………7 分
X
P
1 3 5

1 4 2 3 9 9 1 4 2 25 (Ⅱ) E ( X ) ? 1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? , ………………………………………………10 分 3 9 9 9 25 1 25 4 25 2 176 D( X ) ? (1 ? ) 2 ? (3 ? ) 2 ? (5 ? ) 2 ? .………………………13 分 9 3 9 9 9 9 81
20.解: (Ⅰ) 如果随机抽查这个班的一名学生,抽到积极参加班级工作的学生的概率是 生有

12 ,所以积极参加班级工作的学 25

12 ? 50 ? 24 人,以此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为 6,不太主动参加班级工作的人数为 26, 25

学习积极性高但不太主动参加班级工作得人数为 7, 学习积极性高的人数为 25, 学习积极性一般的人数为 25, 得到表格如下: 积极参加班 级工作 不太主动参 加班级工作 合计

18 7 25 学习积极性高 6 19 25 学习积极性一般 24 26 50 合计 ………………………………………………6 分 50× (18× 19-6× 7)2 150 (Ⅱ) k = = ≈11.5, 25× 25× 24× 26 13 ∵ k >10.828,∴有 99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系.……12 分 21.解: (1)依题意,得 P0 ? 1,P 1 ?

3 , .………………………………………2 分 4

P2 ?

1 3 3 13 ? ? ? ……………………………………………………4 分 4 4 4 16
1 Pn ? 2 ;第 4

(Ⅱ)设棋子跳到第 n 站(2≤n≤99)有两种可能:第一种,棋子先到第 n ? 2 站,又掷出后得到 A 面,其概率为 二种 ,棋子先到 第 n ? 1 站,又掷 出后得到 B, C , D 中 的一面,其 概率为

3 Pn ?1 ,由 于以上两种 可能是互斥 的,所以 4

3 1 Pn ?1 ? Pn ? 2 , 4 4 1 即有 Pn ? Pn ?1 ? ? ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) .……………………………………………………………9 分 4 1 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知数列 {P ,公比为 ? 的等比数列. 1 ?P 0 ? ? n ?P n ?1} 是首项为 P 4 4 Pn ?

1 ? 1? ? 1? ? 1? 于是有 P ?,P99 ? P98 ? ? ? ? . 1?P 0 ? ? ,P 2 ?P 1 ? ? ? ? ,P 3?P 2 ? ?? ? , 4 ? 4? ? 4? ? 4?
把以上各式相加,得
2 99 100 4? ? 1? ? ? 1? ? 1? ? 1? P99 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P0 ? ?1 ? ? ? ? ? . 5? ? 4? ? 4? ? 4? ? ? 4? ? ?

2

3

99

因此,获胜的概率为

4? ? 1? ?1 ? ? ? ? 5? ? ? 4?

100

? ? .………………………………………………14 分 ? ?


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