等比数列公开课_图文

§2.3.1 等比数列

回顾等差数列： 1．定义：

an?1 ? an ? d (常数) (n ? N )
a?b 且A ? 2

?

2 、等差中项 ：如果三个数a，A，b组成等差 数列，那么A叫做a和b的等差中项。

3、等差数列{an}的通项公式为：

an ? a1 ? (n ?1)d

引例：
(1) 如下图是某种细胞分裂的模型：

细胞分裂个数可以组成下面的数列：

1

2

4

8 16 …

(2):

庄子 曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思：“一尺长的木 棒，每日取其一半， 永远也取不完” 。这 样，每日剩下的部分 都是前一日的一半。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”，

那么，得到的数列是：

1 1 1 1 1， ， ， ， ， ? 2 4 8 16

(3)

3 1, 20, 20 , 20 , ?

2

4.银行利息按复利计算（利滚利） 本利和=本金×（1+利率）存期 例如：存入10000元，利率为1.98% 存期 年初本金 年末本利和（元）

第一年
第二年

10000
10000×1.0198

10000×1. 0198
10000×1.01982

第三年
第四年

10000×1.01982
10000×1.01983

10000×1.01983
10000×1.01984

各年末本利和组成数列: 2 10000×1. 0198, 10000×1.0198 , 3 4 10000×1.0198 10000×1.0198 , …

观察：
（1） 1，2，4，8，16 ?

以上4个数列有 什么共同特征？

1 1 1 1 ? （2） 1 ， ， ， ， ， 2 4 8 16
（3）

3 1, 20, 20 , 20 , ?
2

2

(4).10000×1. 0198, 10000×1.0198 , 3 4 10000×1.0198 , 10000×1.0198 , …
共同特征：从第二项起，每一项与它前面一 项的比 等于同一个常数； 我们给具有这种特征的数列一个名字——等比数列

二、新课讲解 （一）等比数列的定义： 1.等比数列： 一般地，如果一个数列从第二项

起，每一项与它前一项的比等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等 比数列的公比（常用字母“q”表示）。

练 习 一
判断下列数列中哪些是等比数列,哪些不是？

（1）3，6，12，24，… 是
（2）4，4，4，4，… （3）4，0，0，0，…

a1=3,q=2

是
不是

a1=4,q=1

思考1：如何用数学符号表示等比数列定义？

2.等比数列定义的符号语言： an ? q(q ? 0) , ( n≥2 )，其中为q非零常数 an ?1 或
an ?1 ? q （ n∈N+ ） an

思考2:类比等差中项的概念,如果三 个数a，G，b组成等比数列，
那么G叫做a和b的 等比中项。
G2 ? a ? b ? G ? ? a ? b

练 习二：
求下列两数的等比中项 ① 2，___ 8； ② -1，____ - 4； ?2 ?4

不存在 ③-12,_____,1.

思考3：

已知数列 3，6，12，24，…
在练习1中我们已经判断过此数列是等比数列。 a1=3，q=2

三、探究等比数列通项公式 此数列的第50项 a50=？我们该如何 求解呢？ 已知等比数列{an} , 首项是a1，公比是q 通项公式是___________;

探究:等比数列的通项公式
? 法一：递推法

等 差 数 列

a2 ? a1 ? d

a3 ? a1 ? 2d 类比

a4 ? a1 ? 3d ……

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

由此归纳等差数列

……

的通项公式可得：

由此归纳等比数列的通项公式可得：

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1q

n ?1

探究二.等比数列的通项公式：
? 法二：迭加法 迭乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +）an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

a2 ?q a1
a3 ?q a2

a4 ?q a3 ……

共n – 1 项

an ?q ×） an ?1

an ? q n ?1 a1

等比数列的通项公式： 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则

an ? a1q
例1. 在等比数列{an}中，

n ?1

注: 等比数列的通项公式中 ，an , a1 , n,q这四个变 量 ， 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 （1）已知a1=3，q=2，n=50，求an （2）已知a3=12，a4=18，求a1和a2

思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：

an ? 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成

an 8

·

1 n an ? ? 2 2

7

6
5 4

可见，这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上，如右图所示。

y ? ?2

x

·

3
2 1
0

·
·
1 2 3 4 n

结论： 等比数列?an ? 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点

课堂小结：
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d 等 比 数 列

an?1

an

?q

公差（比）

q叫公比 an+1=an q

定义变形
通项公式 一般形式

an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d

an=a1qn-1
an=amqn-m

作业：p53

A1

谢谢光临指导！
See you next time!

探究三.等比数列通项公式再认识
等比数列的通项公式还可以写成 a n－1 ? 1 ? q n ? cq n an=a1q q 当q是不为1的正数时，它是一个非零常 数与一个指数函数的乘积.

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0
●

等比数列的图象
●

（1）数列：1，2，4，8，16，…

an ? 2
●

n ?1

a1 ? 0, q ? 1

● ●

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象
●

1 （2）数列：8, 4, 2,1, ,? 2

an ? 2
●
● ●

4? n

a1 ? 0,0 ? q ? 1

●

●

●

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 1 2

等比数列的图象
（3）数列：4，4，4，4，4，4，…
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

q ?1

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
●

等比数列的图象
（4）数列：1，－1，1，－1，1，…

q?0
● ● ● ●

1

2
●

3

4
●

5

6
●

7

8
●

9

10
●

说明
?a1 ? 0 ? a1 ? 0 或? ? {an }递增； ? ? q ? 1 ?0 ? q ? 1
? a1 ? 0 ?a1 ? 0 或? ? {an }递减； ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1
q=1，常数列； q<0，摆动数列；

典例精讲
题型一. 等比数列的判定与证明 ? 例1：根据如图的框图 写出所打印数列的前 ? 5项，并建立数列的递

推公式。这个数列是
等比数列吗？

分析：
a1 ? 1, a 2 ? 1 1 1 1 , a3 ? , a 4 ? , a5 ? 2 4 8 16

其递推公式为

?a1 ? 1 ? ? 1 ?a n ? 2 a n ?1 (n ? 1) ?
由于

an 1 ? a n ?1 2

因此这个数列是等比数列，其通项公式是

1 n ?1 an ? ( ) 2

典例精讲
题型二. 等比数列的通项公式

例2．已知等比数列{an}中，a5=20，a15=5， 求a20. 1 10 解：由a15=a5q10，得 q ? 4 1 5 5 5 所以 q ? ? 因此 a20 ? a15 q ? 2 2 5 5 或 a20 ? a15 q ? ? 2

思考：对于例题中的数列，你是否发现 a5 , a10, a15, a20 恰好成等比数列？说出理由。

变式训练：在4与 数成等比数列，求插入的3个数。

1 4之间插入3个数，使这5个

1 解：依题意，a1=4，a5 ? 4

a5 1 ? 由等比数列通项公式得 q ? a1 16 1
4

所以 q ? ? 2

1 因此插入的3个数依次是2，1 ， 2
1 或－2，1，－ 2

世界杂交水稻之父—袁隆平

从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多 亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ，并认为是解决 下个世纪世界性饥饿问题的法宝。

巩固 应用
例3 袁隆平在培育某水稻新品种时，培育出第一代
120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两位有 效数字）？

解：由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，
因此，逐代的种子数组成等比数列，记为

?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120?1205?1? 2.5 ?1010
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.

当堂检测：
1．数列1，37，314，321，……中，398是这个 数列的（ C ） （A）第13项 （C）第15项 （B）第14项 （D）不在此数列中

1 2.已知 {an } 是等比数列，a2 ? 2, a5 ? ，则公比q为 4 （ D ） 1 1 （A）? 2 （B）-2 （C）2 （D） 2

3．若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项，
则x的值为（ A ） （A）－4 （C）1或4 （B）－1 （D）－1或－4

4. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则

1 n?4 (? ) 1 5.在等比数列 {a n }中， a 2 ? 4, a5 ? ? , 则an ? __________ ; 2
2

16 a1 ? , a2 ? 8 它的第1项与第2项分别为__________ 3

.

6.已知等比数列 an }中，a1 ? 1, 公比q，且 bn ? an ?1 ? an , { (1)判断数列 bn }是否为等比数列？说明 { 理由； (2)求数列{bn }的通项公式。

解：) ? 等比数列 an }中，a1 ? 1, 公比为q, (1 { ? an ? a1q
n ?1

?q

n ?1

?q ? 0?

若q ? 1, 则an ? 1, bn ? an ?1 ? an ? 0, ?{bn }是各项均为 的常数列，不是等比数 0 列。

若q ? 1, bn ?1 an ? 2 ? an ?1 q ? q q (q ? 1) 由于 ? ? n ? n ?1 ? q, n ?1 bn an ?1 ? an q ?q q (q ? 1)
n n n ?1

?{bn }是首项为q ? 1, 公比为q的等比数列。 (2)由(1)知，当q ? 1时，bn ? 0, 当q ? 1时，bn ? (q ? 1)q ? bn ? (q ? 1)q
n ?1 * n ?1

?n ? N ?.

,

等比数列的定义； 等比数列的通式公式及其简单应用：

类比思想的运用；

拓展延伸
已知数列满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2 a n ? 1 ( n ? N ) （1）求证：数列 ?a n ? 1?是等比数列。 （2）求 ?an ?的通项公式。
?

作业：课本P47习题[A组]的第3题,[B组]第二题。

练 习 一

判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理 由。 a1=1,q=2 （1）2，4，8，16，… 是
（2）1，1，1，1，… （3）4，0，0，0，… 是

a1=1,q=1

不是 (4) 1 , – 1 , 1 , – 1 , 1 , ·· · 2 4 8 16

a1=1,d=

.以下数列中，那些是等比例数列? 1 , 1 , – 1 , 1 , ·· (1) 1 , – · 2 4 8 16 (2) 1 , 1 , 1 , , · 1 ; · ·, (3) 1 , 2 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ; (4) 1，0，0，….

解: (1)是等比数列,公比q=-1/2;
(2)是公比为1等比数列; (3)∵8/4?12/8,∴该数列不是等比数列; (4)当a?0时,这个数列是公比为a的等比数列; 当a=0时,它不是等比数列.

问题一：等比数列中
(1)公比q为什么不能等于０？首项能等于０吗？ (2)公比q=1时是什么数列？常数列一定是等比数列吗？ (3)如何判断一个数列是等比数列？

说明：(1)公比q≠0，则an≠0(n∈N)；
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列；不一定； (3)常用方法：定义法； 等比中项法；

拓展： 等差数列 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d
类比

an ? a1q
am ? a1q

n ?1

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n?m ? ?q m ?1 am a1q
可得

n ?1

an ? am ? (n ? m)d

an ? amq

n ?m