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等比数列公开课_图文

§2.3.1 等比数列

回顾等差数列: 1.定义:

an?1 ? an ? d (常数) (n ? N )
a?b 且A ? 2

?

2 、等差中项 :如果三个数a,A,b组成等差 数列,那么A叫做a和b的等差中项。

3、等差数列{an}的通项公式为:

an ? a1 ? (n ?1)d

引例:
(1) 如下图是某种细胞分裂的模型:

细胞分裂个数可以组成下面的数列:

1

2

4

8 16 …

(2):

庄子 曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。这 样,每日剩下的部分 都是前一日的一半。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”,

那么,得到的数列是:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

(3)

3 1, 20, 20 , 20 , ?

2

4.银行利息按复利计算(利滚利) 本利和=本金×(1+利率)存期 例如:存入10000元,利率为1.98% 存期 年初本金 年末本利和(元)

第一年
第二年

10000
10000×1.0198

10000×1. 0198
10000×1.01982

第三年
第四年

10000×1.01982
10000×1.01983

10000×1.01983
10000×1.01984

各年末本利和组成数列: 2 10000×1. 0198, 10000×1.0198 , 3 4 10000×1.0198 10000×1.0198 , …

观察:
(1) 1,2,4,8,16 ?

以上4个数列有 什么共同特征?

1 1 1 1 ? (2) 1 , , , , , 2 4 8 16
(3)

3 1, 20, 20 , 20 , ?
2

2

(4).10000×1. 0198, 10000×1.0198 , 3 4 10000×1.0198 , 10000×1.0198 , …
共同特征:从第二项起,每一项与它前面一 项的比 等于同一个常数; 我们给具有这种特征的数列一个名字——等比数列

二、新课讲解 (一)等比数列的定义: 1.等比数列: 一般地,如果一个数列从第二项

起,每一项与它前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列,这个常数就叫做等 比数列的公比(常用字母“q”表示)。

练 习 一
判断下列数列中哪些是等比数列,哪些不是?

(1)3,6,12,24,… 是
(2)4,4,4,4,… (3)4,0,0,0,…

a1=3,q=2


不是

a1=4,q=1

思考1:如何用数学符号表示等比数列定义?

2.等比数列定义的符号语言: an ? q(q ? 0) , ( n≥2 ),其中为q非零常数 an ?1 或
an ?1 ? q ( n∈N+ ) an

思考2:类比等差中项的概念,如果三 个数a,G,b组成等比数列,
那么G叫做a和b的 等比中项。
G2 ? a ? b ? G ? ? a ? b

练 习二:
求下列两数的等比中项 ① 2,___ 8; ② -1,____ - 4; ?2 ?4

不存在 ③-12,_____,1.

思考3:

已知数列 3,6,12,24,…
在练习1中我们已经判断过此数列是等比数列。 a1=3,q=2

三、探究等比数列通项公式 此数列的第50项 a50=?我们该如何 求解呢? 已知等比数列{an} , 首项是a1,公比是q 通项公式是___________;

探究:等比数列的通项公式
? 法一:递推法

等 差 数 列

a2 ? a1 ? d

a3 ? a1 ? 2d 类比

a4 ? a1 ? 3d ……

等 比 数 列

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

由此归纳等差数列

……

的通项公式可得:

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1q

n ?1

探究二.等比数列的通项公式:
? 法二:迭加法 迭乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

a2 ?q a1
a3 ?q a2

a4 ?q a3 ……

共n – 1 项

an ?q ×) an ?1

an ? q n ?1 a1

等比数列的通项公式: 若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则

an ? a1q
例1. 在等比数列{an}中,

n ?1

注: 等比数列的通项公式中 ,an , a1 , n,q这四个变 量 , 知道其中三个量就可以求余下的一个量 。 (1)已知a1=3,q=2,n=50,求an (2)已知a3=12,a4=18,求a1和a2

思考4:等比数列的通项公式与函数有怎样的关系?
例如:数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是:

an ? 2n -1 ______
上式还可以写成

an 8

·

1 n an ? ? 2 2

7

6
5 4

可见,这个等比数列
1 的图象都在函数 2 的图象上,如右图所示。

y ? ?2

x

·

3
2 1
0

·
·
1 2 3 4 n

结论: 等比数列?an ? 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点

课堂小结:
数 定 列 义 等 差 数 列 an+1-an=d d 叫公差 an+1=an+d 等 比 数 列

an?1

an

?q

公差(比)

q叫公比 an+1=an q

定义变形
通项公式 一般形式

an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d

an=a1qn-1
an=amqn-m

作业:p53

A1

谢谢光临指导!
See you next time!

探究三.等比数列通项公式再认识
等比数列的通项公式还可以写成 a n-1 ? 1 ? q n ? cq n an=a1q q 当q是不为1的正数时,它是一个非零常 数与一个指数函数的乘积.

20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0


等比数列的图象


(1)数列:1,2,4,8,16,…

an ? 2


n ?1

a1 ? 0, q ? 1

● ●

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0

等比数列的图象


1 (2)数列:8, 4, 2,1, ,? 2

an ? 2

● ●

4? n

a1 ? 0,0 ? q ? 1







1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0 1 2

等比数列的图象
(3)数列:4,4,4,4,4,4,…
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

q ?1

3

4

5

6

7

8

9

10

10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0


等比数列的图象
(4)数列:1,-1,1,-1,1,…

q?0
● ● ● ●

1

2


3

4


5

6


7

8


9

10


说明
?a1 ? 0 ? a1 ? 0 或? ? {an }递增; ? ? q ? 1 ?0 ? q ? 1
? a1 ? 0 ?a1 ? 0 或? ? {an }递减; ? ?0 ? q ? 1 ? q ? 1
q=1,常数列; q<0,摆动数列;

典例精讲
题型一. 等比数列的判定与证明 ? 例1:根据如图的框图 写出所打印数列的前 ? 5项,并建立数列的递

推公式。这个数列是
等比数列吗?

分析:
a1 ? 1, a 2 ? 1 1 1 1 , a3 ? , a 4 ? , a5 ? 2 4 8 16

其递推公式为

?a1 ? 1 ? ? 1 ?a n ? 2 a n ?1 (n ? 1) ?
由于

an 1 ? a n ?1 2

因此这个数列是等比数列,其通项公式是

1 n ?1 an ? ( ) 2

典例精讲
题型二. 等比数列的通项公式

例2.已知等比数列{an}中,a5=20,a15=5, 求a20. 1 10 解:由a15=a5q10,得 q ? 4 1 5 5 5 所以 q ? ? 因此 a20 ? a15 q ? 2 2 5 5 或 a20 ? a15 q ? ? 2

思考:对于例题中的数列,你是否发现 a5 , a10, a15, a20 恰好成等比数列?说出理由。

变式训练:在4与 数成等比数列,求插入的3个数。

1 4之间插入3个数,使这5个

1 解:依题意,a1=4,a5 ? 4

a5 1 ? 由等比数列通项公式得 q ? a1 16 1
4

所以 q ? ? 2

1 因此插入的3个数依次是2,1 , 2
1 或-2,1,- 2

世界杂交水稻之父—袁隆平

从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多 亩,增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养活6000万人口。 西方世界称他的杂交稻是“东方魔稻” ,并认为是解决 下个世纪世界性饥饿问题的法宝。

巩固 应用
例3 袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代
120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒 种子都可以得到下一代的120粒种子,到第5代时大 约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两位有 效数字)?

解:由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍,
因此,逐代的种子数组成等比数列,记为

?an ?

其中a1 ? 120, q ? 120, n ? 5
因此a5 ? 120?1205?1? 2.5 ?1010
答:到第5代大约可以得到这种新品种的种子2.5×1010粒.

当堂检测:
1.数列1,37,314,321,……中,398是这个 数列的( C ) (A)第13项 (C)第15项 (B)第14项 (D)不在此数列中

1 2.已知 {an } 是等比数列,a2 ? 2, a5 ? ,则公比q为 4 ( D ) 1 1 (A)? 2 (B)-2 (C)2 (D) 2

3.若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项,
则x的值为( A ) (A)-4 (C)1或4 (B)-1 (D)-1或-4

4. 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,则

1 n?4 (? ) 1 5.在等比数列 {a n }中, a 2 ? 4, a5 ? ? , 则an ? __________ ; 2
2

16 a1 ? , a2 ? 8 它的第1项与第2项分别为__________ 3

.

6.已知等比数列 an }中,a1 ? 1, 公比q,且 bn ? an ?1 ? an , { (1)判断数列 bn }是否为等比数列?说明 { 理由; (2)求数列{bn }的通项公式。

解:) ? 等比数列 an }中,a1 ? 1, 公比为q, (1 { ? an ? a1q
n ?1

?q

n ?1

?q ? 0?

若q ? 1, 则an ? 1, bn ? an ?1 ? an ? 0, ?{bn }是各项均为 的常数列,不是等比数 0 列。

若q ? 1, bn ?1 an ? 2 ? an ?1 q ? q q (q ? 1) 由于 ? ? n ? n ?1 ? q, n ?1 bn an ?1 ? an q ?q q (q ? 1)
n n n ?1

?{bn }是首项为q ? 1, 公比为q的等比数列。 (2)由(1)知,当q ? 1时,bn ? 0, 当q ? 1时,bn ? (q ? 1)q ? bn ? (q ? 1)q
n ?1 * n ?1

?n ? N ?.

,

等比数列的定义; 等比数列的通式公式及其简单应用:

类比思想的运用;

拓展延伸
已知数列满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2 a n ? 1 ( n ? N ) (1)求证:数列 ?a n ? 1?是等比数列。 (2)求 ?an ?的通项公式。
?

作业:课本P47习题[A组]的第3题,[B组]第二题。

练 习 一

判断下列各组数列中哪些是等差数列,哪些不是? 如果是,写出首项a1和公比q, 如果不是,说明理 由。 a1=1,q=2 (1)2,4,8,16,… 是
(2)1,1,1,1,… (3)4,0,0,0,… 是

a1=1,q=1

不是 (4) 1 , – 1 , 1 , – 1 , 1 , ·· · 2 4 8 16

a1=1,d=

.以下数列中,那些是等比例数列? 1 , 1 , – 1 , 1 , ·· (1) 1 , – · 2 4 8 16 (2) 1 , 1 , 1 , , · 1 ; · ·, (3) 1 , 2 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 ; (4) 1,0,0,….

解: (1)是等比数列,公比q=-1/2;
(2)是公比为1等比数列; (3)∵8/4?12/8,∴该数列不是等比数列; (4)当a?0时,这个数列是公比为a的等比数列; 当a=0时,它不是等比数列.

问题一:等比数列中
(1)公比q为什么不能等于0?首项能等于0吗? (2)公比q=1时是什么数列?常数列一定是等比数列吗? (3)如何判断一个数列是等比数列?

说明:(1)公比q≠0,则an≠0(n∈N);
(2)既是等差又是等比数列为非零常数列;不一定; (3)常用方法:定义法; 等比中项法;

拓展: 等差数列 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d
类比

an ? a1q
am ? a1q

n ?1

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n?m ? ?q m ?1 am a1q
可得

n ?1

an ? am ? (n ? m)d

an ? amq

n ?m