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2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题

1、(2008 江苏)设 a,b,c 为正实数,求证:

1 1 1 ? ? + abc ≥ 2 3 . a 3 b3 c 3

1 1 1 2、 (2010 辽宁理数)已知 a, b, c 均为正数,证明: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ( ? ? ) 2 ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何值时,等号 a b c

成立。

3、 (2012 江苏理数)已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? . , | 2x ? y |? , 3 6 18

4、 (2013 新课标Ⅱ)设

均为正数,且

,证明:

(Ⅰ)

;

(Ⅱ)

.

5、 (2012 福建)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. 1 1 1 (1)求 m 的值; (2)若 a,b,c∈R,且 + + =m,求证:a+2b+3c≥9 a 2b 3c

6、 (2011 浙江)设正数 x, y , z 满足 2 x ? 2 y ? z ? 1 . (1)求 3xy ? yz ? zx 的最大值; (2)证明:

3 1 1 125 ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? xz 26

7.(2017 全国新课标 II 卷)已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 。证明:
3 3

(1) (a ? b)(a ? b ) ? 4 ; (2) a ? b ? 2 。
5 5

8.(2017 天津)若



,则

的最小值为___________.

9.【2015 高考新课标 2,理 24】设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab ? cd ,则 a ? b ? (Ⅱ) a ? b ?

c? d;

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

10.【2015 高考福建,理 21】选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,函数 f ( x) =| x + a | + | x - b | +c 的最小值为 4. (Ⅰ)求 a + b + c 的值;(Ⅱ)求

1 2 1 2 2 a + b + c 的最小值. 4 9

11.【2015 高考陕西,理 24】 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (I)求实数 a , b 的值; (II)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

?

?

【均值不等式】 例题 1:已知 x, y 均为正数,且 x ? y ,求证: 2 x ?

1 ? 2y ? 3. x ? 2 xy ? y 2
2

例题 2:已知 x, y , z 均为正数.求证:

x y z 1 1 1 ? ? ? ? ? . yz zx xy x y z

变式:设 x, y , z 为正数,证明: 2 x ? y ? z
3 3

?

3

? ? x ?y ? z? ? y ?x ? z? ? z ?x ? y? .
2 2
2

【柯西不等式】 例题 1:若正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求

1 1 1 ? ? 的最小值. 2a ? 1 2b ? 1 2c ? 1

变式:若 x ? ? ?

? 2 1? , ? ,证明 1 ? 2x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 ? 3 2?

例题 2:已知 x, y , z 是正数.

x2 y2 x2 y2 z2 x y z ?1? 若 x ? y ? 1 ,求 ? ? ? 1 ,求证: 的最小值;?2 ? 若 ? ? ? ? 1. 2? x 2? y 2? z 2? x 2? y 2? x 2? y 2? z

变式 1:设 a, b, c ? 0 , a ? b ? c ? 1 ,求证:

a b c 3 ? ? ? . 2?a 2?b 2?c 5

变式 2:已知正数 x, y 满足 x ? y ? z ? xyz ,求

1 xy

?

1 yz

?

2 zx

的最大值.

【能力提升】 1、 设 a, b, c 均为正实数,求证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . 2a 2b 2c b ? c a ? c a ? b


2018年高考备考+均值不等式和柯西不等式+含历年高考真题.doc

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