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第1部分 第三章 3.2 3.2.1 第一课时 对数的概念及其运算


知识点一 第 三 章 基 本 初 等 函 数 ( Ⅰ) 理解教材新知 3. 2 对 数 与 对 数 函 数 3.2. 1 对 数 及 其 运 算 知识点二 知识点三

知识点四
把握 热点 考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三

第 一 课 时

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1x 问题1:若2 =8,( ) =27,x的值分别为多少? 3
x

提示:3

-3
x

1x 问题 2:若 2 =0,( ) =-1,这样的 x 存在吗? 3

提示:不存在.
1x 问题3:若2 =3,( ) =4,如何求指数x? 3
x

提示:利用对数求解.

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对数的概念 对于指数式ab=N,把“以a为底N的对数b”记作 logaN , 即 b=logaN(a>0,且a≠1) .其中,数a叫做对数的底数,N 叫做 真数 ,读作“ b等于以a为底N的对数 ”.

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根据对数的定义:对数式b=logaN是ab=N的另一种形式. 问题1:试求2log24的值. 提示:因为22=4,log24=2,所以2log24=4. 问题2:由34=81与4=log381你能得出什么结论? 提示:3log381=81.

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指数式与对数式的互化

ab=N? b=logaN

对数恒等式

alogaN= N
①底的对数等于 1 ,即logaa=1 ②1的对数等于 零 ,即log 1= 0
a

对数的性质

③零和负数没有对数 常用对数 以10为底的对数,即log10N=lg N

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问题1:我们知道am+n=am·n,那么logaM· a N=logaM· aN log 正确吗?举例说明. 提示:不正确,例如log24=log22×2=log22· 22=1×1= log 1,而log24=2. 问题2:你能推出loga(MN )(M>0,N>0)的表达式吗? 提示:能.

令am=M,an=N,∴MN=am+n.
由对数的定义知 logaM=m,logaN=n,logaMN=m+n, ∴logaMN=logaM+logaN.
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对数的运算性质 若 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M· N)= logaM+logaN ; M log M-log N a (2)loga = a ; N (3)logaMn= nlogaM .(n∈R)
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已知对数log864,log264,log28,log464,log48. 问题1:对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系?

log264 提示:log864=2,log264=6,log28=3, log864= . log28
问题2:对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系?

3 log464 提示:log864=2,log464=3, log48= , log864= . 2 log48
问题3:由问题1,2你能得出什么结论?

logaN 提示:logbN= . logab
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1.换底公式 对数的换底公式:logbN=

logaN (a,b>0,a,b≠1,N>0). logab

2.自然对数
(1)以 无理数e 为底的对数叫做自然对数,logeN通常记

作 ln N .
(2)自然对数与常用对数的关系:

ln N≈ 2.302 6lg N.
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(1)对数式logaN=b可看做一种记号,表示关于b的方 程ab=N(a>0,a≠1)的解;也可以看做一种运算,即已 知底为a(a>0,a≠1),幂为N,求幂指数的运算.因此, 对数式logaN=b又可看做幂运算的逆运算. (2)在对数的运算法则中,各个字母都有一定的取值

范围(M>0,N>0,a>0,a≠1),只有当式子中所有的对
数符号都有意义时,等式才成立.
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[例 1]

将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.

(1)53=125; 1 -2 (2)( ) =16; 4 (3)log 1 8=-3;
2

1 (4)log3 =-3. 27
[思路点拨] 依据ax=N?x=logaN(a>0且a≠1)进行转化.

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[精解详析] (1)∵53=125,∴log5125=3. 1 -2 (2)∵( ) =16,∴log116=-2. 4 4 1 -3 (3)∵log 8=-3,∴( ) =8. 2
1 2

1 1 -3 (4)∵log3 =-3,∴3 = . 27 27

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[一点通] (1)在利用ax=N?x=logaN(a>0且a≠1)进行互化时, 关键是弄清各个字母所在的位置. (2)对数式与指数式的关系如图:

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1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 . A.e0=1与ln 1=0 1 1 1 B.8 = 与log8 =- 2 2 3
? 1 3

(

)

C.log39=2与9 =3 D.log77=1与71=7

1 2

解析:C不正确,log39=2应转化为32=9.

答案:C
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2.将下列指数式化成对数式,将对数式化为指数式: (1)log216=4;(2)log 1 27=-3;(3)log 3 x=6;
3

1 (4)logx64=-6;(5)3 = ;(6)πx=8. 9
-2

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解:(1)24=16; 1 (2)( )-3=27; 3 (3)( 3)6=x; (4)x-6=64; 1 (5)log3 =-2; 9 (6)logπ8=x.

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[例 2]

计算:

(1)log2(log55); (2)2
1 log 2
2

5

; .
解答本题可利用对数的性质及对数恒等式

(3)22

+log25

[思路点拨]

a logaN=N来化简求值.

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[精解详析] (1)原式=log21=0; (2)2
1 log 2
2

5

= 2

log

2

5

=5.
20

(3)22+log25=2log2 +log25=2log2 =20.
[一点通] (1)对数的基本性质常用来化简或求值,应用时注意 底数的恰当选用.

4

(2)对数恒等式注意事项:①两底相同,即幂底与对
数底相同;②对数的系数必须是1.
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3.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③ 若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中, 正确的是 A.①③ B.②④ ( )

C.①②

D.③④

解析:lg(lg 10)=lg 1=0,ln(ln e)=ln 1=0,故①② 正确;若10=lg x,则x=1010,③错误;若e=ln x, 则x=ee,故④错误. 答案:C
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4.设 a=log310,b=log37,则 3a-b= 10 A. 49 10 C. 7
3

(

)

7 B. 10 49 D. 10

3a 3log 10 10 解析:3a-b= b= = . 3 3log 7 7
3

答案:C
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a 5.若 log3[log4(log5a)]=log4[log3(log5b)]=0,则b=________.
解析:由 log3[log4(log5a)]=0 知 log4(log5a)=1, ∴log5a=4,即 a=54, 同理可得 b=53, a 54 ∴ = 3=5. b 5
答案:5

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[例 3]

(12 分)计算下列各式的值:

7 (1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18; 3 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245; 2 49 3 2 (3)lg 5 + lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 3
2

[思路点拨] 利用积、商、幂的对数的运算性质求解.

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7 [精解详析] (1)法一:lg 14-2lg +lg 7-lg 18 3 =lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.? 7 法二:lg 14-2lg +lg 7-lg 18 3 14×7 72 =lg 14-lg( ) +lg 7-lg 18=lg 3 7 ( )2×18 3 =lg 1=0.? (4 分)
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(4 分)

1 4 3 1 (2)原式= (5lg 2-2lg 7)- · lg 2+ (2lg 7+lg 5) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ lg 5 2 2 1 1 = lg 2+ lg 5 2 2 1 1 1 = (lg 2+lg 5)= lg 10= .? 2 2 2 (3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.? (12 分)
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(8 分)

[一点通] 的方法是:

对于底数相同的对数式的化简或求值,常用

(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

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6.当a>0,且a≠1时,下列说法正确的是 (
A.若M=N,则logaM=logaN B.若logaM=logaN,则M=N C.若logaM2=logaN2,则M=N D.若M=N,则logaM2=logaN2

)

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解析:在A中,当M=N≤0时,logaM与logaN均无意义,因 此logaM=logaN不成立,故A错误;在B中,当logaM= logaN时,必有M>0,N>0,且M=N,因此M=N成立,故B 正确;在C中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2 =N2,即|M|=|N|,但未必有M=N,如M=2,N=-2时, 也有logaM2=logaN2,但M≠N,故C错误;在D中,若M=N =0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2=logaN2不成 立,故D错误. 答案:B
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6.2log510+log50.25=
A.0 C.2 B.1 D.4

(

)

解析:2log510+log50.25=log5102+log50.25= log5(100×0.25)=log525=2. 答案:C

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32 7.求 2log32-log3 +log38-5log53 的值: 9
解:原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =2log32-5log32+2+3log32-3=-1;

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(1)在指数式与对数式互化中,并非任何指数式都可 直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log-39=2. 只有符合a>0,a≠1,且N>0时才有ax=N?x=lgaN.

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(2)利用对数的运算性质解决问题的一般思路:①把复
杂的真数化简;②正用公式:对于式中真数的积、商、幂、

方根,运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、
商再化简;③逆用公式:对于式中对数的和、差、积、商, 运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根, 然后化简求值.

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