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2016-2017学年第一学期期中复习备考之专题复习高二数学(必修2)第03章直线与方程(教学设计)Word版含解析

一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或 重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时, k ? 0 ; ②过两点的直线的斜率公式: k ?

?

?

? 当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时,不存在。

?

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ?

注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上 每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式:

x y ? ?1 a b

其中直线与轴交于点 ( a,0) ,与轴交于点 (0, b) ,即与轴、轴的截距分别为 a , b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C 注意:○ 1 各式的适用范围

? 0 (A,B 不全为 0)
2 特殊的方程如: ○ 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 ① 平行直线系

平 行 于 已 知 直 线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :

A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)

② 过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ) 过两条直线 l1 :

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,
则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? Ax0 ? By0 ? C
A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 二、典型例题 例 1.过点 A(-5,-4)作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为 5,求直线 l 的方程. 【分析】 已知直线过定点 A,且与两坐标轴都相交,围成的直角三角形的面积已知.求直线 方程时可采用待定系数法,设出直线方程的点斜式,再由面积为 5 列方程,求直线的斜率.

变式练习 1.过点 P(-1,0),Q(0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在 x 轴上截距之差的 绝对值为 1,求这两条直线的方程.

【答案】x=-1,x=0,或 x-y+1=0,x-y+2=0. 【解析】 (1)当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别为 x=-1,x=0,它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1,满足题意; (2)当直线的斜率存在时,设其斜率为 k, 2 则两条直线的方程分别为 y=k(x+1),y=kx+2. 令 y=0,分别得 x=-1,x=- . k 2 -1+ ?=1,即 k=1.则直线的方程为 y=x+1,y=x+2, 由题意得? k? ? 即 x-y+1=0,x-y+2=0. 综上可知,所求的直线方程为 x=-1,x=0,或 x-y+1=0,x-y+2=0. 例 2.已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求 m 的值,使得: (1)l1⊥l2;(2)l1∥l2. 【分析】 已知两直线的方程中都含有参数,求不同的位置关系时参数的取值,可以利用平

行(或垂直)的条件列方程求解. 【解析】 法一 当 m=0 或 2 时,两直线既不平行,也不垂直; 1 2-m 当 m≠0 且 m≠2 时,直线 l1,l2 的斜率分别为:- , . m 3 1 2-m 1 (1)若 l1⊥l2,则- · =-1,解得 m= . m 3 2 1 2-m (2)若 l1∥l2,则由- = ,得 m=-1 或 m=3. m 3 又当 m=3 时,l1 与 l2 重合,故 m=3 舍去.故 l1∥l2 时,m=-1. 法二 1 (1)∵l1⊥l2,∴m-2+3m=0,∴m= . 2

(2)∵l1∥l2,∴3-m(m-2)=0 且 2m≠6(m-2),故 m=-1. 变式练习 2.已知点 A(2,2)和直线 l:3x+4y-20=0. (1)求过点 A,且和直线 l 平行的直线方程; (2)求过点 A,且和直线 l 垂直的直线方程. 【答案】(1). 3x+4y-14=0 (2).4x-3y-2=0

【解析】 (1)因为所求直线与 l:3x+4y-20=0 平行,所以设所求直线方程为 3x+4y+m=

0. 又因为所求直线过点 A(2,2),所以 3×2+4×2+m=0,所以 m=-14,所以所求直线方程为 3x+4y-14=0. (2)因为所求直线与直线 l:3x+4y-20=0 垂直,所以设所求直线方程为 4x-3y+n=0. 又因为所求直线过点 A(2,2),所以 4×2-3×2+n=0,所以 n=-2,所以所求直线方程 为 4x-3y-2=0. 例 3.一条光线经过 P(2,3)点,射在直线 l:x+y+1=0 上,反射后穿过点 Q(1,1). (1)求入射光线的方程; (2)求这条光线从 P 到 Q 的长度.

【分析】利用入射线与反射线的性质,转化为点关于直线 l 的对称问题,即求 Q 点关于直线 l 的对称点. 【解析】 (1)设点 Q′(x′,y′)为 Q 关于直线 l 的对称点且 QQ′交 l 于 M 点. ∵kl=-1,∴kQQ′=1.∴QQ′所在直线方程为 y-1=1· (x-1),

?x+y+1=0, ? 即 x-y=0. 由? ?x-y=0, ?
1 1? 解得 l 与 QQ′的交点 M 的坐标为? ?-2,-2?. 1+x′ 1 ? ? 2 =-2, 由此得? 1+y′ 1 ? ? 2 =-2, 又∵M 为 QQ′的中点,

? ?x′=-2, 解之得? ? ?y′=-2.

∴Q′点的坐标为(-2,-2).

设入射光线与 l 的交点为 N,则 P、N、Q′共线.又 P(2,3),Q′(-2,-2),得入射光 y+2 x+2 线的方程为 = ,即 5x-4y+2=0. 3+2 2+2 (2)∵l 是 QQ′的垂直平分线,从而|NQ|=|NQ′|,∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| = ?3+2?2+?2+2?2= 41. 即这条光线从 P 到 Q 的长度是 41.

变式练习 3.求直线 l1:2x+y-4=0 关于直线 l:3x+4y-1=0 的对称直线 l2 的方程. 【答案】2x+11y+16=0.

故由两点式得直线 l2 的方程为 2x+11y+16=0. 例 4.点 P(-2,-1)到直线 l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-5λ=0 的距离为 d,求 d 的最大值. 【解析】 直线 l 的方程可化为 x+y-2+λ(3x+y-5)=0,

?x=2, ?x+y-2=0, ? 由? 解得? 1 ? ?3x+y-5=0, ?y=2,
当 PA⊥l 时,d 取最大值|PA|. ∵|PA|=

3

3 1? ∴直线 l 过定点 A? ?2,2?.如图,d≤|PA|.

?-2-3?2+?-1-1?2= 58,∴d 的最大值为 58. 2? ? 2? ? 2 2
3 ,把 l1 绕点 P 按顺时针方向旋转 30° 得直线 l2, 3

变式练习 4.直线 l1 过点 P(-1,2),斜率为- 求直线 l1 和 l2 的方程.

【解析】 设直线 l1 的斜率为 k,倾斜角为 α.由题意,知直线 l1 的方程是 y-2=- 即 3x+3y-6+ 3=0. ∵k1=-

3 (x+1), 3

3 =tan α1,∴l1 的倾斜角 α1=150° .如图,l1 绕点 P 按顺时 3

针方向旋转 30° ,得到直线 l2 的倾斜角 α2=150° -30° =120° ,

∴直线 l2 的斜率 k2=tan 120° =- 3,∴l2 的方程为 y-2=- 3(x+1),即 3x+y-2+ 3= 0. 三、课堂练习 1.直线(1﹣2a)x﹣2y+3=0 与直线 3x+y+2a=0 垂直,则实数 a 的值为( ) A. 【答案】B 【解析】∵直线(1﹣2a)x﹣2y+3=0 与直线 3x+y+2a=0 垂直,∴3(1﹣2a)﹣2=0,∴ ,故选 B. B. C. D.

2.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的 个数为( A.4 【答案】A 【解析】设 C(t,t2),由 A(0,2),B(2,0)易求得直线 AB 的方程为 y=-x+2. |t2+t-2| ∴点 C 到直线 AB 的距离 d= . 2 1 又∵|AB|=2 2,∴S△ABC= ×|AB|· d=|t2+t-2|. 2 令|t2+t-2|=2,得 t2+t-2=± 2,∴t2+t=0 或 t2+t-4=0,符合题意的 t 值有 4 个,故 满足题意的点 C 有 4 个. 3.过点 A(-2, m )和 B( m ,4)的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 【答案】-8 【解析】因为直线平行,斜率相等,所以过点 A(-2,m )和 B( m ,4)的直线斜率为 所以 。 ) B.3 C.2 D.1

m?4 , ?2?m

?2 ?

m?4 ? m ? ?8 。 ?2 ? m

4.已知两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,求: (1)过点 P 且过原点 的直线方程; (2)过点 P 且垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线的方程。 【答案】 (1) x ? y ? 0 (2) 2 x ? y ? 2 ? 0

四、课后练习 1.已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0, l2 : x ? y ? 1 ? 0 ,则 l1 , l2 之间的距离为 A.1 【答案】B 【解析】由题知 l1 // l 2 ,所以 l1 , l2 之间的距离 d ? B. 2 C.
3

( D.



| 1 ? (?1) | 2 ? ? 2 .故选 B. 1?1 2
)

1 ? 2.若 A(-2,3),B(3,-2),C? ?2,m?三点共线,则 m 的值为( 1 A. 2 【答案】A 【解析】由 m+2 1 = ,得 m= . 1 2 3-?-2? -3 2 -2-3 1 B.- 2 C.-2 D.2

3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是(

)

【答案】 C 【解析】 当 a>0 时,A,B,C,D 均不成立;当 a<0 时,只有 C 成立. 4.直线过点 (-3,-2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为 【答案】 2 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0 【解析】当直线过原点时满足截距相等,此时直线为 2 x ? 3 y ? 0 ,当不过原点时,设直线方 程为 。

x y ?3 ?2 ? ? 1? a ? b, ? ? 1? a ? b ? ?5 ,所以直线为 x ? y ? 5 ? 0 ,所以所求直线 a b a b

为 2x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 5 ? 0

5.已知光线从点 M(-1,0)射出,经直线 x-y-1 =0 反射,其反射光线通过点 N(0,1),则入射光 线所 在直线方程为 【答案】x+3y+1=0 【解析】先求点 N 关于直线 x-y-1 =0 对称后的点 N ( ‘ 2,-1) ,则连接点 N’和 M 即为入射光线所 在的直线方程,由两点式可得直线方程为 x+3y+1=0。 6.经过两条直线 2x+y+2=0 和 3x+4y-2=0 的交点,且垂直于直线 3x-2y+4=0 的直线方 程为________. 【答案】 2x+3y-2=0 。

?3x+4y-2=0, ? 【解析】 由方程组? 得交点 A(-2,2),因为所求直线垂直于直线 3x-2y+4 ?2x+y+2=0, ?
2 2 =0,故所求直线的斜率 k=- ,由点斜式得所求直线方程为 y-2=- (x+2),即 2x+3y-2 3 3 =0. 7. 已知直线 l : y ? 方程. 【答案】 (1). Q (

1 x ? 1 ,(1)求点 P(3, 4) 关于对称的点 Q ;(2)求关于点 (2, 3) 对称的直线 2

29 8 ,? ) 5 5

(2). x ? 2 y ? 10 ? 0

【解析】(1)设 Q( x0 , y0 ) ,由于 PQ ? l ,且 PQ 中点在上,有

? y0 ? 4 29 ? ? ?2 x0 ? ? ? x ? 3 ? ? 0 5 ,解得 ? ? ?y ? ? 8 ? y0 ? 4 ? 1 ? x0 ? 3 ? 1 0 ? ? 5 ? ? 2 2 2

∴Q (

29 8 ,? ) 5 5

(2)在上任取一点,如 M (0, ?1) ,则 M 关于点 (2,3) 对称的点为 N (4,7) . ∵所求直线过点 N 且与平行,∴方程为 y ? 7 ? 8.已知直线 l :

1 ( x ? 4) ,即 x ? 2 y ? 10 ? 0 . 2

x y ? ?1 m 4?m

(1)若直线的斜率等于 2,求实数 m 的值; (2)若直线分别与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,O 是坐标原点,求△AOB 面积的最大值

及此时直线的方程. 【答案】 (1) m ? ?4 ; (2) x ? y ? 2 ? 0 .