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广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题


2014 届高三六校第一次联考
理科数学 试题

第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的 1. “ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2. 已知

a ? 2i ? b ? i (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b =( i
B.1 C.2 D.3



A.-1

3. 若 x ? (0,1) ,则下列结论正确的是(
1


1

A. lg x ? x 2 ? 2 x
1

B. 2 x ? lg x ? x 2
1

C. x 2 ? 2 x ? lg x 4.下列四个命题中,正确的是( A.已知 ? 服从正态分布 N 0, ? )

D. 2 x ? x 2 ? lg x

?

2

?,且 P?? 2 ? ? ? 2? ? 0.4 ,则 P?? ? 2? ? 0.2
2

B.已知命题 p : ?x ? R, tan x ? 1 ;命题 q : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .则命题“ p ? ?q ”是 假命题 C.设回归直线方程为 y ? 2 ? 2.5x ,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2 个单位 D.已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? by ? 1 ? 0 ,则 l1 ? l 2 的充要条件是

a =-3 b

5. 已知单位向量 i, j 满足 (2 j ? i ) ? i ,则 i, j 夹角为(

??

? ?

?

??



A.

? 4

B.

? 6

C.

? 3

D.

2? 3

6. 若动圆的圆心在抛物线 x ? 12 y 上,且与直线 y ? 3 ? 0 相切,则此圆恒过定点(
2



A. (0, 2)

B. (0, ?3)

C. (0,3)

D. (0, 6)

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 7. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0 , b ? 0 )的最 ? x ? 0, y ? 0 ?
大值为 12,则 ab 的取值范围是( A. (0, ] )

3 2

B. (0, )

3 2

C. [ , ??)

3 2

D. (0, ??)

8. 记集合

T ? {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}

, M= {

a a1 a 2 a ? 2 ? 33 ? 44 | ai ? T , i ? 1,2,3,4} , 10 10 10 10


将 M 中的元素按从大到小排列,则第 2013 个数是(
A. C.

7 9 8 7 ? 2? 3? 4 10 10 10 10 6 9 7 3 ? 2? 3? 4 10 10 10 10

B. D.

5 6 7 8 ? 2? 3? 4 10 10 10 10 7 9 9 1 ? 2 ? 3? 4 10 10 10 10

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9. 在 ? a ? x ? 展开式中 x 4 的系数为 35 ,则实数 a 的值为
7

.

10.计算定积分

??
1 0

x ? x2 dx ?

?

.

11.已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆 的渐近线方程是____________________.

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点、焦点,则双曲线 C 25 16

12.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?

5 2 , 3

A?

?
4

,则 cos B ?

.

13 .将石子摆成如图 1 的梯形形状.称数列 5,9,14, 20,? 为“梯形数”.根据图形的构成,数
列第 6 项 a6 ?

;第 n 项 an ?

.

图1

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 直线 ? ? 所得弦长是 .

?
6

(? ?R) 截圆 ? ? 2 cos(? ?

?
6

)

15. (几何证明选讲选做题)如图(图 2) AB 是圆 O 的直径,过 A 、

B 的 两条弦 AD 和 BE 相交于 点 C ,若 圆 O 的半 径是 3 ,那 么

AC ? AD ? BC ? BE 的值等于________________.
图2 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 甲乙丙三人商量周末去玩,甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意。最 终,商定以抛硬币的方式决定结果。规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一分 乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得 4 分者获胜,三人均执行胜者的提议.记所 需抛币次数为 ? . ⑴求 ? =6 的概率; ⑵求 ? 的分布列和期望. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? . ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? a ( a ? R, a 为常数) 6? 6? ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f ? x ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个单位后,得到函数 g ? x ? 的图像关于 y 轴对 称,求实数 m 的最小值. 18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2ln x. ks5u x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示, 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ? BQ 并说明理由.
俯视图 4 正视图 4 1 4 侧视图 A C E

20. (本小题满分14分) 如图,椭圆错误!未找到引用源。的左顶点、右焦点分别为错误!未找到引用源。 , y 直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。为错误! N 未找到引用源。上一点,且在错误!未找到引用源。轴的上方, M 错误!未找到引用源。与椭圆交于错误!未找到引用源。点. (1)若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点,求证:错误!未找到引用 源。. x A F (2)过错误!未找到引用源。三点的圆与错误!未找到引用源。轴交于错误!未找到引用 l 源。两点,求错误!未找到引用源。的范围. 21.(本小题满分 14 分) 设 M ? 10a 2 ? 81a ? 207 , P ? a ? 2 ,Q= 26 ? 2a ;若将 lg M ,lgQ,lgP 适当排序 后可构成公差为 1 的等差数列 {an } 的前三项. (1)试比较 M、P、Q 的大小; (2)求 a 的值及 {an } 的通项; (3)记函数 f ( x) ? an x 2 ? 2an ?1 x ? an ? 2 (n ? N *) 的图象在 x 轴上截得的线段长为 bn , 设 Tn ?

2n ?1 1 . (b1b2 ? b2b3 ? ? ? bn ?1bn ) (n ? 2) ,求 Tn ,并证明 T2T3T4 ??????Tn ? n 4

.

2014 届高三六校第一次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 答案 B 2 3 4 5 6 7 8

D D B C

C A A

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. 1 ; 10.

? n ? 1?? n ? 4 ? ; 14. ; 15. . 2 1 ; 11. 4 x ? 3 y ? 0 ; 12. 2 ; 13. 35 , 36 2 2 3 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 甲乙丙三人商量周末去玩,甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意。最 终,商定以抛硬币的方式决定结果。规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一 分乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得 4 分者获胜,三人均执行胜者的提议. 记所需抛币次数为 ? . ⑴求 ? =6 的概率; ⑵求 ? 的分布列和期望.

?1? ?1? 1 5 16.解:(1) P ?? ? 6 ? ? 2 ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 16
3 5

3

2

?????????4 分

(2)分布列为:

?
P

4

5

6

7

1 8

1 4

5 16

5 16
????????10 分

∴ E? ? 4 ? ? 5 ?

1 8

1 5 5 93 ? 6? ? 7? ? 4 16 16 16

?????????12 分

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?? ? . ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos 2 x ? a ( a ? R, a 为常数) 6? 6? ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f ? x ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个单位后,得到函数 g ? x ? 的图像关于 y 轴对 称,求实数 m 的最小值. 17. 解: (1) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? a 6 6
? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a. 6

?

?

?

?????????4 分 ?????????5 分

? f ? x ? 的最小正周期为
当 2k? ?

2? ?? 2
?
2

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

即 (k ? Z ) , k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

函数 f ( x) 单调递增, (k ? Z ) 时, ?????????8 分

故所求单调增区间为 [k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ). 6 3

?

(2)函数 f ( x) 的图像向左平移 m(m ? 0) 个单位后得 g ( x) ? 2sin[2( x ? m) ? ] ? a , 6 ?????????9 分 要使 g ( x) 的图像关于 y 轴对称, 只需 2m ? 即m?

?

?
6

? k? ?

?
2

(K ? Z )

?????????11 分 ?????????12 分

? k? ? ? (k ? Z ) ,所以 m 的最小值为 . 3 2 3

18.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2ln x. x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 18. 解: (Ⅰ)? f ( x) 在 x ? 2 时有极值,?有 f ' ? 2 ? ? 0 , ?????????2 分 ?????????4 分

a 2 a 4 ? ,?有 a ? ? 1 ? 0 ,? a ? 2 5 x x 4 4 4 2 2 ?有 f ' ? x ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? , 5 5x x 5x 1 由 f ' ? x ? ? 0 有 x1 ? , x2 ? 2 , 2
又 f '? x? ? a ? 又 x ? 0 ? x, f ' ? x ? , f ? x ? 关系有下表

?????????6 分

x
f '? x?

0? x?

1 2

x?
0

1 2

1 ?x?2 2

x?2
0

x?2

?

?

?

f ? x?

递增

递减

递增

? 1? ?1 ? ? f ( x) 的递增区间为 ? 0, ? 和 ? 2, ?? ? , 递减区间为 ? , 2 ? ? 2? ?2 ?

????????9 分

(Ⅱ)若 f ( x) 在定义域上是增函数,则 f ' ? x ? ? 0 在 x ? 0 时恒成立,???????10 分

? f '? x? ? a ?

a 2 ax 2 ? 2 x ? a , ? ? x2 x x2

?需 x ? 0 时 ax2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立,
化为 a ?

2x 2x 2 恒成立,? 2 ? ?1, x ?1 x ? 1 x ?1 x
2

? a ? 1.
19. (本小题满分 14 分) 已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示, 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ? BQ 并说明理由.
4

?????????14 分

E

1 4 正视图 4 侧视图 A

C

俯视图

19. 解: (1)由该几何体的三视图知 AC ? 面 BCED ,且 EC=BC=AC=4 ,BD=1,

1 ? (4 ? 1) ? 4 ? 10 2 1 1 40 ∴ V ? ? S梯形BCED ? AC ? ?10 ? 4 ? . 3 3 3 40 即该几何体的体积 V 为 .----------------------------------3 分 3
∴ S梯形BCED ? (2)解法 1:过点 B 作 BF//ED 交 EC 于 F,连结 AF, A 则∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角.-------5 分 在△BAF 中,∵AB= 4 2 ,BF=AF= ? 16 ? 9 ? 5 .

E F D C B



cos ?ABF ?

BF 2 ? AB 2 ? AF 2 2 2 ? . 2 BF ? AB 5

即异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

2 2 . 5

?????????7 分

解法 2:以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. z 则 A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,1) ,E(0,0,4)
E

???? ??? ? ???? ??? ? 2 2 ∴ DE ? (0, ?4,3), AB ? (?4, 4, 0) ,∴ cos ? DE , AB ?? ? 5
C

D B A x

y

∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

2 2 . 5

(3)解法 1:在 DE 上存在点 Q,使得 AQ ? BQ. ????????8 分 取 BC 中点 O,过点 O 作 OQ⊥DE 于点 Q,则点 Q 满足题设. 连结 EO、OD,在 Rt△ECO 和 Rt△OBD 中 ∵

EC OB ? ?2 CO OD

∴ Rt ?ECO ∽ Rt ?OBD

??CEO ? ?DOB
?

∵ ?EOC ? ?CEO ? 90 ∴ ?EOD ? 90 .
?

?

∴ ?EOC ? ?DOB ? 90

????????11 分
2 2 2

∵ OE ? CE ? CO ? 2 5 , OD ? OB ? BD ? 5
2

E

∴ OQ ?

OE ? OD 2 5 ? 5 ? ?2 ED 5
C
O

Q D B

∴以 O 为圆心、以 BC 为直径的圆与 DE 相切.切点为 Q ∴ BQ ? CQ
A

∵ AC ? 面 BCED , BQ ? 面 CEDB ∵ AQ ? 面 ACQ ∴ BQ ? AQ .

∴ BQ ? AC ∴ BQ ? 面 ACQ

---------13 分

?????????14 分

解法 2: 以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 设满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0,m,n) ,则 AQ ? (?4, m, n), BQ ? (0, m ? 4, n)

????

??? ?

??? ? ???? EQ ? (0, m, n ? 4) , QD ? (0, 4 ? m,1 ? n)
∵AQ ? BQ ∴ m(m ? 4) ? n ? 0 ----------------------------①
2

∵点 Q 在 ED 上,∴存在 ? ? R (? ? 0) 使得 EQ ? ? QD ∴ (0, m, n ? 4) ? ? (0, 4 ? m,1 ? n) ? m ? ②代入①得 (

??? ?

????

4? 4?? -----------② ,n ? 1? ? 1? ?

??4 2 16? ) ? ? ? 2 ? 8? ? 16 ? 0 ,解得 ? ? 4 2 1? ? (1 ? ? )
16 8 , ). 5 5

∴满足题设的点 Q 存在,其坐标为 (0,

20. (本小题满分14分) y 如图,椭圆错误!未找到引用源。的左顶点、右焦点分别为错误!未找到引用源。, N 直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为错 M 误!未找到引用源。上一点,且在错误!未找到引用源。轴的上方, 错误!未找到引用源。与椭圆交于错误!未找到引用源。点. A F (1)若错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的中点,求证:错误!未找到 引用源。. l (2)过错误!未找到引用源。三点的圆与错误!未找到引用源。轴交于错误!未找到 引用源。两点,求错误!未找到引用源。的范围. 20. (1)证:由题意得错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用 源。 又错误!未找到引用源。点在椭圆上,且在错误!未找到引用源。轴上方,得错误! 未找到引用源。 ?????????3 分 错误!未找到引用源。 ?????????6 分 (2)解:(方法一)设错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。圆过错误!未找到引用源。三点,错误!未找到引用源。圆心 在线段错误!未找到引用源。的中垂线上 设圆心为错误!未找到引用源。,半径为错误!未找到引用源。,有错误!未找到引 用源。 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 ?????????10 分 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,当且仅当错误!未找到引用源。即 错误!未找到引用源。时取“=” 错误!未找到引用源。 .错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用 源。 ?????????14 分 (方法二)解:设错误!未找到引用源。,其中错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。圆过错误!未找到引用源。三点, 错误!未找到引用源。设该圆的方程为错误!未找到引用源。,有 错误!未找到引用源。 解得 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。圆心为错误!未找到引用源。半径错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, ????????? 10 分 错误!未找到引用源。

x

错误!未找到引用源。,当且仅当错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。时 取“=” 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用 源。. ?????????14 分 21.(本小题满分 14 分)ks5u 设 M ? 10a ? 81a ? 207 , P ? a ? 2 ,Q= 26 ? 2a ;若将 lg M ,lgQ,lgP 适当排序
2

后可构成公差为 1 的等差数列 {an } 的前三项. (1)试比较 M、P、Q 的大小;ks5u (2)求 a 的值及 {an } 的通项; (3)记函数 f ( x) ? an x ? 2an ?1 x ? an ? 2 (n ? N *) 的图象在 x 轴上截得的线段长为 bn ,设
2

2n ?1 1 . Tn ? (b1b2 ? b2b3 ? ? ? bn ? 1bn ) (n ? 2) ,求 Tn ,并证明 T2T3T4 ??????Tn ? n 4

? M ? 10a 2 ? 81a ? 207 ? 0 ? 21. 解: (1)由 ? P ? a ? 2 ? 0 ?Q ? 26 ? 2a ? 0 ?
得 ?2 ? a ? 13

?????????1 分

?????????2 分 ?????????3 分 ?????????4 分

? M ? Q ? 10a 2 ? 83a ? 181 ? 0(? ?1 ? 0) M ? P ? 10a 2 ? 80a ? 205 ? 0(? ? 2 ? 0)

?M ? Q , M ? P
又? 当 ?2 ? a ? 13 时, P ? Q ? ?24 ? 3a , 当 ?2 ? a ? 8 时,即 P ? Q ,则 P ? Q ? M 当 a ? 8 时, P ? Q ,则 P ? Q ? M 当 8 ? a ? 13 时, P ? Q ,则 Q ? P ? M (2)当 ?2 ? a ? 8 时, ???????6 分 ?????????5 分

?26 ? 2a ? 10(a ? 2) ?lg P ? 1 ? lg Q ?10 P ? Q 即? ?? 2 ? ?lg M ? 1 ? lg Q ? M ? 10Q ?10a ? 81a ? 207 ? 10(26 ? 2a )
解得 a ?

1 ,从而 an ? lg P ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2lg 2 2 当 8 ? a ? 13 时,

?????????7 分

? a ? 2 ? 10(26 ? 2a) ?lg Q ? 1 ? lg P ? P ? 10Q 即? , a 无解. ?? 2 ? ?lg M ? 1 ? lg P ? M ? 10 P ?10a ? 81a ? 207 ? 10( a ? 2)
?????????8 分 (3)设 f ( x) 与 x 轴交点为 ( x1 ,0),( x2 ,0)

? 2an?1 ? an ? an? 2 ,

?当 f ( x) =0 时有 ( x ? 1)(an x ? an? 2 ) ? 0
? x1 ? ?1, x2 ? ? an ? 2 a ?2 ?? n an an an ? 2 2 |? an | an | 2 an
????10 分 ?????????9 分

? bn ?| x1 ? x2 |?| ?1 ?

又? an ? n ? 2lg 2 ? 0 ,? bn ?

? bn ?1bn ?

2 2 1 1 ? ? 4( ? ) an ?1 an an ?1 an

1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? ? 4[( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 4 a1 a2 a2 a3 an ?1 an ? 1 1 1 1 n? 1 ? ? ? ? ????11 分 a1 a 1 ? 2 l g 2 n? 2 l g 2 ? ( 1 2 lng?2 ) ( 2 lg 2) n

Tn ?

n ?1 n ? 1 2(n ? 1) ? ? (1 ? 2lg 2)(n ? 2lg 2) 1 n n 2
????14 分

2 2? 2 2?3 2? 4 2(n ? 1) 2n ?1 T2T3T4 ??????Tn ? ? ? ? ?????? ? 2 3 4 5 n n
说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.


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