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2015-2016学年江西省南昌市第二中学高二下学期第一次月考数学(理)试题


2015-2016 学年江西省南昌市第二中学高二下学期第一次月考数学 (理)试题
一、选择题(5× 12= 60 分) 1. 下列四个命题,其中 m,n,l 为直线,α,β 为平面 ①m ? α,n ? α,m∥β,n∥β? α∥β; ②设 l 是平面 α 内任意一条直线,且 l∥β? α∥β; ③若 α∥β,m ? α,n ? β? m∥n; ④若 α∥β,m ? α? m∥β. 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.②④ D.①②④ 2. 已知空间四点 A、B、C、D 确定惟一一个平面,那么这四个点中( ) A.必定只有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 3. 如果 a, b, c 满足 c A. ab ? ac

? b ? a ,且 ac ? 0 ,那么下列选项中不一定成立的是(
C. cb ? ab
2 2

)

B. c(b ? a ) ? 0

D. ac(a ? c) ? 0

4. 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a, b, c 中至少有一个 是偶数”时,下列假设中正确的是( ) A. 假设 a, b, c 不都是偶数 B. 假设 a, b, c 都不是偶数 C. 假设 a, b, c 至多有一个是偶数 D. 假设 a, b, c 至多有两个是偶数
2

5. 不等式的解集 1 ? x ? A. x ? 1 ? x ? 0 C. ? x ?

x2 ? 1 是( 2

) B. ? x ?

?

?

? ?

3 ? ? x ? 0? 2 ?

5 ? D. ? x ? 2 ? x ? 0? ? x ? 0? 4 ? 6. 对于实数 x, y ,若 x ? 1 ? 2, y ? 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 的最大值为(
A.4 B .6 C.8 D.10 ( ) 7. 下面几种推理是合情推理的是 (1)由圆的性质类比出球的有关性质;

? ?



(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180? ,归纳出所有三角形的内角和都是 180? ; (3)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 5 , a2 ? 5 , an ?1

? an ? 6an ?1 (n ? 2) .由 an+1=a n+6a n-1 可推出 a n+1+2a n

=3(a n+2a n-1) (n≥2),故数列{an+1+2a n}是等比数列。 (4)三角形内角和是 180? ,四边形内角和是 360? ,五边形内角和是 540? ,由此得凸多边形内角和是

? n ? 2 ? ?180?

A. (1) (2) B. (1) (3) C. (1) (2) (4) D. (2) 8. 在空间中有下列四个命题:①有两组对边相等的四边形是平行四边形;②四边相等的四边形是菱形;③ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;④连接空间四边形各边中点的四边形一定是梯形.其中正 确命题的个数为( ) A.1 B .2 C.3 D.4 9. 已知表中的对数值有且只有两个是错误的: x lgx


1.5 3a-b+c

3 2a-b ).

5 a+c

6 1+a-b-c
1第

8 3(1-a-c)

9 2(2a-b)

12 1-a+2b

请你指出这两个错误 (

lg1.5 ? 3a ? b ? c , lg12 ? 1 ? a ? 2b B. lg 3 ? 2a ? b, lg 9 ? 2( 2a ? b) C. lg 5 ? a ? c, lg 8 ? 3(1 ? a ? c )
A. D. lg 3 ? 10.

2a ? b, lg 6 ? 1 ? a ? b ? c 已知不等式 | a ? 2 x |? x ? 1 ,对任意 x ? [0, 2] 恒成立,则 a 的取值范围为(

A. ??, 1 ? 5, ??

?

? ?

?

B. ??, 2 ? 5, ??

?

? ?

?



C. (1,5) D. (2,5) 11. 下面四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB// 平面 MNP 的图形是( )

A.①② 12. 已知函数

B.①④

f ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x在点( , f ( )) 处的切线为 l , 则直线 l 、 曲线 f ( x) 4 4
) B. 1 ?

?

?

C.②③

D.③④ 以及直线 x ?

?
2

所围成的区域的面积为( A.

3? 2 1 ? 16 2

?2
16

C.

?2
16

?

1 2

D. 2 ?

?2
5

二、填空题(4× 5=20 分) 13、 若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC ,BD 的长分别是 8, 12, 过 AB 的中点 E 且平行于 BD 、AC 的截面四边形的周长为 . 14 、不等式

x ? 3 ? x ? 1 ? a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为



15、正整数按右表的规律排列,则上起第 20 行,左起第 21 列的数应为_________.

如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N a 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上 3 底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= . 三、解答题:(共 70 分) 16. 17.(本小题 10 分) 设函数

f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .
2第

①当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域;


②若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围. 18.(本小题 12 分)由下列不等式:

1 , 2 1 1 1 ? ? ? 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1? ? ? ? ??? ? ? 2, 2 3 4 15 1?
你能得出怎样的结论? 并证明你的结论. 19.(本小题 12 分) 如图所示,已知 P、Q 是单位正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心. ①求证:PQ∥平面 BCC1B1. ②设 M 为直线 C1D1 中点,求异面直线 PQ 与 A M 的夹角.

20、 (本小题 12 分) 如图,ABCD 与 ADEF 为平行四边 分别是 AB,AD,EF 的中点.求证: (1)BE∥平面 DMF; E (2)平面 BDE∥平面 MNG.

形,M,N,G

F D C

A
21 、 ( 本 小 题 12 分 ) 已 知 椭 圆

M

B

x2 y2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 右 a b b 心率为 e , 且椭圆 E 过点 B ( 2e, ) , 2
的圆恰好经过椭圆的右焦点. (1)求椭圆 E 的标准方程;
页 3第

顶点为 A,离 以 AB 为直径

(2)设过点 C (?1,0) 的直线 l 交曲线 E 于 F,H 两点,且直线 OH 交椭圆 E 于另一点 G,问△FHG 面积 是否存在最大值?若有,请求出;否则,说明理由.

22、(本小题 12 分) 已知函数

1 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? 2 x(a ? 0). 2

①若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; ②若 a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 2 2

求实数 b 的取值范围; ③设各项为正的数列 {an } 满足: a1 求证: a n

? 1, an ?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N * .

? 2 n ? 1.

南昌二中 2015—2016 学年度下学期第一次月考 高二数学(理)试卷参考答案
一 CBCBB 二、(13)20 CAAAB (14)

(??, ?1] ? [4, ??)
2

AC

(15) 【解析】第 20 行第一个数为 202 ,第 21 个数为 20 ? (21 ? 1) ? ( ?1) ? 380 (16)

2 2 a 3

(17) (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的图 象(如图所示),知定义域为

? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .

(也可分段求解) (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ? a ? 3, 即a ? ?3 (18) 解:根据给出的几个不等式可以猜想第 n 个不等式,即一般不等式为: 1 1 1 n 1? ? ??? n ? (n ? N? ) . 2 3 2 ?1 2 用数学归纳法证明如下: 1 (1)当 n ? 1 时, 1 ? ,猜想成立; 2 1 1 1 k (2)假设当 n ? k 时,猜想成立,即 1 ? ? ? ? ? k ? , 2 3 2 ?1 2 则当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 1 k 1 1 1 k 2k k ? 1 1 ? ? ? ? ? k ? k ? k ? ? ? k ?1 ? ? k ? k ? ? ? k ?1 ? ? k ?1 ? , 即 当 2 3 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2 ?1 2 ?1 2 2 2
n ? k ? 1 时,猜想也正确,所以对任意的 n ? N? ,不等式成立. 19 解:①证明:连接 AB1,B1C,由△AB1C 中,P,Q 分别为 AB1、AC 的中点知 PQ∥B1C,由此可证明 PQ∥平面 BCC1B1 ②可通过补形在该正方体右边补一个正方体 C C2 D2 D- C1 C3 D3 D1,C3 D3 的中点为 M1,

A1 D ? 2, DM 1 ? 1 ?

5 3 1 17 ? , A1M 1 ? 22 ? ? 4 2 4 2
PQ 与 Ma

? A1 D 2 ? DM 12 ? A1M 12
所以在三角形 A1 D M1 中, 角 A1 D M1 为 90 度,即为 所成角。
页 4第

20: (1)如图,连接 AE,则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O,连接 MO, 则 MO 为△ABE 的中位线,所以 BE∥MO, 又 BE?平面 DMF,MO? 平面 DMF,所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N,G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD,EF 的中点,所以 DE∥GN, 又 DE?平面 MNG,GN? 平面 MNG,所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 中点,所以 MN 为△ABD 的中位线,所以 BD∥MN, 又 BD?平面 MNG,MN? 平面 MNG,所以 BD∥平面 MNG,又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直 线, 所以平面 BDE∥平面 MNG. 21 解: (1) 设椭圆的右焦点为 D, 连接 BD, 则 BD⊥AD, 所以 xD ? c ? 2e ,解得 a ? 2 故 点 B 的 坐 标 为 (c , ) , 将 其 代 入 椭 圆

b 2

b ( )2 x y c E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,得 2 ? 22 ? 1 a b 2 b x2 解得 c ? 3, b ? 1 .故椭圆 E 方程: ? y 2 ? 1; 4 (2)设 F,H 两点的纵坐标分别为 y1 , y2 ,由点 O 为线段 HG 的中点得: 1 S ?FHG ? 2 S ?OFH ? 2 ? ? OC ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 2 当直线 l 的斜率为 0 时,则点 F 与 G 重合(矛盾) 于是,设直线 l 的方程: x ? my ? 1, m ? R ? x ? my ? 1 ? 2 2 联立 ? x 2 消元: (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 2 ? y ? 1 ? ?4 2m ? ? y1 ? y2 ? m 2 ? 4 所以 ? , 3 ? y1 y2 ? ? 2 m ?4 ?
2 2
2

4 m2 ? 3 4 m2 ? 3 4 y1 ? y2 ? ? ? m2 ? 4 m2 ? 3 ? 1 m2 ? 3 ?
令t ?

1 m2 ? 3
4 3 3

m 2 ? 3 ? [ 3 ,??) ,

函数 U (t ) ? ? t 为增函数, U min (t ) ? U ( 3 ) ?

y1 ? y2 max ? 3 , S ?FGH max ? 3
(22) 解: ( 1 ) f ?( x) ? ?

1 t ( 此时 m ? 0 )

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). 依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x 1? 2x 1 1 x ? 0 恒成立.则 a ? 2 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立,即 a ? (( ? 1) 2 ? 1) min ( x ? 0) x x x 1 当 x ? 1 时, ( ? 1) 2 ? 1 取最小值 ?1 ∴ a 的取值范围是 (??, ?1] x



5第

1 1 1 2 3 a ? ? , f ( x ) ? ? x ? b ? x ? x ? ln x ? b ? 0. (2) 2 2 4 2
设 g ( x) ?

1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x) ? . 列表: 4 2 2x x (0,1) (1, 2) (2, 4) 1 2

g ?( x)

?
?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

g ( x)

∴ g ( x) 极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g ( x) 极大值 ? 方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

? g (1) ? ?b ?

5 4 ,又 g (4) ? 2 ln 2 ? b ? 2

? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 , 得 ln 2 ? 2 ? b ? ? 4 ? g (4) ? 0 ?
(3)设

h( x) ? ln x ? x ? 1, x ? ?1, ?? ?

, 则 h?( x ) ?

h( x) max ? h(1) ? 0, 故当 x ? 1 时有 ln x ? x ? 1 .
从而 an ?1 即 1 ? an

1 ? 1 ? 0 ? h( x) 在 ?1, ?? ? 为 减 函 数 , 且 x

* ? a1 ? 1. 假设 ak ? 1(k ? N * ), 则 ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 ,故 an ? 1(n ? N ).

? ln an ? an ? 2 ? 2an ? 1. ?1 ? an ?1 ? 2(1 ? an ) ? ?? ? 2n (1 ? a1 ).

? 2n ,∴ an ? 2n ? 1



6第


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