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湖北省重点高中联合协作体2017届高三上学期期中考试理数试题Word版含答案.doc


高三理科数学 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.设集合 M ? { y | y ? 2sin x, x ?[?5,5]} ,N ? {x | y ? log2 ( x ?1)} , 则 M ? N ?( A. {x |1 ? x ? 5} D. {x |1 ? x ? 2} 2.下列命题中,是假命题的是( A. ?x0 ? R,sin x0 ? cos x0 ? 3 C. ?x ? 0, x ? ln x ) B. ?x0 ? R, tan x0 ? 2016 D. ?x ? R, 2x ? 0 ) D. y ? 2
x



B. {x | ?1 ? x ? 0}

C. {x | ?2 ? x ? 0}

3.下列函数中,在 (0, ??) 上单调递减,并且是偶函数的是( A. y ? x
2

B.

y ? ? x3

C. y ? ? ln | x |

4.设 a, b, c 为三条互不相同的直线,? , ? , ? 为三个互不相同的平面, 则下列选项中正确的是 ( ) B.若 a ? ? , b ? ? , a / /b ,则 ? / / ? D.若 a / /? , b / / ? , a ? b ,则 ? ? ?

A.若 a ? b, a ? c ,则 b / / c C.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / /?

5.已知方程

x2 y2 ? ? 1表示的曲线为 C ,给出以下四个判断:①当 1 ? t ? 4 时,曲线 C 4 ? t t ?1

表示椭圆; ②当 t ? 4 或 t ? 1 时, 曲线 C 表示双曲线; ③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 则1 ? t ? ( A. 1 6.已知 sin 2? ?

5 ;④若曲线 C 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 t ? 4 .其中判断正确的个数是 2

) B.2 C. 3 D.4 )

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? ( 3 4

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 7.若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 且最大值为 40,则 ? x ? 0, y ? 0 ?
5 1 ? 的最小值为( a b
A. 1 B. )

9 4

C. 4

D.

25 6

* 8. 若数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an?1 ? ran ? r ( n ? N ,实数 r 是非零常数) ,则“ r ? 1 ”

是“数列 {an } 是等差数列”的( A.充分不必要条件 分也不必要条件

) C. 充要条件 D.既不充

B.必要不充分条件

9.已知非零向量 OA ? a ,OB ? b ,且 BC ?OA ,C 为垂足,若 OC ? ? a(? ? 0) ,则 ? 等 于( )

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

?

? ? a?b A. ? ? | a || b |
10.设点 P 是椭圆

? ? a ?b B. ? 2 |a|

C.

? ? a ?b ? | b |2

? ? | a|?|b| D. ? ? a ?b

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点, I 为 a 2 b2


?PF1F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? 2S?IF1F2 ,则该椭圆的离心率是(
A.

1 4

B.

2 2

C.

1 2

D.

3 2

2 11.若函数 f ( x) ? 1 ? ( x ? 2016) ? 2017 , 则对于满足 2016 ? x1 ? x2 ? 2017 的任意实数

x1 , x2 ,有(

) B. x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) D. x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 )

A. x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) C. x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 )

x 2 x3 x 4 x 2017 ? ? ??? 12.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? , 2 3 4 2017

g ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x 2017 ? ? ?? ? , 设函数 F ( x) ? f ( x ? 4) g ( x ? 5) , 且函数 F ( x) 的 2 3 4 2017


零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z ) 内,则 b ? a 的最小值为( A. 9 B. 10 C. 11 D.12

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 a ? (1, ?2) , | b |? 2 5 ,且 a / / b ,则 b ?

?

?

?

?

?



14.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 3,顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为 .

15.若 y ?| 3sin(? x ? 个对称中心为 (

?
12

) ? 2 | 的图象向右平移

? , 0) ,则 ? 的最小正值为 48

? 个单位后与自身重合,且 y ? tan ? x 的一 6


16. Sn 为 {an } 的前 n 项和, 已知 a1 ? 1 ,Sn ? n ? an?1 ? 2n ,则数列 { 和 Tn 的表达式为 .

1 } 的前 n 项 n(an ? an ?1 )

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分)
x 已知函数 f ( x) ? ?( x ? 2m)( x ? m ? 3) (其中 m ? ?1 ) , g () x 2 ? 2 ? .

(1)若命题“ log 2 g ( x) ? 1”是真命题,求 x 的取值范围;

?x ? (1, ??) ,f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ; ?x ? (?1,0) ,f ( x) g ( x) ? 0 , (2) 设命题 p : 命题 q :
若 p ? q 是真命题,求 m 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在 ?ABC 中,点 D 在边 AB 上, CD ? BC , AC ? 5 3 , CD ? 5 , BD ? 2 AD . (1)求 AD 的长; (2)求 ?ABC 的面积.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,直线 PA ? 平面 ABCD , AD / / BC , AB ? AD ,

BC ? 2 AB ? 2 AD ? 4 BE ? 4 .
(1)求证:直线 DE ? 平面 PAC ; (2)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 余弦值.

5 ,求二面角 A ? PC ? D 的平面角的 5

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: ( p ?1)Sn ? p2 ? an ( p ? 0, p ? 1) ,且 a3 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 . 3

1 ,数列 {bn ? bn?2 } 的前 n 项和为 Tn ,若对于任意的正整数 n ,都有 2 ? log 3 an
3 成立,求实数 m 的取值范围. 4

Tn ? m 2 ? m ?

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(?1,1) 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 AP 与

1 BP 的斜率之积等于 ? . 3
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设直线 AP 与 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N ,问:是否存在点 P 使得 ?PAB 与

?PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
22. (本小题满分 12 分)

设函数 f ( x) ? x2 ? bx ? a ln x . (1)若 b ? 2 ,函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求实数 a 的取值范围; (2)在(1)的条件下,证明: f ( x2 ) ? ?

3 ? 2 ln 2 ; 4

(3)若对任意 b ? [1, 2] ,都存在 x ? (1, e) ( e 为自然对数的底数) ,使得 f ( x) ? 0 成立, 求实数 a 的取值范围.

试卷答案 一 选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D

二 填空题 13. (2,-4)或(-2,4) 三 解答题 17.解(1)∵“log2g(x)<1”是真命题 ∴log2(22-2)<1 ∴1<x<2 ∴0<2x-2<2 14.21π 15.24 16. Tn ?

3 1 n?1 ?( ) 2 2

∴x 的取值范围是(1,2)

(2)p∧q 是真命题 ∴p 与 q 都是真命题 当 x>1 时,g(x)=2x-2>0 ∴f(x)<0

∵m<-1 ∴2m<―m―3 ∴由 f(x)<0 得 x<2m 或 x>―m―3 ∴―m―3≤1 得 m≥-4 ∴4≤m<-1 当-1<x<0 时,g(x)=2x-2<0 ∴对 ?x ? ( ?1,0) 使 f(x)>0 而 f(x)>0 ? 2m<x<-m-3 综上,-4≤m≤-3. 18 (Ⅰ) 解法一: 在△ ABC 中,因为 BD ? 2AD ,设 AD ? x ? x ? 0? ,则 BD ? 2 x . 在△ BCD 中,因为 CD ? BC , CD ? 5 , BD ? 2 x ,

? 2 m ? ?1 ∴? ?? m ? 3 ? 0

∴m≤-3

所以 cos ?CDB ?

CD 5 .?????????????????????2 分 ? BD 2 x

在△ ACD 中,因为 AD ? x , CD ? 5 , AC ? 5 3 , 由余弦定理得 cos ?ADC ?

AD2 ? CD2 ? AC 2 x 2 ? 52 ? (5 3)2 . ???4 分 ? 2 ? AD ? CD 2? x ?5

因为 ?CDB ? ?ADC ? ? , 所以 cos ?ADC ? ? cos ?CDB ,

x 2 ? 52 ? (5 3)2 5 即 ? ? .?????????????????????5 分 2? x ?5 2x
得x?5. 所以 AD 的长为 5 . ?????????????????????????6 分



所以 cos ?CBD ?

BC 4 x 2 ? 25 .?????????????????2 分 ? BD 2x

在△ ABC 中,因为 AB ? 3 x , BC ? 4 x2 ? 25 , AC ? 5 3 , 由余弦定理得 cos ?CBA ?

AB2 ? BC 2 ? AC 2 13x 2 ? 100 .????4 分 ? 2 ? AB ? BC 6 x ? 4 x2 ? 25

所以

13x 2 ? 100 4 x 2 ? 25 .??????????????????5 分 ? 2x 6 x ? 4 x 2 ? 25

解得 x ? 5 . 所以 AD 的长为 5 . ?????????????????????????6 分 (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)求得 AB ? 3x ? 15 , BC ? 4 x2 ? 25 ? 5 3 .??????8 分 所以 cos ?CBD ? 所以 S?ABC ?

1 BC 3 ,从而 sin ?CBD ? .??????????10 分 ? 2 BD 2

1 1 1 75 3 ? AB ? BC ? sin ?CBA ? ? 15 ? 5 3 ? ? .??????12 分 2 2 4 2

解法二:由(Ⅰ)求得 AB ? 3x ? 15 , BC ? 4 x2 ? 25 ? 5 3 .??????8 分 因为 AC ? 5 3 ,所以△ ABC 为等腰三角形. 因为 cos ?CBD ?

BC 3 ,所以 ?CBD ? 30? .???????????10 分 ? BD 2
1 5 3 BC ? . 2 2

所以△ ABC 底边 AB 上的高 h ? 所以 S ?ABC ?

1 1 5 3 75 3 ? AB ? h ? ?15 ? .????????????12 分 ? 2 2 2 4

解法三:因为 AD 的长为 5 , 所以 cos?CDB = 所以 S?ADC ?

CD 5 1 ? = ? ,解得 ?CDB ? .????????8 分 3 BD 2 x 2

1 2? 25 3 . ? AD ? CD ? sin ? 2 3 4

1 ? 25 3 .??????????????10 分 S?BCD ? ? BD ? CD ? sin ? 2 3 2
所以 S?ABC ? S?ADC ? S?BCD ?

75 3 .?????????????????12 分 4

19 法一(Ⅰ)取 AD 中点 F ,连接 BF ,则 FD / /BE ,∴四边形 FBED 是平行四边形,∴
FB // ED ∵直角△ BAF 和直角△ CBA 中,

BA CB ? ? 2 ∴直角△ BAF ? 直角△ CBA ,易知 AF BA

BF ? AC ∴ ED ? AC …2 分
又∵ PA ? 平面 ABCD ∴ PA ? ED ……4 分,而 PA ? AC ? A ∴ ED ? 平面 PAC .得证. ……5 分

( Ⅱ ) 由 △ AGD ? △ CGE , 知

DG AD 2 3 3 5 ? ? , ∵ AB ? AD ? 2 ∴ EG ? DE ? , GE EC 3 5 5

DG ?

2 5 设 ED 交 AC 于 G ,连接 PG ,则 ?EPG 是直线 PE 与平面 PAC 所成的角, 5

sin ?EPG ?

EG 5 ,∴ PE ? 3 ,而 AE ? 5 故 PA ? PE 2 ? AE 2 ? 2 .……7 分 . 作 ? EP 5

GH ? PC 于 H ,由 PC ? DE ,知 PC ? 平面 HDG ,∴ PC ? DG ,∴ ?GHD 是二面角
A ? PC ? D 的 平 面 角 .……9
GC ? CE 2 ? EG 2 ?

分 ∵ △ PCA ? △ GCH , ∴

PA PC ? , 而 GH GC

6 5 PA ? GC 30 6 15 ∴ GH ? ∴ tan ?GHD ? ,∴ cos ?GHD ? , ? 5 PC 5 3 5 15 ……12 分(其他方法酌情给分) 5

即二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值为

法二: (Ⅰ)∵ PA ? 平面 ABCD ∴ AB ? PA 又∵ AB ? AD ,故可建立建立如图所示坐标 系……1 分.

???? 由 已 知 D(0, 2, 0) , E (2, 1, 0) , C (2, 4, 0) , P(0, 0, ? ) ( ? ? 0 ) ∴ AC ? (2, 4, 0) ,

???? ???? ???? ??? ? ??? ? ???? AP ? (0, 0, ? ) , DE ? (2, ? 1, 0) ∴ DE ? AC ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 , DE ? AP ? 0 .……4 分 , ∴

DE ? AC , DE ? AP ,∴ ED ? 平面 PAC ……6 分
???? ??? ? (Ⅱ)由(Ⅰ) ,平面 PAC 的一个法向量是 DE ? (2, ? 1, 0) , PE ? (2, 1, ? ? )
??? ? ???? 设 直 线 PE 与 平 面 PAC 所 成 的 角 为 ? , ∴ sin ? ? | cos ? PE , DE ? | ? | 4 ?1 5 5??
2

|?

5 , 5

? ? ?2 ∵ ? ? 0 ∴ ? ? 2 ,即 P(0, 0, 2)
???? ??? ? 设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x0 , y0 , z0 ) , DC ? (2, 2, 0) , DP ? (0, ? 2, 2)

………8 分

???? ??? ? 2 x0 ? 2 y0 ? 0 由 n ? DC , n ? DP ∴ ? ,令 x0 ? 1 ,则 n ? (1, ? 1, ? 1) ?
??2 y0 ? 2 z0 ? 0

………10 分

???? ∴ cos ? n ,DE ? ?

2 ?1 3? 5

?

15 ………11 分 5

显然二面角 A ? PC ? D 的平面角是锐角,

∴二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值为

15 5

………12 分(其他方法可酌情给分)

20 解(1)由题设知(p-1)a1=p2-a1,得 p=a1 或 p=0(舍) 由条件知(p-1)S2=(p-1)(a1+a2)=p2-a2 得 a2=1

再由(p-1)S3=(p-1)(a1+a2+a3)=p2-a3 得 a3=

1 p

由 a3=

1 1 1 得 = p 3 3

故 p=3=a1

∴2Sn=9-an,则 2Sn+1=9-an+1 两式相减得:2(Sn+1-Sn)=an-an+1 即 2an+1=an-an+1 ∴an+1=

1 an 3 1 1 - - 的等比数列,故 an=3·( )n 1=32 n 3 3

∴{an}是首项为 3,公比为 (2)∵bn=

1 1 1 ? ? 2 ? log3 an 2 ? (2 ? n) n

∴bn·bn+2=

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

∴Tn=b1b3+b2b4+b3b5+?+bn·bn+2

1 1 1 1 1 1 1 1 )] 2 3 2 4 3 5 n n? 2 1 1 1 1 3 = (1 ? ? ? )? 2 2 n?1 n? 2 4 3 3 3 故要使 Tn<m2-m+ 恒成立,只需 ≤m2-m+ 4 4 4
= [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? 解得 m≤0 或 m≥1 故所求实数 m 的取值范围为 ( ??,0] ? [1, ??) . 21(1)因点 B 与(-1,1)关于原点对称,得 B 点坐标为(1,-1) 。
k AP ? , kBP ? ? ?? x, y ? x ?1 x ? 1 ,由题意得 x ? 1 x ? 1 3, 设 P 点坐标为 ? ,则
2 2 化简得: x ? 3 y ? 4,( x ? ?1) 。 2 2 即 P 点轨迹为: x ? 3 y ? 4,( x ? ?1)

y ?1

y ?1

y ?1 y ?1

1

(2)因 ?APB ? ?MPN ? 180? ,可得 sin ?APB ? sin ?MPN ,



S?APB ?

1 1 PA PB sin ?APB, S?MPN ? PM PN sin ?MPN 2 2 ,
PA PM ? PN PB

PA PB ? PM PN 若 S?APB ? S?MPN ,则有 ,
设 P 点坐标为 ?
x0 ?



x0 , y0 ?

x0 ? 1

,则有:

3 ? x0

?

3 ? x0 x0 ? 1

解得:

33 5 y0 ? ? 2 2 9 。 3 ,又因 x0 ? 3 y0 ? 4 ,解得

? 5 33 ? ? 5 33 ? , ,? ? ? ? ? ?3 9 ? ?3 9 ? ? 或? ? 故存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等,此时 P 点坐标为 ?
22 解(1)由已知,b=2 时,f(x)=x2-2x+alnx ∴ f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

a 2x2 ? 2x ? a ? x x

∵f(x)有两个极值点 x1,x2,∴ f ?( x ) =0 有两个不等正根 x1,x2 ∴2 x 2 ―2x+a=0 的判别式△=4―8a>0 x1+x2=1,x1x2= ∴a<

1 2

a 1 >0 ∴a 的取值范围是 0<a< 2 2 1 2 (2)由(1)得 <x2<1,且 f ?( x 2 ) ? 0 得 a ? 2 x2 ? 2 x2 2
2 2 ∴f(x2)= x2 ? 2 x2 ? ( 2 x 2 ? 2 x2 ) ? ln x2

令 F(t)=t2-2t+(2t-2t2)·lnt ∴ F ?( t ) ? 2(1 ? 2t ) ? ln t ? 0

(

1 <t<1) 2

1 ,1)上是增函数 2 1 ? 3 ? 2 ln 2 ∴F(t)>F( )= 2 4
∴F(t)在(

∴f(x2)>

? 3 ? 2 ln 2 4

(3)令 g(b)=-x·b+x2+a·lnx,b∈[1,2] 由于 x∈(1,e) ∴g(b)为关于 b 的递减的一次函数 由题意,x∈(1,e)时,g(x)max=g(1)=-x+x2+alnx<0 有解 令 h(x)=-x+x2+a·lnx,则只需存在 x0∈(1,e),使 h(x0)<0 即可 ∴ h?( x ) ? 2 x ? 1 ?

a 2x 2 ? x ? a ? x x

令 ? ( x ) = 2 x ? x ? a ,x∈(1,e), ? ?( x ) ? 4 x ? 1 ? 0
2

∴ ? ( x ) 在(1,e)上单调递增 ∴ ? ( x ) > ? (1) =1+a ①当 1+a≥0,即 a≥-1 时, ? ( x ) >0 ∴ h?( x ) ? 0 ∴h(x)在(1,e)上单增 ∴h(x)>h(1)=0,不合题意

②当 1+a<0,即 a<-1 时, ? (1) =1+a<0, ? ( e ) =2e2-e+a (1)若 ? ( e ) <0,即 a≤-2e2+e<-1 时, x∈(1,e)时, ? ( x ) <0 恒成立 ∴ h?( x ) ? 0 恒成立 ∴h(x)在(1,e)上单调递减 ∴存在 x0∈(1,e)使 h(x0)<h(1)=0,符合题意 (2)若 ? ( e ) >0,-2e2+e<a<-1 时,在(1,e)上存在实数 m,使 ? ( m ) =0 ∴x∈(1,m)时, ? ( x ) <0 恒成立,即 h?( x ) ? 0 恒成立 ∴h(x)在(1,m)上单调递减 ∴存在 x0∈(1,m)上,使 h(x0)<h(1)=0 符合题意 综上,a<-1.


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