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黑龙江省哈尔滨市第六中学2015届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 Word答案不全


数学文 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差 s ? 的平均数 柱体体积公式 V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;锥体体积公式 V ? 面积, h 为高 球的表面积和体积公式 S ? 4?R 2 , V ?

1 ( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 , 其中 x 为样本 n

?

?

1 Sh ,其中 S 为底面 3

4 3 ?R ,其中 R 为球的半径 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)}, 则 A ? B ? (
2



A. ?1,2 ?

B. ?1,2?

C. ?? 1,1?

D. ?? 1,1? )

2.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是( A. ?2,4 ? B. ?2,?4 ? C. ?4,?2 ? D. ?4,2 ?

3.已知 ?ABC 中, AB ? 2, AC ? 3 ,且 ?ABC 的面积为 A. 150 ? B. 120 ? C. 60 ? 或 120 ?

3 ,则 ?BAC ? ( 2



D. 30 ? 或 150 ? )

4.已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的动点,则 AP ? ( AB ? AC ) ( A.有最大值为 8 B.是定值 6 C.有最小值为 2 )

D.与 P 点的位置有关

5.设 x ? 0 ,且 1 ? b x ? a x ,则 (

A. 0 ? b ? a ? 1 B. 0 ? a ? b ? 1 C. 1 ? b ? a D. 1 ? a ? b 6.掷同一枚骰子两次,则向上点数之和不小于 6 的概率是( ) A.

13 18

B.

4 5

C.

2 3

D.

3 4

7. 数列 {a n } 是公差不为零的等差数列,并且 a5 , a8 , a13 是等比数列 {bn } 的相邻三项,若

b2 ? 5 ,则 bn 等于(
A. 5 ? ( ) n ?1

) B. 3 ? ( ) n ?1

3 5 8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是(
C. 3 ? ( ) n ?1 D. 5 ? ( ) n ?1

5 3

5 3

3 5



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A.2

B.

9.如图所示程序框图中,输出 S ? (

9 2

C.

3 2

D.3 )

A. 45

B. ? 55

C. ? 66

D. 66

10.点 A, B, C , D 在同一个球的球面上, AB ? BC ? AC ?

3,


若四面体 ABCD 体积的最大值为 3 ,则这个球的表面积为( A.

289? 16

B. 8?
2 2

C.

169? 16

D.

25? 16

11.已知圆 C : x ? y ? 2 ,直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,点 P ( x 0 , y 0 ) 在直线 l 上.若在圆 C 上 存在点 Q ,使得 ?OPQ ? 45 ( O 为坐标原点) ,则 x 0 的取值范围是(
?



A. ?0,1?

B. ?0, ? 5

? 8? ? ?

C. ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

D. ??

? 1 8? , ? 2 5? ?

?| log 2 x |,0 ? x ? 2 ? 12 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 若 存 在 实 数 x1 , x 2 , x3 , x 4 满 足 ? sin( x),2 ? x ? 10 ? 4 ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x 4 ) ,且 x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ,则
是( ) A.(20,32)

( x3 ? 1) ? ( x 4 ? 1) 的取值范围 x1 ? x 2

B.(9,21)

C.(8,24)

D.(15,25)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知数列 {a n } 中, a 2 ? 1 , a n ?1 ? a n ? n ? 1 ,则 a5 ?

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?x ? y ? 1 ? 0 ? 14.如果 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 0 ?
15.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 30 ? 的直线交抛物线于 A 、 B 两点,若
2

线段 AB 的长为 8,则 p ? _____________ 16.已知函数 f ( x) ? e ? mx ? 1 的图像为曲线 C ,若曲线 C 存在与直线 y ? ex 垂直的切
x

线,则实数 m 的取值范围为 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos(2 x ? (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (2)设 ?ABC 的三内角分别是 A, B, C .若 f (

2? ) ? 3 sin 2 x 3

C 1 ) ? ? ,且 AC ? 1, BC ? 3 ,求边 AB 和 2 2

sin A 的值.

18. (本小题满分 12 分) 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低 碳生活习惯”的调查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳 族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少 75 %的住户属于“低碳族”,则称这个小 区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳 小区,两个低碳小区. (1)任选两个小区进行调查,求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;
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(2)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为

1 ,数据如图 2

1 所示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这 时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC ,

?ADC ? 90 ? , 平面 PAD ? 底面 ABCD , Q 为 AD 的
中点, PA ? PD ? 2 , BC ? 是棱 PC 的中点。 (Ⅰ)求证: PA // 平面 MQB ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? DQM 的体积。

P

1 AD ? 1, CD ? 3 , M 2
M D Q

C B

A

20. (本小题满分 12 分)过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 2 的直线, a2 b2
6 | BC | 。 13

与椭圆的另一个交点为 B ,与 y 轴的交点为 C ,已知 | AB |? (1)求椭圆的离心率;

(2)设动直线 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q ,若

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x 轴上存在一定点 M (1,0) ,使得 PM ? QM ,求椭圆的方程。

21. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的函数 f ( x) ? (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的极值;

ax ? a (a ? 0) ex

(2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 没有零点,求实数 a 的取值范围。

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应 的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按 本选考题的首题进行评分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , 在 ?ABC 中 , CD 是 ?ACB 的 角 平 分 线 , ?ADC 的 外 接 圆 交 BC 于 点 E , AB ? 2 AC . (Ⅰ)求证: BE ? 2 AD ;
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(Ⅱ)当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程. 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C :

? ? x ? ?2 ? ? 2 ? sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,过点 P(?2,?4) 的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
数), l 与 C 分别交于 M , N . (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值.

2 t 2 ( t 为参 2 t 2

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | 2 x ? a |, a ? R . (1)当 a ? 3 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

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18. ( 1 ) 设 “ 非 低 碳 小 区 ” 为 A,B,C, “ 低 碳 小 区 ” 为 D,E; 从 中 任 取 两 个 小 区 有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个基本事件,恰有一个“非低碳小区”有 AD,AE, BD,BE,CD,CE 共 6 个基本事件;所以所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率为

6 3 ? 10 5

。。。 6 分

(2)小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为

1 , 2

由图 1 知月排放量低于 3 百千克/户为低碳族, 。 。 。 8 分 所以由图 2 知,宣传后“低碳族”占 0.07+0.23+0.46=0.76>0.75,达到“低碳小区”的标 准。。。12 分 19 .证明 : (Ⅰ)连接 AC ,交 BQ 于 N , 连接 MN , ? BC // AD 且 BC ?

1 AD ,即 2

BC // AQ ,
∴ 四 边 形 BCQA 为 平 行 四 边 形 , 且 N 为 AC 中 点 , 又 因 为 点 M 是 棱 PC 的 中 点 ,

? MN // PA ,因为 MN ? 平面 MQB ,PA ? 平面 MQB , 则 PA // 平面MQB ;
6 分 (Ⅱ) V P ? DQM ? VM ? PDQ ,证明出 CD ? 平面 PAD 9 分 所 所以 M 到平面 PAD 的距离为 。 。 。

1 CD 2


VP ? DQM ? VM ? PDQ
12 分 20. (1) 由 AB ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S ?PDQ ? CD ? ? QD ? PQ ? CD ? ? ? 3 ? 1 ? ? 3 ? 3 2 3 2 2 3 2 2 4

6 6 知 AB ? 设直线 AB :y ? 2( x ? a ) ,A(? a,0) , BC , BC , C (0,2a ) 13 13
带 入





B(?

13 12 a, a ) 19 19

x2 y2 ? ?1 a2 b2





3a 2 ? 4b 2







e?

1 2

。 。 。5 分

(2)由(1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,联立 y ? kx ? m 和椭圆得 4c 2 3c 2

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12c 2 ? 0 ,由 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点 P 知
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? ? 64k 2 m 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12c 2 ) ? 0 m 2 ? c 2 (3 ? 4k 2 ), (1)
P( ? 4km 3m , ) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
。 。 。9 分 。 。 。8 分





Q(4,4k ? m) ,
由 PM ? QM 得 (1 ? 即

4km 3m ,? ) ? (?3,?4k ? m) ? 0 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
。 。

m 2 ? (3 ? 4k 2 ), (2)
。10 分 由 (1) , (2) 得 c 2 ? 1 所以椭圆方程为 12 分 21.(1) f / ( x) ? 2分

x2 y2 ? ?1 4 3

。 。 。

x?2 ex x?2 ? 0, x ? 2 ex
无极大值 画表

。 。 。

f / ( x) ?
4分 极小值= f (2) ? ? 6分

。 。 。

1 e2

。 。 。

(2)根据题意, F ( x) ? f ( x) ? 1 ?
x /

ax ? a ? e x ? 0 无实根,即 ax ? a ? e x ? 0 无实根, x e
x

令 h( x) ? ax ? a ? e , h ( x) ? a ? e
/

若 a ? 0, h ( x) ? 0, h( x) 在 R 上单调递增,存在 x 0 , 使得 h( x 0 ) ? 0 不合题意 若 a ? 0, h ( x) ? 0, x ? ln(? a ) , h ( x) ? 0, x ? ln(? a ); h ( x) ? 0, x ? ln(? a )
/ / /

所以 h( x) min ? h(ln(? a )) ? a ln(? a ) ? 2a ,当 h( x) min ? 0 即 a ln(? a ) ? 2a ? 0 解得 0 ? a ? ?e 2 符合题意 综上所述: 0 ? a ? ?e 2 12 分 。 。 。

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22. (Ⅰ)连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA, 又 ?DBE ? ?CBA, ? ?DBE ∽ ?CBA ,即有 又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2 DE , 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD ; 5分

BE DE ? , BA CA

(Ⅱ)由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t , 则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC , 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t 2 ? 9t ? 18 ? 0 , 解得 t ?

3 3 或 ? 6 (舍去) ,则 AD ? . 2 2
2

10 分

23.(1) y ? 2ax

x-y-2=0;(2)1.

解:(1)利用极坐标与普通方程的关系式,可得 C 为抛物线方程,消去参数 t,可得直线 l 的方程;(2)由|PM|=|t1|,|MN|=|t1-t2|,|PN|=|t2|成等比数列,可转化为关于 a 的等 量关系求解. 2 试题解析:(Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程为 y =2ax(a>0); 直线 l 的普通方程为 x-y-2=0. 4分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t -2(4+a) 2 t+8(4+a)=0
2

(*)

△=8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|. 2 2 由题设得(t1-t2) =|t1t2|,即(t1+t2) -4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) 2 ,t1t2=8(4+a)>0,则有 (4+a) -5(4+a)=0,得 a=1,或 a=-4. 因为 a>0,所以 a=1.
2

10 分

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24. (1) ? x 1

? ?

x

5? (2)a≥4 ?; 3?

? ? 1 ? x, x 2 ? 3 ? 解: (1)当 a=3 时 f ? x ? ? x ? 2 ? 2 x ? 3 ? ?5 ? 3 x, ? x ? 2 , 2 ? 3 ? x ? 1, x ? ? 2
当 x>2 时,1-x>0,即 x<1,解得 ? ,

2分

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