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2018版高考数学一轮复习11.9离散型随机变量的均值与方差正态分布真题演练集训理


2018 版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其 分布 11.9 离散型随机变量的均值与方差、 正态分布真题演练集训 理 新人教 A 版
1.[2016·四川卷]同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说 这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是________. 3 答案: 2 3 解析:由题意知,试验成功的概率 p= , 4 3 3 ? 3? 故 X~B?2, ?,所以 E(X)=2× = . 4 2 ? 4? 2.[2014·新课标全国卷Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一 项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ ,σ ),其中 μ 近 似为样本平均数 x ,σ 近似为样本方差 s . ①利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2); ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求 E(X). 附: 150≈12.2. 若 Z~N(μ ,σ ),则 P(μ -σ <Z<μ +σ )=0.682 6,P(μ -2σ <Z<μ +2σ )=0.954 4. 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为
2 2 2 2 2

2

1

x = 170×0.02 + 180×0.09 + 190×0.22 + 200×0.33 + 210×0.24 + 220×0.08 +
230×0.02=200,

s2 = ( - 30)2×0.02+ ( - 20)2×0.09+ ( - 10)2×0.22+0×0.33+ 102×0.24+202×0.08
+30 ×0.02=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2) =0.682 6. ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6,依题意知
2

X~B(100,0.682 6),所以 E(X)=100×0.682 6=68.26.
3.[2016·新课标全国卷Ⅱ]某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保 人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出 险次数 保费 0 0.85a 1 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a

a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出 险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0.05

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 解:(1)设 A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生当且仅 当一年内出险次数大于 1,故 P(A)=0.20+0.20+0.10 +0.05=0.55. (2)设 B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 B 发生当且 仅当一年内出险次数大于 3,故 P(B)=0.10 +0.05=0.15. 又 P(AB) =P(B), 故 P(B|A)=

P?AB? P?B? 0.15 3 = = = . P?A? P?A? 0.55 11

3 因此所求概率为 . 11 (3)记续保人本年度的保费为 X,则 X 的分布列为

X P

0.85a 0.30

a
0.15

1.25a 0.20

1.5a 0.20

1.75a 0.10

2a 0.05

E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=
1.23a.
2

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23. 课外拓展阅读 离散型随机变量的期望问题 离散型随机变量的期望常与茎叶图、频率分布直方图、分层抽样、函数、不等式等知识 相结合,这就为设计新颖、内在联系密切、思维方法灵活的考题开辟了广阔的空间.近年高 考中有关离散型随机变量的期望的题目多以解答题形式呈现,一题多问,这样既降低了起点, 又分散了难点,能较全面地考查必然与或然思想、处理交汇性问题的能力和运算求解能力, 难度多为中等,分值在 12 分左右.现一起走进离散型随机变量的期望,欣赏其常见的交汇方 式与解题方法. 一、离散型随机变量的期望与茎叶图的交汇问题 [典例 1] 为备战 2017 年青年跳水世锦赛,我国跳水健儿积极训练,在最近举行的一次 选拔赛中,甲、乙两名运动员为争夺一个参赛名额进行了七轮激烈的比赛,甲、乙两名选手 七轮比赛的得分如图所示,已知甲的平均得分比乙的平均得分少 1.

(1)求甲得分的众数与乙得分的极差; (2)若从甲、乙两名运动员不低于 80 且不高于 90 的得分中各任选 1 个,记甲、乙两名运 动员得分之差的绝对值为 ξ ,求 ξ 的分布列及其期望. [思路分析] (1)观察茎叶图中甲的数据,判断出现次数最多的数据,即众数;观察茎叶 图中乙的数据,找出最高分与最低分,相减可得乙得分的极差;(2)先求 ξ 的所有可能取值, 然后利用古典概型的概率计算公式,求出 ξ 取各个值时的概率,列出其分布列,最后利用期 望的定义求出期望值. [解] (1)由茎叶图可知,甲、乙两名运动员七轮比赛的得分情况如下: 甲:78,80+m,84,85,84,85,91; 乙:79,84,84,86,87,84,91. 1 则乙的平均得分为 x乙 = ×(79+84+84+86+87+84+91)=85, 7 所以甲的平均得分为 x甲 =85-1=84, 1 即 ×[78+(80+m)+84+85+84+85+91]=84,解得 m=1. 7
3

所以甲得分的众数为 84,85,乙得分的极差为 91-79=12. (2)设甲、乙两名运动员的得分分别为 x,y, 则 ξ =|x-y|. 由茎叶图可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,5,6. 当 ξ =0 时,x=y=84, C2C3 6 故 P(ξ =0)= 1 1= ; C5C5 25 当 ξ =1 时,x=85,y=84 或 86, C2C4 8 故 P(ξ =1)= 1 1= ; C5C5 25 当 ξ =2 时,x=84,y=86 或 x=85,y=87, C2C1 C2C1 4 故 P(ξ =2)= 1 1+ 1 1= ; C5C5 C5C5 25 当 ξ =3 时,x=81,y=84 或 x=84,y=87, C1C3 C2C1 1 故 P(ξ =3)= 1 1+ 1 1= ; C5C5 C5C5 5 当 ξ =5 时,x=81,y=86, C1C1 1 故 P(ξ =5)= 1 1= ; C5C5 25 当 ξ =6 时,x=81,y=87, C1C1 1 故 P(ξ =6)= 1 1= . C5C5 25 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 6 25 1 8 25 2 4 25 3 1 5 5 1 25 6 1 25
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P

6 8 4 1 1 1 42 ξ 的期望为 E(ξ )=0× +1× +2× +3× +5× +6× = . 25 25 25 5 25 25 25 突破攻略 本题以实际生活为背景,并融入排列、组合、古典概型的概率、随机变量的分布列与期 望等知识进行探求,有很强的现实意义与时代气息.破解离散型随机变量的期望与茎叶图的 交汇题的关键:一是看图说话,即看懂茎叶图,并能适时提取相关的数据;二是会求概率, 即利用排列、组合知识,以及古典概型的概率公式求随机变量的概率;三是活用定义,利用 随机变量的数学期望的定义进行计算. 二、离散型随机变量的期望与函数的交汇问题 [典例 2] 某次假期即将到来,喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩,初步打算去鼓浪屿、南

4

1 普陀寺、 白城浴场三个景点, 每个景点有可能去的概率都是 , 且是否游览某个景点互不影响, 3 设 ξ 表示小陈离开厦门时游览的景点数. (1)求 ξ 的分布列、期望及其方差; (2)记“函数 f(x)=x -3ξ x+1 在区间[2,+∞)上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概 率. [思路分析] (1)依题设条件可判断 ξ 服从二项分布,利用二项分布公式即可求出其分 布列、期望及方差;(2)先求出二次函数 f(x)的图象的对称轴方程,利用 f(x)单调性,可求 出 ξ 的取值范围,即可求出事件 A 的概率. [解] (1)依题意,得 ξ 的所有可能取值分别为 0,1,2,3.
2

? 1? 因为 ξ ~B?3, ?, ? 3? ?2?3 8 0 所以 P(ξ =0)=C3×? ? = , ?3? 27
1 2 P(ξ =1)=C1 3×? ? ×? ? = , 3 3

?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ?

?2? ? ? ?2? ? ?
1 27

4 9 2 9

2 1 P(ξ =2)=C2 3×? ? ×? ? = , 3 3

3 P(ξ =3)=C3 . 3×? ? = 3

所以 ξ 的分布列为 ξ 0 8 27 1 4 9 2 2 9 3 1 27

P

1 所以 ξ 的期望为 E(ξ )=3× =1, 3 1 ? 1? 2 ξ 的方差为 D(ξ )=3× ×?1- ?= . 3 ? 3? 3 9 2 3 ? 3 ?2 (2)因为 f(x)=?x- ξ ? +1- ξ 的图象的对称轴方程为 x= ξ , 4 2 ? 2 ? 又函数 f(x)=x -3ξ x+1 在[2,+∞)上单调递增, 3 4 所以 ξ ≤2,即 ξ ≤ . 2 3 4? ? 所以事件 A 的概率 P(A)=P?ξ ≤ ? 3? ? =P(ξ =0)+P(ξ =1)
2

5



8 4 20 + = . 27 9 27

突破攻略 本题以旅游为背景,考查了二项分布的分布列及其期望的探求,将二次函数知识融入其 中是本题的“闪光”之处,又以函数的单调性“一剑封喉”,使呆板、平淡的数学题充满活 力和无穷魅力!求解离散型随机变量的期望与函数交汇题的“两步曲”:一是活用公式,如 果能够断定随机变量 X 服从二项分布 B(n,p),则其期望与方差可直接利用公式 E(X)=np,

D(X)=np(1-p)求得;二是分拆事件,会对随机事件进行分拆,即把事件分拆成若干个互斥
事件的和,这样就能正确进行概率计算. 三、离散型随机变量的期望与频率分布直方图的交汇问题 [典例 3] 某学院为了调查本校学生“阅读相伴”(“阅读相伴”是指课外阅读超过 1 个 小时)的天数情况, 随机抽取了 40 名本校学生作为样本, 统计他们在该月 30 天内“阅读相伴” 的天数,并将所得的数据分成以下六组:[0,5],(5,10],(10,15],?,(25,30],由此画出 样本的频率分布直方图,如图所示.

(1)根据频率分布直方图,求这 40 名学生中“阅 读相伴”天数超过 20 的人数; (2)现从这 40 名学生中任取 2 名, 设 Y 为取出的 2 名学生中“阅读相伴”天数超过 20 的 人数,求 Y 的分布列及数学期望 E(Y). [思路分析] (1)观察频率分布直方图,求出“阅读相伴”天数超过 20 的频率,即可求 出其频数;(2)依题设条件可判断 Y 服从超几何分布,因此可利用超几何分布的概率公式求出

Y 取各个值时的概率,列出分布列,最后求出 E(Y)的值.
[解 ] (1) 由题图可知,“阅读相伴”天数未超过 20 的频率为 (0.01 + 0.02 + 0.03 +

0.09)×5=0.15×5=0.75,

6

所以“阅读相伴”天数超过 20 的学生人数是 40×(1-0.75)=40×0.25=10. (2)随机变量 Y 的所有可能取值为 0,1,2. C30 29 所以 P(Y=0)= 2 = , C40 52
2

P(Y=1)=

C10C30 5 , 2 = C40 13
2

1

1

C10 3 P(Y=2)= 2 = . C40 52 所以 Y 的分布列为

Y P

0 29 52

1 5 13

2 3 52

29 5 3 1 所以 Y 的数学期望 E(Y)=0× +1× +2× = . 52 13 52 2 突破攻略 本题将传统的频率分布直方图背景赋予新生的数学期望,立意新颖、构思巧妙.求解离 散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”:一是看图说话,即看懂频率分 布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率;二是活用公式,对于这些实际问题中的随 机变量 X,如果能够断定它服从超几何分布 H(N,M,n),则随机变量 X 的概率可利用概率公 CMCN-M Mn 式 P(X=m)= n (m=0,1,?,n,)求得,期望可直接利用公式 E(X)= 求得. CN N
m n-m

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