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6.2 算术平均数与几何平均数1


6.2 算术平均数与几何平均数
一、学习目标 1.重要不等式1:a2+b2≥2ab; 2.两个正数的算术平均数与几何平均数; a?b ? ab ; 3.重要不等式2: 2 4.利用两个重要不等式证明简单的不等式;

6.2 算术平均数与几何平均数
二、自学指导 任务一:阅读P9内容,完成下列小任务.

1.完成《世纪金榜》P7中的 2.在“重要不等式1”证明中: (1) (a-b)2 =______________; (2) 为什么(a-b)2≥0 ? (3) 为什么a2+b2≥2ab ?

;

6.2 算术平均数与几何平均数
3、 “重要不等式1”的应用

a (1).已知 a, b, c ? R 求证:

2

? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2

4 (2)已知x∈R,求证: x ? 5 ? 2 ? 9 x
2

6.2 算术平均数与几何平均数
二、自学指导 3.在“重要不等式2”的定理证明中:
(1)不等式: ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 ab 是怎么得来的? (2) ( a )2 ? ( b )2 ? 2 ab 可以变为___________;
a?b ? ab (3)为什么:当且仅当a=b时, 2



6.2 算术平均数与几何平均数
二、自学指导 a?b 5. 2 为a,b的_____平均数, ab 为a,b的_____平均数; 6.定理另一叙述: a?b 如果a,b是正数,那么 2 ? ab ? ? ? 两个正数 算术平均数 不小于几何平均数

6.2 算术平均数与几何平均数
二、自学指导 a?b D ? ab 7. 2 的几何解释: 以a+b长的线段为直径作圆, A B a C 在直径AB上取点C,使AC=a,CB=b. O b 过点C作垂直于直径AB的弦DD′, D′ 连接AD、DB. (1)为什么说:Rt△ACD∽ Rt△BCD? (2)为什么说:CD2=CA·CB 即 CD= ab ? (3)圆的半径=______,它与CD的关系怎样?

6.2 算术平均数与几何平均数
二、自学指导 8.在两个重要不等式中,a,b满足条件是 什么?

关于“平均数”的概念:

?、an ? R , n ? 1且n ? N 1.如果a1、a2、

?

*

则:

a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
n

a1a2 ?an 叫做这n个正数的几何平均数。

2.基本不等式:
a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1a2 ? an 其中a1、a2、、 ... an ? R ?,n ? N * n

语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

6.2 算术平均数与几何平均数
二、自学指导 任务二:阅读P11例2,完成下列小任务. 1、请你总结例2所用的定理. 2、已知a,b,c为不全相等的正实数, 求证:a ? b ? c ? ab ? bc ? ca . 3、完成P11练习1、2、3.

练习.P11 1.已知a, b, c都是正数,
求证(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8abc.

证明: ? a ? b ? 2 ab ? 0, b ? c ? 2 bc ? 0,

c ? a ? 2 ac ? 0,
?(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8 ab? bc ? ca ? 8abc. y x ? 2.已知x, y ? R , 求证 ? ? 2. x y y x ? ? 证明: ? x, y ? R ? , ?R ,

y x y x ? ? ?2 ? ?2 x y x y

x y


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