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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书_备考学案_第34课_两角和与差及二倍角公式课件_文

考纲要求
1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式.

?
2

? ? ,? ? ?

知识梳理
1.三角函数线

图中有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做 角 ? 的 正弦线 、 余弦线 和 正切线 .

1.两角和与差的三角函数公式

sin(α+β)=
sin(α-β)=

sin ? cos ? ? cos ? sin; ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?;

cos(α+β)=
cos(α-β)=

cos ? cos ? ? sin ? sin; ?

cos ? cos ? ? sin ? sin ?; tan ? ? tan ? tan(α+β)= ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(α-β)= . 1 ? tan ? tan ?

2.二倍角公式

sin 2? ? 2sin ? cos ?
cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin2 ?

tan 2? ? 2tan ? 2 1 ? tan ?

基础自测
1. (2012 质检) cos

5? ? ? ? cos ? cos sin 的值等于( 12 12 12 6
1 2
C.



A. 0

B.

2 2

D.

3 2

【答案】B

5? ? 5? ? cos ? sin sin 【解析】原式 ? cos 12 12 12 6 5? ? ? 1 ? cos( ? ) ? cos ? . 12 12 3 2

2. (2012 全国高考) 已知 ? 为第二象限角,sin ? ?

24 A. ? 25
【答案】A

12 B. ? 25

12 C. 25

3 , 则 sin 2? ?( 5 24 D. 25



【解析】∵ ? 为第二象限, sin ? ?
2

3 , 5

4 ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? , 5 24 ∴ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? . 25

3. (2012 重庆高考)设 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根, 则 tan(? ? ? ) ? ( A. ?3 B. ?1 ) C. 1 D. 3

【答案】A 【解析】∵ tan? ? tan ? ? 3 , tan? tan ? ? 2 , ∴ tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 3 ? ? ?3 . 1 ? tan? tan ? 1 ? 2

sin 47 ? sin17 cos 30 ?( 4. (2012 重庆高考) cos17
A. ?



3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【答案】C

sin(30 ? 17 ) ? sin17 cos 30 【解析】原式 ? cos17 sin 30 cos17 ? cos 30 sin17 ? sin17 cos 30 ? cos17 sin 30 cos17 1 ? ? sin 30 ? . cos17 2

典例剖析
考点1 公式的应用

【例 1】求下列各式的值. (1) sin163 ? cos 223 ? sin 253 ? cos313 ; (2) tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 ? tan 40 .

【解析】 (1)原式 ? sin(90 ? 73 ) ? cos(2 ? 90 ? 43 )

? sin(2 ? 90 ? 73 ) ? cos(3? 90 ? 43 )
? ? cos 73 ? cos 43 ? sin 73 ? sin 43

? ? cos(73 ? 43 ) ? ?

3 . 2

tan 40 ? tan 20 (2) tan 60 ? tan(40 ? 20 ) ? 1 ? tan 40 ? tan 20
∴ 3 ? 3 tan 40 ? tan 20 ? tan 40 ? tan 20 , ∴ tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 ? tan 40 ? 3 .
0 0 0 0

【变式】

1 ? tan15? 的值为( ) 1 ? tan15? 3 3 1 A. B. C. 3 2 2

D. 3

【答案】D 【解析】原式 ?

tan 45? ? tan15? ? tan(45? ? 15?) ? 3 . 1 ? tan 45?? tan15?

考点2 三角函数的给值求角

【例 2】在 ?ABC 中, A 、 B 为锐角,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、

10 5 , sin B ? .求 A ? B 的值. c ,且 sin A ? 10 5
5 10 【解析】∵ A 、 B 为锐角, sin A ? ,sin B ? 5 10 2 5 3 10 ∴ cos A ? , cos B ? . 5 10 cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B .

2 5 3 10 5 10 2 . ? ? ? ? ? 5 10 5 10 2 ? ∵ 0 ? A ? B ? ? ,∴ A ? B ? . 4

1 10 【变式】已知 ? 、 ? 为锐角,且 tan ? ? ,sin ? ? .求 ? ? 2 ? 的值. 7 10 10 【解析】∵ ? 为锐角, sin ? ? , 10 1 3 10 ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? , tan ? ? , 3 10 2 2 tan ? 3 3 ∴ tan 2? ? ? ? , 2 1 ? tan ? 1 ? 1 4 9 1 3 ? tan ? ? tan 2? ∴ tan(? ? 2? ) ? ? 7 4 ?1. 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? 1 ? 3 7 4 ? ? 10 0 ? ? ? 0 ? 2 ? ? ∵ ? 为锐角, sin ? ? ,∴ ,∴ , 4 2 10 ? ∵ ? 为锐角,∴ 0 ? ? ? 2? ? ? ,∴ ? ? 2 ? ? . 4

考点3 公式的综合应用
【例 3】(2012 嘉兴调研) 求

1 ? 4 cos10 的值. tan10

【解析】原式 ?

cos10 ? 4 cos10 sin10 cos10 ? 4sin10 ? cos10 sin10

?

cos10 ? 2sin 20 ? sin10
? cos10 ? 2sin(30 ? 10 ) sin10 2cos 30 ? sin10 ? 3. sin10

?

【变式】 (2012 珠海二模)在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个 锐角 ? , ? ,它们的终边都在第一象限内,并且分别与单位圆相交于 A , B 两点,

已知 A 点的纵坐标为

10 2 , B 点的纵坐标为 . 10 10

(1)求 tan ? 和 tan ? 的值; (2) 求 2? ? ? 的值.

10 2 【解析】 (1)由已知得 sin ? ? , sin ? ? , 10 10
∵ ? , ? 均为锐角,

3 10 ∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? , 10
2

cos ? ? 1 ? sin 2 ? ?

7 2 , 10

1 1 ∴ tan ? ? , tan ? ? . 3 7

1 1 ? tan ? ? tan ? 1 (2)∵ tan(? ? ? ) ? ? 3 7 ? , 1 ? tan ? tan ? 1 ? 1 ? 1 2 3 7 ∴ tan(2? ? ? ) ? tan[? ? (? ? ? )] , 1 1 ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? ? 3 2 ? 1, 1 ? tan ? tan(? ? ? ) 1 ? 1 ? 1 3 2 ? ? ∵ 0 ? ? ? , y ? tan x 在 (0, ) 上单调递增, 2 2 ? ? 且 tan ? ? 1 ? tan ,∴ 0 ? ? ? , 4 4 ? 3? 同理 0 ? ? ? ,∴ 0 ? 2? ? ? ? , 4 4 ? ∴ 2? ? ? ? . 4

归纳反思
1.要注意公式的逆用和变形应用. 2.给值求角的一般步骤: (1)求角的某一三角函数值; (2)确定角的范围; (3)根据角的范围写出所求角.


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