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湖南省娄底市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


湖南省娄底市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知 α 是第二象限角,sinα= A.﹣ B. ﹣ ,则 cosα=() C. D.

2.下列各组的两个向量,平行的是() A. =(﹣2,3) , =(4,6) C. =(2,3) , =(3,2) B. =(1,﹣2) , =(7,14) D. =(﹣3,2) , =(6,﹣4)

3.下列说法正确的是() A.某厂一批产品的次品率为 ,则任意抽取其中 10 件产品一定会发现一件次品

B. 气象部门预报明天下雨的概率是 90%,说明明天该地区 90%的地方要下雨,其余 10% 的地方不会下雨 C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%,那么前 9 个病人都没有治愈,第 10 个人就一定 能治愈 D.掷一枚硬币,连续出现 5 次正面向上,第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍 然都为 0.5 4.当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为()

A.7

B.42

C.210

D.840

5.在△ ABC 中,若 A.锐角三角形 6.在△ ABC 中 A. B.

,则△ ABC 的形状为() B.直角三角形 C.等腰三角形 ,则 C 等于() C. D. D.钝角三角形

7.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上, 测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10m 到位置 D,测得∠BDC=45°,则 塔 AB 的高是() (单位:m)

A.10

B.10
6 5

C.10
4 3 2

D.10

8.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x +5x +6x +7x +8x+1,当 x=0.4 时的值时,需要 做乘法和加法的次数分别是() A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5

9.已知平面向量 , , 满足| |= 则| |的最大值等于() A. B. 2

,| |=1, ? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°,

C.

D.1 ,且对于边 AB 上任一点 P,恒有

10.设△ ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 则() A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC

D.AC=BC

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置 上. 11.将函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,再将图象 C 上的所有点的横 坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图象 C1,则 C1 的函数解析式为 .

12.抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为. 13.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都在集合 A={0,1,2,3,4,5}内取值的点中 任取一个点,此点正好在直线 y=x 上的概率为. 14.函数 y= 的单调递减区间为.

15.给出下列五个命题: ①函数 y=tanx 的图象关于点(kπ+ ,0) (k∈Z)对称;

②函数 f(x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数; ③设 θ 为第二象限的角,则 tan
2

>cos

,且 sin

>cos



④函数 y=cos x+sinx 的最小值为﹣1. 其中正确的命题是.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 60 分,把答案填写在答题卡相应的位置上. 16.从某小学随机抽取 100 名学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方 图(如图) .

(1)由图中数据求 a. (2)由图估计样本的众数、中位数、平均数. (说明理由)

17.已知向量 、 满足:| |=1,| |=4,且 、 的夹角为 60°. (1)求(2 ﹣ )?( + ) ; (2)若( + )⊥(λ ﹣2 ) ,求 λ 的值.

18.已知向量 =(cosα,1+sinα) , =(1+cosα,sinα) . (1)若| + |= ,求 sin2α 的值;

(2)设 =(﹣cosα,﹣2) ,求( + )? 的取值范围. 19.将一颗刻着 1,2,3,4,5,6 字样的正六面体方块的骰子先后抛掷 2 次,观察向上的 点数,问: (Ⅰ)两数之和是 3 的倍数的概率; (Ⅱ)两数之积是 6 的倍数的概率. (Ⅲ)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在直线 x ﹣y=3 的下方区域的概率. 20.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程; (Ⅱ)设函数 g(x)=[f(x)] +f(x) ,求 g(x)的值域. 21.已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣
2 2



) , (k≠0) .

(1)问 α 取何值时,方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解; (2)若对任意的 x1∈[0,3],总存在 x2∈[0,3],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取值 范围?

湖南省娄底市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知 α 是第二象限角,sinα= A.﹣ B. ﹣ ,则 cosα=() C. D.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 α 为第二象限角及 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值即 可. 解答: 解:∵α 是第二象限角,sinα= ,

∴cosα=﹣

=﹣



故选:B. 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 2.下列各组的两个向量,平行的是() A. =(﹣2,3) , =(4,6) C. =(2,3) , =(3,2) B. =(1,﹣2) , =(7,14) D. =(﹣3,2) , =(6,﹣4)

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 计算题. 分析: 判断两向量 共线,利用共线向量定理,只需找到一个实数 λ,使得 =λ ,

另外零向量与任意向量平行,于是可得本题答案. 解答: 解:对于﹣2×6≠3×4,所以两个向量不平行, 对于 B,因为 1×14≠﹣2×7,所以两个向量不平行, 对于 C,因为 2×2≠3×3,所以两个向量不平行, 对于 D,因为﹣3×(﹣4)=2×6,所以两个向量平行, 故选 D 点评: 本题考查空间向量的概念,向量共线定理:存在实数 λ,使得 3.下列说法正确的是() A.某厂一批产品的次品率为 ,则任意抽取其中 10 件产品一定会发现一件次品 =λ 的应用.

B. 气象部门预报明天下雨的概率是 90%,说明明天该地区 90%的地方要下雨,其余 10% 的地方不会下雨 C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%,那么前 9 个病人都没有治愈,第 10 个人就一定 能治愈 D.掷一枚硬币,连续出现 5 次正面向上,第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍 然都为 0.5 考点: 随机事件. 专题: 常规题型. 分析: 把前三个选项所说的概率进行剖析, 发现都错误理解了概率的概念, 本题最后一个 选项是说明概率与频率的区别,是正确的. 解答: 解:某厂一批产品的次品率为 ,

则任意抽取其中 10 件产品一定会发现一件次品说法是错误的,故 A 不能选 气象部门预报明天下雨的概率,是说明有多大的把握有雨,而不是具体的什么地方有雨, 故 B 不正确,

某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%,那么前 9 个病人都没有治愈,第 10 个人就一定能治 愈 说法是错误的,治愈率为 10%是说明来的所有病人中有 10%的被治愈,故 C 不正确, 掷一枚硬币, 连续出现 5 次正面向上, 第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都 为 0.5, 概率是一个固定的值,不随第几次试验有关,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查是随机事件的概率和频率的区别, 是一个基础题, 帮助我们正确理解这部 分内容的意义,是一个易错题,有些地方容易忽略. 4.当 m=7,n=3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为()

A.7

B.42

C.210

D.840

考点: 循环结构. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=7×6×…×k 的值,根据条件确定跳出循环的 k 值,计算输出 S 的 值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=7×6×…×k 的值, 当 m=7,n=3 时,m﹣n+1=7﹣3+1=5, ∴跳出循环的 k 值为 4, ∴输出 S=7×6×5=210. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图, 根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关 键. 5.在△ ABC 中,若 A.锐角三角形 ,则△ ABC 的形状为() B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用两角和公式对原等式整理求得 cosA 的值,判断出三角形的形状. 解答: 解:整理原等式得 sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴sinCcosA=0, ∵sinC≠0, ∴cosA=0,A= ,

∴三角形为直角三角形, 故选 B. 点评: 本题主要考查了两角和公式的运用.属于基础题. 6.在△ ABC 中 A. B. ,则 C 等于() C. D.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用两角和的正切公式,求出 tan(A+B)的三角函数值,求出 A+B 的大小,然后 求出 C 的值即可. 解答: 解:由 tanA+tanB+ = tanAtanB 可得 tan(A+B)= =﹣

= 因为 A,B,C 是三角形内角,所以 A+B=120°,所以 C=60° 故选 A 点评: 本题考查两角和的正切函数,考查计算能力,公式的灵活应用,注意三角形的内角 和是 180°. 7.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上, 测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10m 到位置 D,测得∠BDC=45°,则 塔 AB 的高是() (单位:m)

A.10

B.10

C.10

D.10

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形.

分析: 设塔高为 x 米,根据题意可知在△ ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x,从 而有 BC= ,在△ BCD 中,CD=10,∠BCD=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°,由正弦定

理可求 BC,从而可求 x 即塔高. 解答: 解:设塔高为 x 米,根据题意可知在△ ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x, 从而有 BC= ,AC= ,

在△ BCD 中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30° 由正弦定理可得, 可得,BC= =10 =

则 x=10 ; 所以塔 AB 的高是 10 米; 故选:B. 点评: 本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用, 解决本题的关键是要把实际问题转 化为数学问题,即正确建立数学模型,结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据,进 而选择合适的公式进行求解. 8.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x +5x +6x +7x +8x+1,当 x=0.4 时的值时,需要 做乘法和加法的次数分别是() A.6,6 B.5,6 C.5,5 D.6,5 考点: 排序问题与算法的多样性. 专题: 计算题. 分析: 把所给的多项式写成关于 x 的一次函数的形式,依次写出,得到最后结果,从里到 外进行运算,结果有 6 次乘法运算,有 6 次加法运算,本题也可以不分解,直接从最高次项 的次数直接得到结果. 6 5 4 3 2 解答: 解:∵f(x)=3x +4x +5x +6x +7x +8x+1 5 4 3 2 =(3x +4x +5x +6x +7x+8)x+1 4 3 2 =[(3x +4x +5x +6x+7)x+8]+1 ={{{[(3x+4)x+5]x+6}x+7}x+8}x+1 ∴需要做 6 次加法运算,6 次乘法运算, 故选 A. 点评: 本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算, 不是求具体的运算值而是要我们 观察乘法和加法的运算次数,本题是一个基础题.
6 5 4 3 2

9.已知平面向量 , , 满足| |= 则| |的最大值等于() A. B. 2

,| |=1, ? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°,

C.

D.1

考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算.

专题: 解三角形;平面向量及应用. 分析: 由于平面向量 , ,满足| |= ,| |=1, ? =﹣1,利用向量的夹角公式可得

.由于 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°,可得点 C 在△ OAB 的外接圆的弦 AB 所对的优弧上,因此可得| |的最大值为△ OAB 的外接圆的直径. 解答: 解:设 , , .

∵平面向量 , ,满足| |= ∴

,| |=1, ? =﹣1, = ,∴ .

∵ ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 45°, ∴点 C 在△ OAB 的外接圆的弦 AB 所对的优弧上,如图所示. 因此| |的最大值为△ OAB 的外接圆的直径. ∵ = = = = . .

由正弦定理可得:△ OAB 的外接圆的直径 2R= 故选:A.

点评: 本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础 知识与基本技能方法,考查了推理能力,属于难题. 10.设△ ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 则() A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC

,且对于边 AB 上任一点 P,恒有

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 设|

|=4,则|

|=1,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 H,在 AB 上任取一点 P,设 | ﹣(a+1)|
2

HP0=a,则由数量积的几何意义可得|
2

|+a≥0 恒成立,只需△ =(a+1) ﹣4a=

2

(a﹣1) ≤0 即可,由此能求出△ ABC 是等腰三角形,AC=BC. 解答: 解:设| |=4,则| |=1,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 H,

在 AB 上任取一点 P,设 HP0=a,则由数量积的几何意义可得, =| ? 于是 整理得| ?
2

|?|

|=|

|﹣(a+1) )|

|,

=﹣a, ≥
??

恒成立, |+a≥0 恒成立,
2

| ﹣(a+1)|
2

只需△ =(a+1) ﹣4a=(a﹣1) ≤0 即可,于是 a=1, 因此我们得到 HB=2,即 H 是 AB 的中点,故△ ABC 是等腰三角形, 所以 AC=BC. 故选:D.

点评: 本题主要考查了平面向量的运算, 向量的模及向量的数量积的概念, 向量运算的几 何意义的应用,还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置 上. 11.将函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,再将图象 C 上的所有点的横 坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图象 C1,则 C1 的函数解析式为 y=sin(2x﹣3) . 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,求出函数解析式,再将图 象 C 上的所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图象 C1,求出函数的解析式, 即可.

解答: 解:将函数 y=sinx 的图象向右平移三个单位长度得到图象 C,对应函数的解析式 为:y=sin(x﹣3) ,再将图象 C 上的所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到图 象 C1,对应函数的解析式为:y=sin(2x﹣3) . 故答案为:y=sin(2x﹣3) . 点评: 本题是基础题, 考查函数图象的平移与伸缩变换, 三角函数的平移原则为左加右减 上加下减.同时注意伸缩变换,ω 与 φ 的关系,仔细体会. 12.抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环) ,结果如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 2. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 直接由图表得出两组数据,求出它们的平均数,求出方差,则答案可求. 解答: 解:由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为: 甲:87,91,90,89,93; 乙:89,90,91,88,92; , . 方差 =4 . =2 . 所以乙运动员的成绩较稳定,方差为 2. 故答案为 2. 点评: 本题考查了方差与标准差,对于一组数据,在平均数相差不大的情况下,方差越小 越稳定,考查最基本的知识点,是基础题. 13.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都在集合 A={0,1,2,3,4,5}内取值的点中 任取一个点,此点正好在直线 y=x 上的概率为 .

考点: 等可能事件的概率. 专题: 计算题.

分析: 本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是横纵坐标都在 A={0,1,2, 3,4,5}内任取一个点,共有 6×6 种结果,满足条件的事件是点正好在直线 y=x 上,可以列 举出结果数,不要漏掉(0,0)点,得到概率. 解答: 解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, ∵试验发生包含的事件是横纵坐标都在 A={0,1,2,3,4,5}内任取一个点, 共有 6×6=36 种结果, 满足条件的事件是点正好在直线 y=x 上,可以列举出共有(0,0) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6)共有 6 种结果, ∴要求的概率是 P= 故答案为: 点评: 本题考查等可能事件的概率, 解决本题的关键是注意利用列举法求满足条件的事件 数时,注意做到不重不漏,千万不要漏掉原点. 14.函数 y= 的单调递减区间为[ ](k∈z) . = ,

考点: 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 首先求出函数有意义的条件,进一步利用整体思想求单调递减区间. 解答: 解:y= 只需满足: 即 要求单调递减区间只需令: 解得: 所以递减区间为:[ 故答案为:[ (k∈Z) , ](k∈Z) . ](k∈Z) . , (k∈Z) , , 有意义,

点评: 本题考查的知识要点: 三角函数有意义的条件, 三角函数在有意义的情况下利用整 体思想确定递减区间.属于基础题型. 15.给出下列五个命题: ①函数 y=tanx 的图象关于点(kπ+ ,0) (k∈Z)对称;

②函数 f(x)=sin|x|是最小正周期为 π 的周期函数; ③设 θ 为第二象限的角,则 tan >cos ,且 sin >cos ;

④函数 y=cos x+sinx 的最小值为﹣1. 其中正确的命题是①④. 考点: 命题的真假判断与应用; 三角函数的周期性及其求法; 正切函数的奇偶性与对称性; 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是,判断命题真假,比较综合的考查了三角函数的图象和性质, 我们可以根据三角函数的性质对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论. 解答: 解:函数 y=tanx 的图象的对称中心为( ,0)?(kπ+ ,0) (k∈Z) ,故①正

2

确; 函数 f(x)=sin|x|是偶函数,由其图象易判断,它不是周期函数,故②不正确; 当 θ 为第二象限的角,不妨取 θ=480°,则 sin =sin240°=﹣sin60°=﹣ ,cos =240°,tant =an240°=tan60°= <tan , ,

=cos240°=﹣cos60°=﹣ ,sin

故③不正确; 函数 y=cos x+sinx=1﹣sin x+sinx=﹣
2 2 2

+ ,∵sinx∈[﹣1,1],∴y∈[﹣1, ]

∴函数 y=cos x+sinx 的最小值为﹣1. ) ,故④正确 故答案为①④ 点评: 本题考查了三角函数的性质,做题时应认真审题,避免错误. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 60 分,把答案填写在答题卡相应的位置上. 16.从某小学随机抽取 100 名学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方 图(如图) .

(1)由图中数据求 a. (2)由图估计样本的众数、中位数、平均数. (说明理由) 考点: 众数、中位数、平均数;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率直方图的矩形面积之和为 1,即可求 a. (2)根据众数、中位数、平均数的定义,结合频率分布直方图进行估计即可. 解答: 解: (1)由直方图得(0.005+0.035+a+0.02+0.01)×10=1,解得 a=0.03 … (2)数值最多的数在(110,120) ,则估计众数=115;

第一组的频率为 0.005×10=0.05, 第二组的频率为 0.035×10=0.35, 第三组的频率为 0.03×10=0.3, 则前两组的频率之和为 0.05+0.35=0.4, 则中位数位于第三组(120,130) ,靠前的部分,估计中位数=121.67; 第四组的频率为 0.02×10=0.2, 第五组的频率为 0.01×10=0.1, 则平均数=105×0.05+115×0.35+125×0.3+135×0.2+145×0.1=124.5… 点评: 本题主要考查频率分布直方图的应用,以及众数、中位数、平均数的求解,考查学 生的运算能力.

17.已知向量 、 满足:| |=1,| |=4,且 、 的夹角为 60°. (1)求(2 ﹣ )?( + ) ; (2)若( + )⊥(λ ﹣2 ) ,求 λ 的值. 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1) 由条件利用两个向量的数量积的定义, 求得 的值. (2)由条件利用两个向量垂直的性质,可得 值. 解答: 解: (1)由题意得 ∴ (2)∵ ∴ ,∴ ,∴λ+2(λ﹣2)﹣32=0, . , , ,由此求得 λ 的 的值, 可得 (2 ﹣ ) ? ( + )

∴λ=12. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于基础题.

18.已知向量 =(cosα,1+sinα) , =(1+cosα,sinα) . (1)若| + |= ,求 sin2α 的值;

(2)设 =(﹣cosα,﹣2) ,求( + )? 的取值范围.

考点: 两角和与差的正弦函数;向量的模;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: (1)由两向量的坐标,利用平面向量的数量积运算法则得到两向量和的坐标,再 利用向量模的计算方法表示出两向量和的模, 利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关 系化简后,根据已知两向量和的模得出 sinα+cosα 的值,两边平方后,再根据同角三角函数 间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出 sin2α 的值; (2)由 及 的坐标求出 + 的坐标,再由 的坐标,利用平面向量的数量积运算法则计算 所求的式子,配方后得到关于 sinα 的二次函数,配方后,根据正弦函数的值域得到自变量 sinα 的范围,利用二次函数的性质得到二次函数的值域即为所求式子的范围. 解答: 解: (1)∵ + =(1+2cosα,1+2sinα) , | + |= = ∴sinα+cosα=﹣ , 两边平方得:1+2sinαcosα= ∴sin2α=﹣ ; , = ,

(2)因 + =(0,﹣1+sinα) , ∴( + )? =sin α﹣sinα= 又 sinα∈[﹣1,1], ∴( + )? 的取值范围为[﹣ ,2]. 点评: 此题考查了平面斜率的数量积运算法则, 向量模的计算, 同角三角函数间的基本关 系,二倍角的正弦函数公式,正弦函数的值域以及二次函数的性质,熟练掌握法则、性质及 公式是解本题的关键. 19.将一颗刻着 1,2,3,4,5,6 字样的正六面体方块的骰子先后抛掷 2 次,观察向上的 点数,问: (Ⅰ)两数之和是 3 的倍数的概率; (Ⅱ)两数之积是 6 的倍数的概率. (Ⅲ)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在直线 x ﹣y=3 的下方区域的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,用列举法列举全部的事件,可得其数目, (Ⅰ)记两数之和是 3 的倍数为事件 A,由基本事件的列表易得事件 A 中含有的基本事件 数目,由古典概型公式可得答案;
2

﹣ .

(Ⅱ) 记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 B, 由基本事件的列表易得事件 A 中含有的基 本事件数目,由古典概型公式可得答案; (Ⅲ)记“点(x,y)在直线 x﹣y=3 的下方区域”为事件 C,事件 C 的条件可以转化为满足 x>y+3,由基本事件的列表易得事件 A 中含有的基本事件数目,由古典概型公式可得答案. 解答: 解:根据题意,将一枚骰子先后抛掷 2 次,向上的点数的情况有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) , (6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) ,共 36 种; (Ⅰ)记两数之和是 3 的倍数为事件 A,则事件 A 中含有 12 个基本事件, 所以 P(A)= ;

(Ⅱ)记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 B,则由列表可知,事件 B 中含有其中的 15 个等可能基本事件, 所以 P(B)= ;

(Ⅲ)记“点(x,y)在直线 x﹣y=3 的下方区域”为事件 C,事件 C 即满足 x>y+3 的情况, 则由列表可知,事件 C 中含有其中 3 个基本等可能基本事件, 则 P(C)= .

点评: 本题考查列举法求古典概型的概率, 关键是用列举法得到全部基本事件, 再根据题 意,查找符合条件的基本事件的数目.

20.已知函数 (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程; 2 (Ⅱ)设函数 g(x)=[f(x)] +f(x) ,求 g(x)的值域.



考点: 三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)先根据两角和与差的正余弦公式进行化简,根据 T= 再由正弦函数的对称性可求得对称轴方程. (Ⅱ)将 f(x)的解析式代入到函数 g(x)中,将 作为一个整体将函数 g 可求得最小正周期,

(x)化简为二次函数的形式,结合正弦函数的值域和二次函数的最值的求法可求得函数 g (x)的值域. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)= =

= ∴周期 T= 由 ∴函数图象的对称轴方程为 (Ⅱ)g(x)=[f(x)] +f(x) = = 当 当 所以 g(x)的值域为 . 时,g(x)取得最小值 时,g(x)取得最大值 2, .
2

=π,



点评: 本题主要考查两角和与差的正余弦公式的应用和正弦函数的基本性质﹣﹣最小正 周期、对称性和值域.三角函数和二次函数的综合题是经常遇到的题型,这里要尤其注意正 弦函数的值域.
2

21.已知函数 f(x)=2x ﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣

) , (k≠0) .

(1)问 α 取何值时,方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解; (2)若对任意的 x1∈[0,3],总存在 x2∈[0,3],使 f(x1)=g(x2)成立,求实数 k 的取值 范围? 考点: 复合三角函数的单调性;函数最值的应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: (1)2sin x﹣3sinx+1=a﹣sinx 化为 2sin x﹣2sinx+1=a 在[0,2π]上有两解令 t=sinx 2 则 2t ﹣2t+1=a 在[﹣1,1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论; (2)据题意有 f(x1)的值域是 g(x2)值域的子集,先求 f(x1)值域,然后分类讨论, 求出 g(x2)值域,建立关于 k 的不等式,可求 k 的范围. 2 2 解答: 解: (1)2sin x﹣3sinx+1=a﹣sinx 化为 2sin x﹣2sinx+1﹣a=0 在[0,2π]上有两解, 2 令 sinx=t,h(t)=2t ﹣2t+1﹣a, 则方程 f(sinx)=α﹣sinx 在[0,2π]上有两解相当于: 2 h(t)=2t ﹣2t+1﹣α 在[﹣1,1]上有两解或一解, 两解的情况是:h(﹣1)=h(1)=0;当 t∈(﹣1,1)时,h(t)=0 有一个解; 则有:

,解得: <α≤1,

故 α 的取值范围为( ,1]. (2)当 x1∈[0,3]时,f(x1)值域为[ 当 x2∈[0,3]时,x2﹣ ∈[﹣ ,3﹣ ], ],有 sin(x2﹣ )∈[﹣ ,1]

①当 k>0 时,g(x2)值域为[﹣

,k] ]

②当 k<0 时,g(x2)值域为[k,﹣

而依据题意有 f(x1)的值域是 g(x2)值域的子集





∴k≥10 或 k≤﹣20. 点评: 本题考查复合函数的单调性, 考查学生分析解决问题的能力, 体现了化归与转化思 想的应用,方程与函数的思想的应用.


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