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岳阳县一中高三第二阶段考试数学试题及答案(理科考试)


岳阳县第一中学 2011 届高三第二次阶段考试


总分:150 分





题(理科)
审题人:晏桂保

时量:120 分钟

命题人:易正红

一、 选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 若命题 p : x ? A ? B, 则 ? p 是( ) C.

2.

A. x ? A ? B B. x ? A或x ? B 0.5 是( 下列各式中,值为 ) A. sin15 cos15
0 0

x ? A且x ? B

D.

x? A? B

B.

tan 22.50 1 ? tan 2 22.50

C. cos

2

?
12

sin 2

?
12

D.

1 1 ? ? cos 2 2 6

3.

已知 a ? b ? c ? d ” c ? d ? a ? b ” “ a ? b ? e ? f ” “ 、 “ 和 都是真命题,那么 c ? d ” “ e ? f ” “ 是 / 的 条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 )

4.

已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3, 则角 C 的大小为 ( A. 75
?

B.
x

60?

C.

45?

D.

30?


5.

若 f ? x? ? a

? a ? 1? ,则 y ?

xa x 的图象是( x
y

y

y

y

1 O
?1
A 6.

x

1 O
?1

1

1

x

O ?1

x

O ?1

x

B C D ? ? ? ? ? ? 已知向量 a = ? ?2,5? 与向量 b = ? ?, 2? 不共线,又函数 f ? x ? ? xa + b ? a ? x b 在 ? 0,??? 有最

?

??

?

大值,则 ? 的取值范围是( A. ? ? 5 7. B. ?5 ? ? ? 5

) C. ? ? 5, 且? ? ?

4 5

D. ?5 ? ? ? 5, 且? ? ?

4 5

若函数 f ? x ? 的导函数为 f ' ? x ? ? ?x ? x ?1? ,则函数 g ? x? ? f ? loga x?? 0 ? a ? 1 的单调递 ? 减区间为( A. [-1,0) ) B. [

1 , ?? )(0,1] 、 a
数学试题(理工类)

C. [1,

1 ] a

D. (-∞,

1 1 )[ , ?? ) 、 a a

第 1 页, 共 11 页

8.

定义在 R 上的函数满足 f ? x ? : f ? 0 ? ? 0, f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1, f ?
?1 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ?? 2011? ? ? ( ? ? 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 16 32 64

? x? 1 ? ? f ? x ? ,且当 ?5? 2



二、

填空题:本大题共 7 小题;每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中的横线上.

9.

设复数 z ?

6 ? 4i (其中 i 为虚数单位),则 z 的实部为 2 ? 3i
12 10

. .

开始

10. 由抛物线 C1 : y 2 ? x 和 C2 : y ? x2 所围成图形的面积为 11. 如右程序框图中,若输出的 i 值是 4,则输入 x 的取值范围是
8

输入 x

.
i ?0

12. 已知 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的部分图象如下
6 图所示,则其函数解析为

.
x ? 3x ? 2

4

y
2

i ? i ?1
x
π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 4π 9π 2

3π 2

π

π 2

O
2

2 x ? 82?

N

??? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ???? 13. 已知 O 为 ?ABC 内一点,满足 OA ? OB ? OC ? 0 .若 AB ? AC ? ? AO
4

Y
输出 i

. 6 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 0 14. 已知平面向量 ? , ? ? ? 0, ? ? ? 满足 ? ? 1 ,且 ?与? ? ? 的夹角为 120 ,
8

则实数 ? =

?y

?

结束

则 ? 的取值范围是
10

??

.

15. 给出以下四个命题:
12

① ?ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B .② ?ABC 中, A 为钝角 ? a ? c ? b .
2 2 2

③函数 y ?

1 1 ? cos x x ln 与 y ? ln tan 是同一函数. 2 1 ? cos x 2 1 1 倍,再将横坐标缩为原来的 倍,再 2 2

④将函数 y ? f ? x ? 的图象上每一点的纵坐标缩为原来的 将整个图象沿 x 轴向左平移

? ? ,可得 y ? sin x ,则原函数是 f ? x ? ? 2sin(2 x ? ). 3 3
第 2 页, 共 11 页

在上述四个命题中,真命题的序号是
数学试题(理工类)

(写出所有真命题的序号).

三、

解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 2

1? x 1? x

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并加以证明; (2)求使 f ( x) ? 0 时的 x 取值范围.

17. (本小题满分 12 分)

已知 a ? ? cos? x , 0? ,b ? 周期为 ? .

?

?

?

? ? ? 3 sin x ,1? ? ? 0 ,定义函数 f ? x ? ? a ? b ? a ,且 y ? f ? x ? 的 ? ?

?

?

?

(1) 求 f ? x ? 的最大值; (2) 若 x ? ?

3 ?1 ? ? 7? ? 的 x 值. , ? ,求满足 f ? x ? ? 2 ?12 12 ?

18. (本小题满分 12 分) 如图,梯形 ABCD 中, AD // BC , AD ? AB, AD ? 1, BC ? 2, AB ? 3 , P 是线段 AB 上的一个动点. (1) 求 PD ? PC 最小值,并指出此时 P 点位置; (2) 求 ?DPC 最大值时 PD ? PC 的值.

C
D

A

P

B

数学试题(理工类)

第 3 页, 共 11 页

19.

(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A 、B 、C 三点,若点 B 坐标为 ? 2, 0 ? ,且 f ? x ? 在 ? ?1,0? 和 ? 4,5? 上有相同单调性,在 ? 0, 2? 和 ? 4,5? 上有相反的单调性. (1) 求 c 的值; (2) 求 AC 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 在特定时段内,以点 E 为中心的 5 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正南 30 海里处有一个雷
? 达观测点 A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 南偏东 45 且与点 A 相距 20 2 ? 海 里 的 位 置 B , 经 过 40 分 钟 又 测 得 该 船 已 行 驶 到 点 A 南 偏 东 45 ? ? ( 其 中

cos ? ?

5 ? , ? ? ? )且与点 A 相距 5 13 海里的位置 C . 0 2 26



E

(1) 求该船的行驶速度(单位:海里/时) ; (2) 若该船不改变方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域; 若会,试求从 C 点到进入警戒水域,船还要行驶多长时间,若不会, 请说明理由.

A

C 东
B

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? px ?

q p ? 2 ln x ,且 f (e) ? qe ? ? 2 ,其中 e 是自然对数的底数. x e

(1)求 p 与 q 的关系; (2)若 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; (3)设 g ( x ) ?

2e ,若在 ?1,e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) > g ( x0 ) 成立, x

求实数 p 的取值范围.
数学试题(理工类) 第 4 页, 共 11 页

理科数学参考答案
一、选择题

CBAB, CDCC.
二、填空题

9.0
三、解答题

10.

1 3

11.? 2, 4 ?

3? ? ?1 12. y ? 2sin ? x ? ? 4 ? ?2

13.3

? 2 3? 14.? 0, ? ? 3 ? ?

15.①②

16. 【解析】(1)由 :

1? x ? 0 得 x ? (?1,1) ,关于原点对称;???????????2 分 1? x 1? x 1? x ? ? log 2 ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数;???????6 分 又 f (? x) ? log 2 1? x 1? x 1? x 1? x ? 0 ,得 ? 1 ,?????????????????????8 分 (2)由 log 2 1? x 1? x 1? x 2x ? ?1 ? 0 ? ? 0 ? x ? x ? 1? ? 0 ?????????????????10 分 1? x 1? x 解得 0 ? x ? 1 ??????????????????????????????12 分

17. 【解析】(1)?a ? b ? 3 cos ? x sin ? x ? 0 ?1 ? :

3 sin 2? x. 2

? f ? x ? ? a ? ?b ? a ? ? a ? b ? a ?
2

3 sin 2? x ? cos2 ? x ????????????1 分 2

?

3 1 ? cos 2? x sin 2? x ? 2 2 3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 ? ?

?

= sin ? 2? x ?

?? 1

? ? ?????????????????????????4 分 6? 2
2? ? ? ,? ? ? 1 2?

又因函数 f ? x ? 的周期为 ? ,?

?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ,?????????????????????????6 分 6? 2 ?

数学试题(理工类)

第 5 页, 共 11 页

?? 1 ? ? ?1 ? sin ? 2? x ? ? ? 1,? f ? x ?max ? ????????????????????8 分 6? 2 ?
(2)令 sin ? 2 x ?

? ?

?? 1

?? ? 6? 2

3 ?1 ?? 3 ? ,?sin ? 2 x ? ? ? , 2 6? 2 ?

? ? ? 7? ? ? ? 7? ? ? x ? ? , ? ,? 2 x ? ? , ? , ? 2 x ? ? ?0, ? ? , ??????????????10 分 6 ?12 12 ? ?6 6 ?
? 2x ?
即x?

?
6

?

?
3



?

4

或x=

5? . ?????????????????????????????12 分 12
y

2? , 3

18. 【解析】 :(1)以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系。 则 A?0,0?, B?3,0?, C ?3,2?, D?0,1? ,令 P?x,0?,0 ? x ? 3 有 PD ? ?? x,1?, PC ? ?3 ? x,2? 所以 PD ? PC ? x ? 3 x ? 2 ? ( x ? ) ?
2 2

C

3 2

1 ,???3 分 4

D

当x?

3 时, PD ? PC 最小 2

A P

B x

3 2 ??? ??? ? ? 2 (2) ① PD ? PC ? x ? 3x ? 2 ? 0 ,即 x ? 1, 或x ? 2 时, ?DPC 为直角;
此时 P( ,0) 为线段 AB 中点???????????6 分

??? ??? ? ? ② PD ? PC ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,即 0 ? x ? 1, 或2 ? x ? 3 时, ?DPC 为锐角;
??? ??? ? ? ③ PD ? PC ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,即 1 ? x ? 2 时, ?DPC 为钝角; ??????????8 分
? tan ?DPC ? ? tan ? ?DPA ? ?CPB ? ?
即 tan ?DPC ?

x?3 ?1 ? x ? 2 ? , x ? 3x ? 2
2

1 1 ? ? ? 4 5 ?9 , 20 4 5 ?9 x ?3? ?9 x?3

?

?

当且仅当 x ? 3 ? 又 y ? tan x 在 ?

20 ? x ? 2 5 ? 3 ? ?1, 2 ? 时取到等号,????????????10 分

?? ? , ? ? 上为增函数,所以当 x ? 2 5 ? 3 时, ?DPC 也有最大值, ?2 ?
2 2

此时 PD ? PC ? x ? 3x ? 2 ? ? x ? 3? ? 9 x ? 7 ? 13 ? 9 2 5 ? 3 ? 40 ? 18 5 ????12 分
数学试题(理工类) 第 6 页, 共 11 页

??? ??? ? ?

?

?

(导数法视解题情况相应给分) 19. 【解析】(1)易知 f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c, ?????????????????2 分 : 又由题知 f ? x ? 在 ? ?1,0? 和 ? 0, 2? 上有相反单调性, 所以, f ? x ? 在 x ? 0 处有极值,????????????????????????4 分

? f ? ? 0? ? 0, ? c ? 0 ????????????????????????????5 分
(2)由 f ? 2? ? 0, ? 8a ? 4b ? 2c ? d ? 0 ,又 c ? 0 ? d ? ?8a ? 4b ???????????????????????????????6 分
3 2 2 也所以, f ? x ? ? ax ? bx ? 8a ? 4b ? ? x ? 2 ? ? ax ? ? 2a ? b ? x ? 4a ? 2b ? , ? ?

f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 2bx ? 0, ? x1 ? 0, x2 ? ?

2b ? a ? 0? , 3a

又 y ? f ? x ? 在 ? 0, 2? 和 ? 4,5? 上有相反的单调性, 所以, 2 ? ?

2b b ? 4, ? ?6 ? ? ?3……① ??????????????????8 分 3a a

由题易知 A? x1,0? , C ? x2 ,0?? x1 ? 2, x2 ? 2? 的横坐标是方程

ax2 ? ? 2a ? b? x ? 4a ? 2b ? 0 的两根,
?? b ? 2 ? ?b? ? ? ? ? 2a ? b ? ? 4a ? 4a ? 2b ? ? b ? 4ab ? 12a ? a ?? ? ? 4 ? ? ? 12 ? ? 0, ?a? ?? a ? ? ? ?
2 2 2 2

且 4a ? 2 ? 2a ? b ? ? ? 4a ? 2b ? ? 0, ?

b ? ?3 a

b b b ? 6, 或 ? ?2, 且 ? ?3……② ?????????????????????9 分 a a a b 由 ①② 知: ?6 ? ? ?3 a ?
又 AC ? ? x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2
2 2 2

4a ? 2b ? b ? ? 2a ? b ? ?b? ?b ? ? ?? ? ? ? ? 4 ? ? ? 12 ? ? ? 2 ? ? 16 ??????10 分 ? ?4 a ? a ? ?a? ?a? ?a ?
2 2 2

? ? ?3 ? 2 ? ? 16 ? AC ? ? ?6 ? 2 ? ? 16,
2 2 2

数学试题(理工类)

第 7 页, 共 11 页

? 3 ? AC ? 4 3 ???????????????12 分 20. 【解析】(1)如右图, AB ? 20 2, AC ? 5 13, ?BAC ? ? , cos ? ? :

5 , 26

由于 0 ? ? ?

?
2

,? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

1 . ????????1 分 26
F G

由余弦定理得

y北 E

BC ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos? ? 5 5, ????????4 分
2 15 5 所以船的行驶速度为 5 5 ? ? (海里/小时)?????5 分 3 2
(2)解法(一) :如图所示,以 A 为原点建立平面直角坐标系,

Q
A D

C x东
B

设点 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? , BC 与 x 轴的交点为 D .?????????????????6 分 由题设有, x1 ?

2 2 AB ? 20, y1 ? ? AB ? ?20, 2 2

x2 ? AC cos ?CAD ? 10 13 cos ? 45? ? ? ? ? 15, y2 ? ? AB sin ?CAD ? ?10, ????8 分
所以过点 B, C 的直线 l 的斜率 k ?

?10 ? 20 ? ?2 ,直线 l 方程为: y ? ?2 x ? 20 ,???9 分 15 ? 20

又点 E (0,30) 到直线 BC 的距离为 d ? 所以船会进入警戒水域.

0 ? 30 ? 20 12 ? 22

? 2 5 ? 5.

又设直线 BC 上点 G( x, 20 ? 2 x) 到点 E 距离为 5 .????????????????10 分
2 则 ? x ? 0 ? ? ? 20 ? 2 x ? 30 ? ? 25, ? x ? 8 x ? 15 ? 0, ? x ? ?3或 ? 5. ???????11 分 2 2

由图形易知 G ? ?3, 26? ,则 GC ?

?15 ? 3? ? ? ?10 ? 26?
2

2

? 18 5 ?????????12 分

所以从 C 点到进入警戒水域,船还要行驶 18 5 ?

15 5 ? 2.4(h) 小时.????????13 分 2

解法(二) :如图所示,设直线 AE 与 BC 延长线相交于点 Q ,在 ?ABC 中,由余弦定理得

数学试题(理工类)

第 8 页, 共 11 页

? 20 2 ? ? ?5 5 ? ? ?5 13 ? cos B ?
2 2

2

2 ? 20 2 ? 5 5

?

3 1 ,??????????7 分 , ? sin B ? 10 10

在 ?ABC 中,由正弦定理得

AQ ?

AB sin B ? sin ? 45? ? B ?

20 2 ?

1 10 ? 20, ????????????????????9 分 2 2 ? 2 10

由于 AE ? 30 ? 20 ? AQ, 所以点 Q 在点 A 和点 E 之间,且 QE ? AE ? AQ ? 10, ???10 分 过点 E 作 EP ? BC 于点 P ,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离,
? 在 Rt ?QPE 中, EP ? QE ? sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? 10sin 45 ? B ,

?

?

即 PE ? 10 ?

2 2 ? ? 2 5 ? 5. 所以船会进入警戒水线.????????????11 分 2 10
20 2 ? 2 2 ? 20 5, 2 2 ? 2 10

AB sin ?BAQ ? 又易知 ?QAB , BQ ? sin ? 45? ? B ?

? CQ ? BQ ? BC ? 15 5.
又设直线 BC 上点 G 到点 E 距离为 5 ,则由图易知 PQ ? 4 5, PG ? 5, ? GQ ? 3 5,

?GC ? GQ ? QC ? 3 5 ? 15 5 ? 18 5,
所以从 C 点到进入警戒水域,船还要行驶 18 5 ? 21. 【解析】(1)由题意得 f (e) ? pe ? : 而e?

15 5 ? 2.4(h) 小时.???????13 分 2

q p 1 ? 2 ln e ? qe ? ? 2 ? ( p ? q)(e ? ) ? 0 e e e

1 ? 0 ,所以 p 、 q 的关系为 p ? q ????????????????????3 分 e q p (2)由(1)知 f ( x) ? px ? ? 2 ln x ? px ? ? 2 ln x , x x

f ' ( x) ? p ?

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? ??????????????????????5 分 x2 x x2
数学试题(理工类) 第 9 页, 共 11 页

令 h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,要使 f ( x ) 在其定义域 (0, ??) 内是单调函数,只需 h( x) 在 (0, ??) 内 满足: h( x) ? 0或h( x) ? 0 恒成立. ??????????????????????6 分 【解法一】①当 p ? 0 时, h( x) ? ?2 x , 因为 x > 0 ,所以 h( x) <0, f ( x) ? ?
'

2x <0, x2

∴ f ( x ) 在 (0, ??) 内是单调递减函数,即 p ? 0 适合题意;????????????7 分 ②当 p >0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,其图像为开口向上的抛物线,对称轴为 x ?

1 ? (0, ??) , p

∴ h( x) min ? p ?

1 , p

只需 p ?

1 ? 0 ,即 p ? 1时h( x) ? 0, f ' ( x) ? 0 , p

∴ f ( x ) 在 (0, ??) 内为单调递增函数,故 p ? 1 适合题意. ?????????????8 分 ③当 p <0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,其图像为开口向下的抛物线,对称轴为 x ? 只要 h(0) ? 0 ,即 p ? 0 时, h( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,故 p <0 适合题意. 综上所述, p 的取值范围为 p ? 1或p ? 0 . ???????????????????9 分
2 2 【解法二】 由于 h ? x ? ? px ? 2 x ? p ? p x ? 1 ? 2 x

1 ? (0, ??) p

?

?

①令 h ? x ? ? px ? 2 x ? p ? p x ? 1 ? 2 x ? 0, ? p ?
2 2

?

?

2x ? x ? 0 ? 恒成立。 x ?1
2

2x ? 1? x ? 0 ? 所以,只须 p ? 1. ?????????????????8 分 x ?1 2x 2 2 ②同理,令 h ? x ? ? px ? 2 x ? p ? p ? x ? 1? ? 2 x ? 0, ? p ? 2 ? x ? 0 ? 恒成立。 x ?1
又易知, 0 ?
2

所以,只须 p ? 0, 综上所述, p 的取值范围为 p ? 1或p ? 0 . ????????????????????9 分 (3) 【解法一】∵ g ( x ) ?

2e 在 ?1,e? 上是减函数, x
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数学试题(理工类)

∴ x ? e 时, g ( x)min ? 2 ; x ? 1 时, g ( x)max ? 2e ,即 g ( x) ??2,2e? ,????????10 分 ①当 p ? 0 时,由(2)知 f ( x ) 在 ?1,e? 上递减 ? f ( x)max ? f (1) ? 0 <2,不合题意;?11 分 ②当 0< p <1 时,由 x ? ?1, e ? ? x ?

1 ?0, x

又由(2)知当 p ? 1 时, f ( x ) 在 ?1,e? 上是增函数, ∴ f ( x) ? p ( x ? ) ? 2 ln x ? x ?

1 x

1 1 1 ? 2 ln x ? e ? ? 2 ln e ? e ? ? 2 < 2 ,不合题意?12 分 x e e

③当 p ? 1 时,由(2)知 f ( x ) 在 ?1,e? 上是增函数, f (1) ? 0 <2, 又 g ( x) 在 ?1,e? 上是减函数,故只需 f ( x)max > g ( x) min , x ??1, e? , 而 f ( x) max ? f (e) ? p(e ? ) ? 2 ln e , g ( x)min ? 2 ,

1 e

1 4e p (e ? ) ? 2 ln e >2, 解得 p > 2 , e e ?1 4e , ? ) . ????????? ????????????14 分 ? 综上, p 的取值范围是 ( 2 e ?1
即 【解法二】依题意 f ? x ? ? g ? x ? 在 ?1,e? 上有解, 所以, px ?

p 2e ? 2 ln x ? 在 ?1,e? 上有解, x x

2 即 p x ? 1 ? 2 ? x ln x ? e ? 在 ?1,e? 上有解, x ? 1 时显然不成立。

?

?

p x ln x ? e x ln x ? e ? 在 ?1,e? 上有解,令 h ? x ? ? ?1 ? x ? e ? ????????11 分 2 2 x ?1 x2 ?1 p 则只须 ? h ? x ? min 2
所以, 又 h? ? x ? ?

? ln x ? 1? ? x2 ?1? ? 2 x ? x ln x ? e ?

?x

2

? 1?

2

?

? ? x 2 ? 1? ln x ? 1 ? x ? x ? 2e ?

?x

2

? 1?

2

?1 ? x ? e ?

2 显然, ? x ? 1 ln x ? 0, x ? x ? 2e ? ? 0(1 ? x ? e), ? h? ? x ? ? 0 ,?????????13 分

?

?

? y ? h ? x ? 在 ?1,e? 单调递减,所以 h ? x ? ? h ? e ? ? 也?

2e , e ?1
2

p 2e ? 4e ? ? 2 , 即 p ? ? 2 , ?? ? ?????????????????????14 分 2 e ?1 ? e ?1 ?

数学试题(理工类)

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