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全国大纲版2013届高考压轴卷 数学理试题


全国大纲版 2013 届高考压轴卷 数学理试题 第Ⅰ卷
共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 一.选择题 (1)若复数 z ?

? A?

1 2

2i , 则 z 等于( ) 1? i ?B ? 2 ?C ? 1 ?D? 2

2

(2) 若 A ? x ? Z 2 ? 2 2 ? x ? 8 , B ? x ? R log2 x ? 1 ,则 A ? ?C R B? 的元素个数为( (A) 0 (B) 1 (C) 2
?1

?

?

?

?



(D) 3

(3) 已知函数 y ? f ? x ? 与 y ? f 反函数,若 f ?1? ? 0, 则 f
?1

? x ? 互为反函数,且函数 y ? f ? x ? 1? 与函数 y ?


f ?1 ? x ? 1? 互为 也

?2010?=(
? 2010

? A?

0

?B ? 1

?C ?

?D?

? 2009


(4) 已知等比数列 ?a n ? 中,公比 q ? 0, 若 a 2 ? 4, 则 a1 ? a 2 ? a 3 有( (A)最小值-4 (B)最大值-4 (C)最小值 12 (D)最大值 12

(5) 一圆形餐桌依次有 A、B、C、D、E、F 共有 6 个座位.现让 3 个大人和 3 个小孩入座进餐,要求任何两 个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总 数为 ( )? y P ? (A)6 ?(B)12 (C)72 (D)144 ? (6) 已知函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如右图所示,设 P 是 x 图象的最高点, A, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB ?( (A) 10 (B) 8 (C) ) A O B

8 7

(D)

4 7

(7) 在正方形 ABCD 中, AB ? 4, 沿对角线 AC 将正方形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D ,则 点 B 到直线 CD 的距离为( )

?A?

2 2

?B?

3 2
x

?C ?

2 3
?x

?D?

2? 2 2

(8) 设 a ? R, 函数 f ? x ? ? e ? a ? e

的导函数是 f ?? x ?, 且 f ?? x ? 是奇函数,若曲线 y ? f ? x ? 的一条

切线的斜率是

3 , 则切点的横坐标为( 2
(B) ? ln 2



(A)

?

l n2 2

(C) ln 2

(D)

l n2 2



1第

? 1? 1? x ? , x ? 0 ( m ? 0, m ? 1, n ? 2, n ? N ? ), 若 f ? x ? 在 x ? 0 处连续, m 的 (9) 已知 f ? x ? ? ? 则 x 2 n ?logm 2 ? C n x , x ? 0 ?
值为( (A) )

1 8

(B)

1 4

(C)

1 2

(D) 2

(10)已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n ?13 ,那么满足 ak ? ak ?1 ? ? ? ak ?19 ? 102 的整数 k ( (A)有 3 个 (B)有 2 个 (C)有 1 个 (D)不存在



(11) 已知直线 l 交椭圆 4 x 2 ? 5 y 2 ? 80于 M, N 两点, 椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点, ?BMN 的重心 若 恰好落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是( (A) 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 (C) (B) 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 (D) 5 x ? 6 y ? 28 ? 0 ) )

5 x ? 6 y ? 28 ? 0

(12) 在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球,则小球半径 r 的最大值为( (A)

?

6?2 R

?

(B)

?

2 ?1 R

?

(C)

1 R 4

(D)

1 R 3

第Ⅱ卷
注意事项:
1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,然 后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2. 第Ⅱ卷共 2 页, 请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷 ....

上作答无效。 .....
3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效) ......... .

1 ? ? ?4 (13)若 ? 1 ? 2 ? ?n ? N , n ? 1? 的展开式中 x 的系数为 a n , x ? ?
页 2第

n

? 则 lim

? 1 1 1 ? ? ??? ?= n? ?? a an ? ? 2 a3 ?

.

(14) 当对数函数 y ? loga x?a ? 0且a ? 1? 的图象至少经过区域

? ? M ? ?? x , y ? ? ?

? x? y?0 ? ? ? ? x ? y ? 8 ? 0( x , y ? R ? 内的一个点时,实数 a 的取值范围为 ? ? y?3?0 ? ?

.

(15)已知函数 f ? x ? ? cos x , x ? ?

?? ? 且从小到大依次成等比数 ,3? ?, 若方程 f ? x ? ? m 有三个不同的实根, ?2 ?
.

列,则 m 的值为

(16)抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , A 其准线上的射影为 N ,则

、B 在抛物线上,且 ?AFB ?

?
2

,弦 AB 的中点 M 在

MN AB

的最大值为

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效) .........

?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 向量 m ? ?? 1,1?,

? 3? ?, 且 m ? n. n ? ? cos B cosC , sinB sinC ? ? 2 ? ? ?
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)现给出下列四个条件:① a ? 1; ② b ? 2 sinB; ③ 2c ? 个条件以确定 ? ABC ,求出你所确定的 ? ABC 的面积. (18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出 1 点或 2 点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球。 现在前后一共掷了 4 次骰子,设 x 、 y 分别表示甲、乙盒子中球的个数。 (Ⅰ)求 1 ? y ? x ? 3 的概率; (Ⅱ)若 ? ? x ? y , 求随机变量 ? 的分布列和数学期望。 (19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角梯形,

?

3 ? 1 b ? 0; ④ B ? 45? .试从中再选择两

?

AB // CD , ?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,
页 3第

P

??? ?

??? ?

D

C

A

试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45? .

(20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 8, an?1 ? Sn ? 3n?1 ? 5, n ? N ?. (Ⅰ)设 bn ? an ? 2 ? 3n , 证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)证明:

2 22 23 2n ? ? ? ? ? ? 1. a1 a2 a3 an

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知 ?AOB 的顶点 A 在射线 l1 : y ? 3x ? x ? 0 ? 上, A 、 B 两点关于 x 轴对称,0 为坐标原点, 且线段 AB 上有一点 M 满足 AM ? MB ? 3. 当点 A 在 l1 上移动时,记点 M 的轨迹为 W. (Ⅰ)求轨迹 W 的方程; (Ⅱ)设 N ? 2,0? , 是否存在过 N 的直线 l 与 W 相交于 P,Q 两点,使得 OP ? OQ ? 1? 若存在, 求出直线 l ;若不存在,说明理由.

???? ?

????

??? ??? ? ?

(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ? 2 x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范
2

围.



4第

2013 全国大纲版高考压轴卷 数学理试题答案
一、选择题 题号 答案 (1) D (2) C (3) D (4) B (5) C (6) B (7) C (8) C (9) B (10) B (11) A (12) A

二、填空题: (13)2. (14) ? 2, 3 5 ? .

?

?

(15) ?

1 . 2

(16)

2 2

提示:
(1) D. z ?

2i (1 ? i ) ? i ? 1, z ? 12 ? 12 ? 2 (1 ? i )(1 ? i )

(2) C. 化简 A ? ?0,1? , B ? ? 0,

? ?

1? ? ? 2, ?? ? 2? ?



5第

(3)

D.



y ? f ? x ? 1? ? f ?1 ( y) ? x ? 1

,

x, y









y ? f ?1 ( x) ? 1



? f ?1 ? x ? ? 1 ? f ?1 ? x ? 1? ? f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? 1? ? 1, 又f ?1 (0) ? 1 ,累加法: f ?1 ? 0? ? f ?1 ? 2010? ?
? f ?1 ? 0 ? ? f ?1 ? 1? ? ? ? f ?1 ? 1? ? f ?1 ? 2 ? ? ? ? f ?1 ? 2 ? ? f ?1 ? 3 ? ? ? ? ? ? f ?1 ? 2009 ? ? f ?1 ? 2010 ? ? =2010 ? ? ? ? ? ? ? ?

? f ?1 ? 2010? ? f ?1 ? 0? ? 2010= ? 2009
) (4) B. ?q ? 0, a2 ? 4, ? a1 ? 0, a3 ? 0. ( ? a1 ) ? ( ? a3 ? 2 a1a3 = 2 a2 =8,当且仅当 a1 ? a3 时取=号
2

? a1 ? a2 ? a3 ? ? 8 4 ? 4 ? ?
B

A F

(5) C.若 A、C、E 坐大人,则 B、D、F 坐小孩; 若 B、D、F 坐大人,则 A、C、E 坐小孩.共有
3 3 2 A3 A3 ? 72
C

种方法. y P

E D

1 3 , HB ? 2 2, (6) B.作 , 依题意, AH 1 OB 3 ? , tan ? ? ? PH ? 1 ? tan ? ? 又 , PH 2 PH 2 , ? tan ?APB ? tan(? ? ? ) ? 8

PH ? AB于H

AB ? T ? 2 ? AH ?

x A O
D

B

(7) C. 作 证 又 在 (8) C. 则

OD ? AC

,垂足是 O,则 O 是 AC 的中点,连结 OB,易 ,作

E O

?BOD ? 900

OE ? CD

于 E,E 是 CD 的中点, ,BE 是点 B 到直线 CD 的距离.

A

c

BO ? 平面ACD ? BE ? CD
,

B

Rt ?BOE

中,求

BE ? 2 3

.

f ? ? x ? ? e x ? a ? e? x ? f ? ? 0? ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 .设切点为 P( x0 , y0 ) ,
f ? ? x0 ? ? e x0 ? e ? x0 ?

3 1 e x0 ? 2或 ? (舍去) ? x0 ? ln 2 ,解得 , 2 2 1? 1? x ?1 1 f ? x ? 在 x ? 0 处连续, lim f ( x ) ? lim ? lim ?? x ?0? x ?0? x ?0? 1 ? 1 ? x (9) B. x 2 ,因为
1 1 1 ,即 log m 2 ? ? ,解得 m ? 2 2 4 ?13 ? n ( n ? 13) k ?1 a1 ? a2 ? ? ? a13 ? a14 ? ? ? a20 ? an ? ? (10) B. 因为 时, ? n ? 13 ( n ? 13) ,检验, 13(12 ? 0) 7(1 ? 7) ? 12 ? 11 ? ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 7 ? ? ? 106 2 2 ,不合题意. k?2 a2 ? a3 ? ? ? a13 ? a14 ? ? ? a21
所以, f (0) ? ? 时,
页 6第

? 11 ? 10 ? ? ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 7 ? 8 ?
由对称性知, (11) A.设

36 ? 66 ? 102

.所以,

12(11 ? 0) 8(1 ? 8) ? ? 66 ? 36 ? 102 ,满足题意 2 2 k ? 2或5
均满足题

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

,又

B(0,4), F (2,0)

0 ? x1 ? x2 4 ? y1 ? y2 ? 2, ?0 ,由重心坐标得 3 3

(12) A.当三个小球在下、第四个小球在上相切时,小球的半径最大.设小球的最大半径为 ,四个小球的 球心分别为 A,B,C,D,大球半径为

? x1 ? x2 ? 6 (1) MN ?? (3, ?2) M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 所以弦 的中点为 . 因为点 在椭圆上, y1 ? y2 ? ?4 (2) , ? ? 4 x12 ? 5 y12 ? 80 ? ? 所以, ? 4 x2 2 ? 5 y2 2 ? 80 ,作差得 ? y1 ? y2 6 4 (x1 ? x2 ) (x1? x2 ) 4 ( 1? y2 ) ( 1 y2 ? 0 ? y y? ) ,将(1)和(2)代入得 kl ? x ? x ? 5 , 1 2 6 y ? 2 ? ( x ? 3) 5 所以,直线 L 为: r
R
.则四面体 A-BCD 是棱长为

2r

的正四面体,将正四面体 A-BCD 补

形成正方体,则正方体棱长为

2r

,大球球心

O

为体对角线中点,易求

1 6 6 ( 2r )2 ? ( 2r )2 ? ( 2r )2 ? r R ? r ? OA ? r r ? ( 6 ? 2) R 2 2 ,所以 2 ,解得 n( n ? 1) 1 1 1 2 an ? C n ( ?1)2 ? ? ? 2( ? ) 2 (13)2. an n?1 n OA ?

?? 1 1 1 1? ?1 1? 1 ?? 1? ? 1 ? ? ??? ? 2 ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 1 ? ? a2 a3 an 2? ? 2 3? n? ? n ? 1 n ?? ? ?? 1? ? ? lim 2 ? 1 ? ? ? 2 n ?? n? ?
? 2, 3 3 ? . ? (14) ?
3

由可行域知, , 因为

y ? loga x
3 3

的图像分别过点

(3, 3),(4, 4),(5, 3)

时,

a

的值分别为

3, 2, 5

3

2? 3? 5

,所以 的取值范围是 ?

a

? 2, 3 ? . ?
3

1 y ? cos x y ? m q (15) 2 . 设公比为 , 问题转化为 要 和 的图像有三个交点,由图像可知, x ? x 4? 1 ? x ? ? 2? ? 4? ? q ? ? ? x ? ? ? 3? ? xq ? ? q ? 2, x ? ?m ? f ? ???2 8 3 , , ? 3 ? ? x ? xq ? 4? ,解得 ? ?

2 1 1 MN ? ( AA1 ? BB1 ) ? ( AF ? BF ) 2 2 (16) 2 . 如图, , 2 ( AF ? BF ) 2 2 2 AB ? AF ? BF ? , 2 AF ? BF
当且仅当 时取“=”号

y A A1

N

M x



7第

B1 B

? MN ? ? AF ? BF ? ?? ? ?? ? ? AB ? ? 2 AB ? 1

2

2

( AF ? BF )2 AB 1 ? ? ? ? 2 2 2 AB 2 2 AB

2

?

MN ? AB

1 2

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)? m ? n,? ? cos B cosC ? sinB sinC ?

3 ? 0, ?????1 分 2

即 cos B cosC ? sinB sinC ? ?

3 3 , cos(B ? C ) ? ? , ?????2 分 2 2

? A ? B ? C ? 180?,? cos?B ? C ? ? ? cos A,
? cos A ? 3 , 又O ? A ? ? ,? A ? 30?. ?????4 分 2

(Ⅱ) 方法一:选择①③可确定 ?ABC . ?????5 分

? A ? 30?, a ? 1,2c ?
2 2

?

3 ? 1 b ? 0,
2

?

? 3 ?1 ? 3 ?1 ? ? b cos 30?, ?????6分 由余弦定理 1 ? b ? ? 2 b ? ? 2b ? 2 ? ?
整理得 b ? 2, b ?
2

2, c ?

6? 2 . ?????8 分 2 3 ?1 . 4
?????10 分

? S ?ABC ?

1 1 6? 2 1 bc sin A ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2

(Ⅱ) 方法二:选择①④可确定 ?ABC . ?????5 分

? A ? 30?, a ? 1, B ? 45?, ?C ? 105?,

? sin105? ? sin?60? ? 45? ? ? sin60? cos45? ? cos45? sin60? ?

6? 2 , ?????6分 4

由正弦定理

a b a sinB 1 ? sin45? ? , 得b ? ? ? 2 , ?????8 分 sin A sinB sin A sin30?

? S ?ABC ?

1 1 6? 2 absinC ? ? 1 ? 2 ? ? 2 2 4
8第

3 ?1 . 4

?????10 分



(18)解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为

1 2 , . ????2 分 3 3

(Ⅰ)若 1 ? y ? x ? 3, 则只能有 x ? 1, y ? 3, 即在 4 次掷骰子中,有 1 次在甲盒中放球,有 3 次

1 ? 2? 32 在乙盒中放球,因此所求概率 P ? C ? ? ? ? ? .? 3 ? 3? 81
1 4

3

?5 分 (Ⅱ)由于 ? ? x ? y , 所以 ? 的可能取值有 0,2,4????6 分

24 40 ? 1? ? 2? 1 ? 1 ?? 2 ? 3? 1? ? 2? P ?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? , P ?? ? 2? ? C4 ? ?? ? ? C4 ? ? ? ? ? , 81 ? 3? ? 3? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 81
2 4

2

2

3

3

17 0?1? 4?1? P ? ? ? 4 ? ? C4 ? ? ? C4 ? ? ? 81 ? 3? ? 3?

4

4

????9 分

所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

2

4

24 81

40 81

17 81

故随机变量 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

24 40 17 148 ? 2? ? 4? ? . ????12 分 81 81 81 81

(19)解法一: (Ⅰ )平面 PCD ? 底面 ABCD , PD ? CD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,………1 分 所以 P D ? A D .……2 分 , 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1,0,0), B(1,1,0), C (0, 2,0), P(0,0,1). ………3 分 P z Q D A
9第

y C B

??? ? ??? ? DB ? (1,1,0) , BC ? (?1,1,0) ,



x

所以 BC ? DB ? 0 , BC ? DB ,……………4 分 又由 PD ? 平面 ABCD ,可得 PD ? BC ,所以 BC ? 平面 PBD .……………6 分 (Ⅱ )平面 PBD 的法向量为 BC ? (?1,1,0) ,…………………………………………7 分

??? ??? ? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ?1) , PQ ? ? PC , ? ? (0,1)

所以 Q(0, 2? ,1 ? ? ) , ………………………………………………………………8 分 设平面 QBD 的法向量为 n = (a, b, c) , DB ? (1,1,0) , DQ ? (0, 2?,1 ? ? ) , 由 n ? DB ? 0 , n ? DQ ? 0 ,得 所以, ?

??? ?

????

??? ?

????

?a ? b ? 0 ,………………………………………………….……9 分 ?2?b ? (1 ? ? )c ? 0

2? ) ,………………………………………………………….…10 分 ? ?1 ??? ? n ? BC 2 2 ? 所以 cos 45 ? ,……………………...……11 分 ? ??? ? ? 2 2? 2 n BC 2 2?( ) ? ?1
所以 n = ( ?1,1, 注意到 ? ? (0,1) ,得 ? ?

2 ? 1.

…………………………….………………12 分

法二: (Ⅰ)∵面 PCD⊥底面 ABCD,面 PCD∩底面 ABCD=CD,PD ? 面 PCD,且 PD⊥CD ∴PD⊥面 ABCD,………1 分 又 BC ? 面 ABCD,∴BC⊥PD 取 CD 中点 E,连结 BE,则 BE⊥CD,且 BE=1 在 Rt△ABD 中, BD ? ①…. .…..……2 分

2 ,在 Rt△BCE 中,BC= 2 . .……………………...……4 分
②………………...……5 分

∵ BD2 ? BC2 ? ( 2 )2 ? ( 2 )2 ? 22 ? CD2 , ∴BC⊥BD 由①、②且 PD∩BD=D ∴BC⊥面 PBD.

……….………………………………………….…...……6 分

(Ⅱ)过 Q 作 QF//BC 交 PB 于 F,过 F 作 FG⊥BD 于 G,连结 GQ. ∵BC⊥面 PBD,QF//BC ∴QF⊥面 PBD,∴FG 为 QG 在面 PBD 上的射影, 又∵BD⊥FG ∴BD⊥QG ∴∠FGQ 为二面角 Q-BD-P 的平面角;由题意,∠FGQ=45° …………….…...……8 分 . 设 PQ=x,易知 PC ? 5, PB ? 3 P

FQ PQ PQ 2 ? 即 FQ ? ∵FQ//BC,∴ ? BC ? x BC PC PC 5 PF PQ ? PB PC


Q F E G C B

D A

PQ 3 即PF ? ? PB ? x PC 5
10 第

∵FG//PD∴

FG BF BF 1 ? 即 FG ? ? PD ? 1 ? x ………………..…...……10 分 PD PB PB 5

在 Rt△FGQ 中,∠FGQ=45° ∴FQ=FG,即 ∵ PQ ? ? PC

1 2 x x ? 1? 5 5

∴x?

5 ? 5 ( 2 ? 1) ……..….........……11 分 2 ?1
∴? ?

??? ?

??? ?

∴ 5( 2 ? 1) ? ? 5

2 ? 1……..…............……12 分

(20)解: (Ⅰ)?an?1 ? Sn ? 3n?1 ? 5, ? an ? Sn?1 ? 3n ? 5 ? n ? 2 ? ,

?an?1 ? an ? an ? 2 ? 3n ,即an?1 ? 2an ? 2 ? 3n ? n ? 2? ,
当 n ? 2 时,

????2 分

n bn?1 an?1 ? 2 ? 3n?1 2an ? 2 ? 3n ? 2 ? 3n?1 2 ? an ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 2, ????5 分 bn an ? 2 ? 3 n an ? 2 ? 3 n an ? 2 ? 3 n

又? b1 ? a1 ? 2 ? 3 ? 2, b2 ? a2 ? 2 ? 3 ? 4,?
1 2

b2 ? 2, b1

? 数列 ?bn ? 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列。????6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 2 ,? an ? 2 ? 3 ? 2 , ? an
n n n

? 2 ? 3n ? 2n ,
n

2n 2n ? ? ? an 2 ? 3 n ? 2 n

1 ?2? ? ? ? ? ? ????9 分 n n 2 ?3? ? 3? ? 3? 2?? ? ? 1 2?? ? ? 2? ? 2? 1 1

?

2 3 n 2 22 23 2n 1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? a1 a2 a3 an 2 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? ? 3? ? ? ?

2? ? 2? ?1 ? ? ? 1 3? ? 3? ? = ? 1 2 1? 3

n

? ? n ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1. ????12 分 ? 3? ? ?

(21)解: (Ⅰ)因为 A,B 两点关于 x 轴对称, 所以 AB 边所在直线与 y 轴平行. 设 M ? x, y ? , 由题意,得 A x , 3 x , B x , ? 3 x ,? AM ? MB ? 3,

?

? ?

?

???? ???? ?

?

?

3x ? y

??

3 x ? y ? 3, x 2 ?

?

y2 ? 1, 3

所以点 M 的轨迹 W 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ? x ? 0 ? . ????4 分 3



11 第

(Ⅱ)假设存在,设 l : y ? k ? x ? 2? 或x ? 2,P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,

? 2 y2 ?1 ? x ? 当直线 l : y ? k ? x ? 2? 时,由题意,知点 P,Q 的坐标是方程组 ? 的解, 3 ? y ? k ? x ? 2? ?
消去 y 得

?3? k ? x
2

2

? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0, ????6 分

所以 ? ? 4k

?

2

?

2

? 4 ? 3 ? k 2 ?? ?4k 2 ? 3 ? ? 36 ? k 2 ? 1? ? 0且3 ? k 2 ? 0

4k 2 4k 2 ? 3 x1 ? x2 ? 2 ,x x ? , ????7 分 k ? 3 1 2 k2 ? 3

?直线 l 与双曲线的右支(即 W)相交两点 P,Q,? x1 ? x2 ?
即 k ? 3. ①????8 分
2

4k 2 4k 2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 2 ? 0, k2 ? 3 k ?3

? y1 y2 ? k ? x1 ? 2 ? ? k ? x2 ? 2 ? ? k 2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ? ?

??? ??? ? ? ? OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 1 ? k 2 ? x1 x2 ? 2k 2 ? x1 ? x2 ? ? 4k 2

? ?1 ? k 2 ? ?

4k 2 ? 3 4k 2 3 ? 5k 2 ? 2k 2 ? 2 ? 4k 2 ? 2 ????10 分 k2 ? 3 k ?3 k ?3

要使 OP ? OQ ? 1, 则必须有

??? ??? ? ?

3 ? 5k 2 ? 1, 解得 k 2 ? 1, 代入①不符合。 k2 ? 3

所以不存在直线 l ,使得 OP ? OQ ? 1, ????11 分 当直线 l : x ? 2 时, P ? 2, 3 ? , Q ? 2, ?3 ? , OP ? OQ ? ?5, 不符合题意, 综上:不存在直线 l ,使得 OP ? OQ ? 1, ????12 分 (22)解: f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ? (Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? (Ⅱ) f ?( x) ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2 ( x ? 0) . x

??????1 分

2 . 3

??????3 分

(ax ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) . x

??????4 分

①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ? 1 ? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) .
页 12 第

??????5 分

②当 0 ? a ?

1 1 时, ? 2 , 2 a 1 a 1 a

在区间 (0, 2) 和 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 (2, ) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( , ??) ,单调递减区间是 (2, ) . ????6 分 ③当 a ? ④当 a ?

1 a

1 a

1 ( x ? 2) 2 时, f ?( x) ? , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ??) . ???7 分 2 2x 1 1 时, 0 ? ? 2 , 2 a 1 a 1 a

在区间 (0, ) 和 (2, ??) 上, f ?( x) ? 0 ;在区间 ( , 2) 上 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 (0, ) 和 (2, ??) ,单调递减区间是 ( , 2) . (Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f ( x)max ? g ( x)max . 由已知, g ( x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知, ①当 a ?

1 a

1 a

???8 分

??????9 分

1 时, f ( x ) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f ( x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ? 1) ? 2ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2ln 2 , 所以, ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1,故 ln 2 ? 1 ? a ? ②当 a ?

1 . ?????10 分 2

1 1 1 时, f ( x ) 在 (0, ] 上单调递增,在 [ , 2] 上单调递减, 2 a a 1 a 1 ? 2 ln a . 2a

故 f ( x) max ? f ( ) ? ?2 ?

由a ?

1 1 1 可知 ln a ? ln ? ln ? ?1 , 2 ln a ? ?2 , ?2 ln a ? 2 , 2 2 e

所以, ?2 ? 2 ln a ? 0 , f ( x)max ? 0 , 综上所述, a ? ln 2 ? 1. ??????12 分



13 第


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