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2015-2016学年高中数学人教版必修三同步练习3.3.1 几何概型及其概率计算(含答案)


数学·必修 3(人教 A 版)





3 .3 3.3.1

几何概型

几何概型及其概率计算

基 础 达 标 1. ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( A. π 4 B .1 - π 4 C. π 8 D.1- π 8 )

答案:B

2.关于几何概型和古典概型的区别,下列说法正确的是(

)

A.几何概型中基本事件有有限个,而古典概型中基本事件有无限 个 B.几何概型中基本事件有无限个,而古典概型中基本事件有有限 个 C.几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等,而古典概型中 每个基本事件出现的可能性相等 D.几何概型中每个基本事件出现的可能性相等,而古典概型中每 个基本事件出现的可能性不相等

答案:B

3.一个红绿灯路口,红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 45 秒.当你到达路口时,恰好看到黄灯亮的概率 是( A. ) 1 12 3 B. 8 C. 1 16 5 D. 6

答案:C

4.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取 一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为________.

答案:

2 3

5.(2013·山东卷)在区间上随机取一个数 x,使得|x+1|-|x- 2|≥1 成 立 的 概 率 为

____________________________________________________________ ____________.

解析:先求出绝对值不等式的解集,再结合几何概型知识求解. 当 x<-1 时,不等式可化为-x-1+x-2≥1,即-3≥1,此式不 成立,∴x∈?; 当-1≤x≤2 时,不等式可化为 x+1-(2-x)≥1,即 x≥1,∴ 此时 1≤x≤2; 当 x>2 时,不等式可化为 x+1-x+2≥1,即 3≥1,此式恒成立, ∴此时 x>2. 综上可知,不等式|x+1|-|x-2|≥1 的解集为上的解集为,其 2 1 长度为 2.又 x∈,其长度为 6,由几何概型知识可得 P= = . 6 3 答案: 1 3

巩 固 提 升 6.

如右图, 在圆心角为 90°的扇形中, 以圆心 O 为起点, 作射线 OC, 则∠AOC 和∠BOC 都不小于 30°的概率为________.

答案:

1 3

7. 在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱 AB 上任取一点 P, 求三棱锥 SAPC 的体积大于 的概率. 3

V

V 1 解析:如右图,要使 VSAPC> ,需有 S△APC> S△ABC, 3 3

2 V ∴P 需满足 PB< AB.∴三棱锥 SAPC 的体积大于 的概率为 P= = 3 3 V 2 AB 3 2 2 或 P= = . 3 AB 3

2 V 3

8.一个靶子如图所示,随机地掷一个飞镖扎在靶子上,假设飞镖 不会落在黑色靶心上,也不会落在两种颜色之间,求飞镖落在下列区 域的概率:

(1)编号为 25 的区域; (2)绿色区域(阴影部分); (3)编号不小于 24 的区域; (4)编号为 6 号到 9 号的区域; (5)编号为奇数的区域; (6)编号能被 5 或 3 整除的阴影区域.

解析:飞镖落在每一个区域的概率是一样的,那么只要计算小扇 形的个数就可以了,一共有 26 个小扇形.这是几何概型问题. 1个小扇形的面积 1 (1)P= = ; 26个小扇形的面积 26 13个小扇形的面积 13 1 (2)P= = = ; 26个小扇形的面积 26 2 编号不小于24的扇形面积 (3)P= 全部区域的扇形面积 = 编号大于等于24的扇形面积 3 = ; 全部区域的扇形面积 26

6号到9号区域的扇形面积 4 2 (4)P= = = ; 全部区域的扇形面积 26 13 奇数号区域的扇形面积 13 1 (5)P= = = ; 全部区域的扇形面积 26 2 (6)阴影部分能被 3 整除的编号有 6,12,18, 24 共 4 个,能被 5 整

除的编号有 10,20 共 2 个, 4+2 3 所以 P= = . 26 13

9.甲、乙两人约定 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应 等候另一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.

解析:事件 A=“两人能见面”.以 x 和 y 分别表示甲、乙两人 到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15,在 如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为 60 的正 方形,而事件 A 的可能结果由图中阴影部分表示.

μ A=602-452=1 575,μ Ω =602=3 600,

P(A)=

μ A 1 575 7 = = . μ Ω 3 600 16

1 .正确理解并掌握几何概型的两个特点是解决相关问题的关 键.两个特点为:①在一次试验中,可能出现的结果有无限多个(无限

性);②每个结果发生的可能性相等(等可能性). 2.求试验为几何概型的概率,关键是求出事件所占区域和整个区 域的几何度量,然后代入公式即可求解. 3.适当地选择观察角度是解决有关长度、角度、面积、体积等问 题的关键.


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