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甘肃省兰州市2012届高三实战考试(兰州二诊)数学文


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2012 年兰州市高三实战考试(兰州市二诊)
数学(文科) (2012 年 4 月 12、13 日)
一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是 符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | y ? (A) ( ? ? , ) U (1, ? ? )
2 1
2 x ? 1} , B ? { x| | x | ? 1}

,则 ?U ( A I B ) ? (D) ( ? 1, )
2 1

(B) ( ? ? , 1)

(C) ( ? 1, ? ? )

2.

函数 y ? lo g 2
1

1 x

( x ? 0 ) 的反函数是 1

(A) y ? ( ) x ( x ? R )
2

(B) y ? ( ) x ( x ? 0 )
2

(C) y ? ( ) x ( x ? R )
4

1

(D) y ? ( ) x ( x ? 0 )
4

1

3.

已知命题“ p :双曲线 C 的离心率为 2 ” ,命题“ q :双曲线 C 为等轴双曲线”.则 p 是q 的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
1 an } 的前 n 项和为 S n ,则 S 5 ?

4.

在等比数列 { a n } 中, a 1 ? 1, 8 a 2 ? a 5 ? 0 ,数列 {
31 16
33 16

(A) 5.

(B)

(C)

31 48

(D)

11 16

如图 ? A B C 和 ? B C D 都是边长为 2 的正三角形,且二面角 A ? B C ? D 的大小为 6 0 ? , 则 A D 的长为 (A) 2 (C) 3 (B)
3 2
3 2

(D)

uur

uuur

6.

在 ?ABC 中 , M 是 BC 中 点 , 点 P 在 AM 上 且 满 足 P A ? ?2 P M ,
uuur uur uur uuu r 4 P A ? ( P B ? P C ) ? ? ,则 | A M | ? 9

(A) 7.

1 3

(B) 1

(C) 2

(D) 2

从 5 名男学生、4 名女学生中选 3 名学生组成一个研究性学习小组,要求其中男、女学
本卷第 1 页(共 18 页)

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生都有,则不同的选法有 (A)70 种 (B)80 种 (C)100 种 (D)140 种

8.

P 是圆 x ? y
2

2

?x ? 0 ? ? 1 上一点,Q 是满足 ? y ? 0 的平面区域内的点,则 | P Q | 的最小值 ?x ? y ? 2 ?

为 (A) 2 2 9. (B) 2 ? 1 (C) 2 (D) 2 ? 1
?
8

已知函数 f ( x ) ? c o s ( 2 x ? ? )( x ? R , ? ? 0 ) ,将 y ? f ( x ) 的图象向左平移

个单位长

度,得函数 y ? g ( x ) ,若函数 y ? g ( x ) 的图象关于轴对称,则 | ? | 的最小值是 (A) 0 (B)
?
8

(C)

?
4

(D)
?
3

?
2

10. 在球 O 的表面上有 A、 B 、 C 三个点, ? A O B ? ? B O C ? ? C O A ? 且 接圆半径为 2,那么这个球的表面积为 (A) 4 8 ? (B) 3 6 ? (C) 2 4 ?

,? A B C 的外

(D) 1 2 ?

11. 已知椭圆 C 1 和双曲线 C 2 有公共焦点 F1 , F 2 , C 1 的离心率为 e 1 , C 2 离心率为 e 2 , P 为
C 1 与 C 2 的一个公共点,且满足
1 e1
2

?

1 e2
2

uuu uuur r ? 2 ,则 P F 1 ? P F 2 的值为

(A) ? 1

(B) 0
1 3
3

(C) 1
x ? x , f ( x ) 在[ ? 2 , ? 2 2 , ] 3 3 1 2

(D) 2
] 上的值域为
11 2

12. 已知奇函数 f ( x ) 在 x ? 0 时, f ( x ) ? (A) [ ?
2 3

, 0]

(B) [ 0 , ]
3

2

(C) [ ?

(D) [ ?

,

]

24 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 ? ? ( ? ? , ?
5

?
2

), ta n 2 ? ? ?
2

4 3

,则 tan ? ?
5 5

. .

14. 已知 (1 ? a x ) ? 1 ? 1 0 x ? b x ? L ? a x ,则 a ? b ?

15. 地球北纬 4 5 ? 圈上有两点 A、 B ,点 A 在东经 1 3 0 ? 处,点 B 在西经 1 4 0 ? 处,若地球半 径为 R ,则 A、 B 两点的球面距离为 16. 设 F 为抛物线 y ? ?
1 4
本卷第 2 页(共 18 页)

x 的焦点,该抛物线在点 P ( ? 4 , ? 4 ) 处的切线 l 与 x 轴的交点为
2

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Q ,则 ? P F Q 的外接圆的方程为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分) 设 { a n } 是公差不为零的等差数列,S n 为其前 n 项和,满足 S 6 ? 0 , S 7 ? 7 ,求数列 { a n } 的通项公式及前 n 项和 S n .

18. (本小题 12 分) 已 知 ? A B C 中 , 三 个 内 角 A、 B 、 C 对 应 的 三 边 长 分 别 为 a、 b、 c , 且 有
4 b c o s A c o s B ? 9 a s in B .
2

(Ⅰ)求 ta n A ? ta n B 的值; (Ⅱ)求 ta n C 的最大值,并判断此时 ? A B C 的形状.

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19. (本小题 12 分) 将编号为 1、 2、3 的三个小球放入编号为甲、乙、 丙的三个盒子中,每盒放入一个小球, 已知 1 号小球放入甲盒,2 号小球放入乙盒,3 号小球放入丙盒的概率分别为 ,
3 1 , p ,

5 2

记 1 号小球放入甲盒为事件 A, 号小球放入乙盒为事件 B, 号小球放入丙盒为事件 C, 2 3 事件 A、B、C 相互独立. (Ⅰ)若 p ?
1 2

,求事件 A、B、C 中至少有两件发生的概率;
2 5

(Ⅱ)若事件 A、B、C 中恰有两件发生的概率不低于

,求 p 的取值范围.

20. (本小题 12 分) 如图,四棱锥 C-ABDE 中,△ABC 为正三角形,AE⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,M 为 DC 上一点,BD=BC=2AE=2 . (Ⅰ)求证: A E // 平 面 B C D ; (Ⅱ)当 E M ? B D 时,求二面角 M ? A B ? C 的正切值.

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21. (本小题 12 分)
3 2 设函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? b x ? a 的导数为 f ? ( x ) ,若函数 y ? f ? ( x ) 的图象关于直线

x ?

4 3

对称,且函数 y ? f ? ( x ) 有最小值 x ? ?

1 3

.

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 已知函数 g ( x ) ? x ? 1 4 x ? m , 若方程 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 只有一个实数, 求实数 m
2

的取值范围.

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22. (本小题 12 分) 已知经过点 ( 2 , 3 ) 的双曲线 C : (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在经过 ( 0 , ? 1) 的直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点 A、 B ,且线段 A B 的垂直平分线分别交 x 轴, y 轴与点 P 、 Q ,使得四边形 A P B Q 为菱形?若存在,求 出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的离心率为 2.

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2012 年高三实战考试 数学参考答案与评分参考

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 理科 (1)B (7)A 文科 (1)B (7)A (2)A (8)D (3)C (9)C (4)D (10)A (5)C (11)B (6)B (12)C (2)A (8)D (3)C (9)C (4)D (10)A (5)C (11)B (6)B (12)C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) (理、文) 2 (14) 4 2 (15)
?
3 R

(16) ( x ? 2 ) ? ( y ?
2

5 2

) ?
2

25 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17)理科 解:(Ⅰ)∵ 4 b c o s A c o s B ? 9 a s in B
2

∴ 4 co s A co s B ? 9 sin A sin B 显然 co s A co s B ? 0 ∴ ta n A ? ta n B ?
4 9

????????3 分

????????5 分
4 9 ? 0 ,故有 ta n A ? 0 , ta n B ? 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ta n A ? ta n B ? ∴

????????6 分

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∵ ta n C ? ta n [ ? ? ( A ? B )] ? ? ta n ( A ? B ) ? ?
? ? 9 5 ?2 ta n A ? ta n B ? ? 12 5

ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ta n B

? ?

9 5

(ta n A ? ta n B )

????????8 分
12 5

当且仅当 tan A ? tan B ,即 A ? B 时, ta n C 取得最大值 ? 角形. 文科 解:设数列 { a n } 的公差为 d ,首项为 a 1 ∵S6 ? 0 又∵ S 7 ? 7 ∴ 2 a1 ? 5 d ? 0 ∴ a1 ? 3 d ? 1 ① ②

,此时 ? A B C 为等腰三 ????????10 分

????????3 分 ????????6 分 ????????8 分

由①②解得 a 1 ? ? 5 , d ? 2

2 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n ? 7 ,前 n 项和 S n ? n ? 6 n ???????10 分

(18)理科 解: (Ⅰ)事件 A 、 B 、 C 中至少有两件发生的概率为
P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C )

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

2 5

?

1 2

?

1 2

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

11 20

??????6 分

(Ⅱ) ? 取的可能结果为 0,1,2,3,则
P (? ? 0 ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ?

2 5

?

1 2

?

1 2

?

2 20

?

1 10

P ( ? ? 1) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C )

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

2 5

?

1 2

?

1 2

?

2 5

?

1 2

?

1 2

?

7 20

P (? ? 2 ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C )

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

3 5

?

1 2

?

1 2 3 5

? ?

2 5 1 2 2 5

? ?

1 2 1 2

? ?

1 2 3

?

8 20

?

2 5

P (? ? 3 ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ?

????????10 分
? 8 5

20 3 20

数学期望 E ? = 0 ? 文科

1 10

+1 ?

7 20

+2 ?

+3 ?

????????12 分

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解:(Ⅰ)∵ 4 b c o s A c o s B ? 9 a s in B
2

∴ 4 co s A co s B ? 9 sin A sin B 显然 co s A co s B ? 0 ∴ ta n A ? ta n B ?
4 9

????????3 分

????????6 分
4 9 ? 0 ,故有 ta n A ? 0 , ta n B ? 0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ta n A ? ta n B ? ∴ ∵

??????8 分

ta n C ? ta n [ ? ? ( A ? B )] ? ? ta n ( A ? B ) ? ? ? ? 9 5 ?2 ta n A ? ta n B ? ? 12 5

ta n A ? ta n B 1 ? ta n A ta n B

? ?

9 5

(ta n A ? ta n B )

????????10 分
12 5

当且仅当 tan A ? tan B ,即 A ? B 时, ta n C 取得最大值 ? 腰三角形.

,此时 ? A B C 为等

????????12 分

(19)理科 解法一 (Ⅰ)证明: ∵ A E ? 平面 A B C , B D ? 平面 A B C ∴ AE ∥ BD 而 A E ? 平面 B C D
B D ? 平面 B C D

E

D

∴ A E ∥平面 B C D (Ⅱ)∵ B D ? 平面 A B C ∴平面 B C D ? 平面 A B C

??????5 分
M

A G

在平面 B C D 中过点 M 做 M N ? B C ,垂足为 N ,则有
M N ? 平面 A B C , M N ∥ B D ,

C

B N

∴? EM N ?

?
2

且 M N ∥ AE

过 N 做 NG ? AB 于 G , 连 接 M G 则 M G ? AB , 所 以 ? M GN 为 二 面 角
M ? A B ? C 的一个平面角

??????7 分

在四边形 A E M N 中 ∵
?EAN ? ?ANM ? ?NM E ?

?
2

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∴四边形 A E M N 为矩形 ∴ M N = AE ? 1 ∴ M 为 C D 的中点, N 为 B C 的中点 在 R t ? M N G 中, M N ? 1 , N G ? B N ? s in ? A B C ? ??????10 分
3 2

∴ ta n ? M G N ?

MN NG

?

1 3 2

?

2 3

3

??????12 分

解法二 依题意建立如图所示空间直角坐标系,则
A (, 0 , 0 , 0 ) , B (1,
E ( 0 , 0 ,1)
3 , 0 ) , C ( 2 , 0 , 0 ) , D (1,
3, 2)

z E (Ⅰ)∵ A E ? (0 , 0 ,1)
uuu r uuu r

D

uuu r

uuu r B D ? (1 ? 1,

3?

3 , 2 ? 0 ) ? (0 , 0 , 2 )
M

∴BD ? 2 AE ∴ AE ∥ BD 而 A E ? 平面 B C D
B D ? 平面 B C D

A

y B

∴ A E ∥平面 B C D (Ⅱ)∵ M 在 D C 上 ∴C M ? ? C D 设 M ( x , y , z ) ,则有 x ? 2 ? ? , y ? ∴ E M ? ( 2 ? ? , 3 ? , 2 ? ? 1) ∵ EM ? BD ∴ EM ? BD ? (2 ? ? ) ? 0 ? 解得: ? ?
3 2
3? , z ? 2?

C x

uuur

uuu r

uuur

uuur uuu r

3 ? ? 0 ? ( 2 ? ? 1) ? 2 ? 0

1 2

∴M ( ,
uuu r

3 2

, 1)

依题意 A E ? (0 , 0 ,1) 为平面 A B C 的一个法向量, n ? ( x ? , y ? , z ? ) 为平面 M A B 的一 设 个法向量,则有
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r

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r ?n ? ?r ?n ?

uuu r ? x? ? 3 y? ? 0 ? AB ? 0 ? 即? 3 uuur 3 y? ? z? ? 0 ? AM ? 0 ? x? ? ?2 2
r

令 x? ?

3 解得 y ? ? 1 , z ? ? ?

3

∴ n ? ( 3 , ? 1, ? 3 )
r r uuu ∴ cos ? n , A E ?? r r uuu n ? AE ? 3 uuu ? r ? ? r | n | ? | AE | 1? 7 3 7

显然,二面角 M ? A B ? C 为锐二面角,所以二面角 M ? A B ? C 的余弦值为

3 7

∴二面角 M ? A B ? C 的正切值为 文科

2 3

3

解: (Ⅰ)事件 A 、 B 、 C 中至少有两件发生的概率为
P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C )

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

2 5

?

1 2

?

1 2

?

3 5

?

1 2

?

1 2

?

11 20

????????6 分

(Ⅱ)依题意有
P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? P ( A ) P ( B ) P (C ) ? 2 5

????????9 分 ??????11 分 ???????12 分

即 ?
5

3

1 2

? (1 ? p ) ?

3 5

? 1

1 2

? p ?

2 5

?

1 2

? p ?

2 5

解得 p ?

1 2

所以 p 的取值范围是 [ ,1]
2

(20)理科 解:(Ⅰ)由
n a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 2n ? 1

得: a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ( 2 n ? 1) ,

2 即Sn ? 2n ? n

????????3 分

∴当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? n ( 2 n ? 1) ? ( n ? 1)( 2 n ? 1) ? 4 n ? 1 又 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 3 ∴ an ? 4 n ? 1 (n ? N )
?

????????6 分

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(Ⅱ)假设存在最大的实数 ? ,当 x ? ? 时,对一切 n ? N 都有 f ( x ) ? 0 成立,即有
1 2
n

?

x?

?

?
i ?1

b i ? 0 成立

? ∴当 x ? ? 时,对一切 n ? N 都有 x ?

1 2

n

?

?
i ?1

b i 成立????8 分

∵ bn ?

16 ( a n ? 1) ( a n ? 5 )

?

16 ( 4 n ? 1 ? 1) ( 4 n ? 1 ? 5 )

?

16 4n(4n ? 4)

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1

n

∴ ? bi ? ( ?
i ?1

1 1

1 2

)? (

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

) ? 1?

1 n ?1

?

n n ?1

?

1 2

???10 分

∴当 x ? ? 时,对一切 n ? N 都有 x ?

?

1 2

?
?

1 2

成立,解得 x ? 0

∴可取 ? ? 0 ,当 x ? ? 时,对一切 n ? N 都有 f ( x ) ? 0 成立????12 分 文科 解法一 (Ⅰ)证明: ∵ A E ? 平面 A B C , B D ? 平面 A B C ∴ AE ∥ BD 而 A E ? 平面 B C D
B D ? 平面 B C D

∴ A E ∥平面 B C D (Ⅱ)∵ B D ? 平面 A B C ∴平面 B C D ? 平面 A B C

??????5 分 E D

在平面 B C D 中过点 M 做 M N ? B C ,垂足为 N ,则有
M N ? 平面 A B C , M N ∥ B D ,

M

A G

∴? EM N ?

?
2

且 M N ∥ AE

C

B N

过 N 做 NG ? AB 于 G , 连 接 M G 则 M G ? AB , 所 以 ? M GN 为 二 面 角
M ? A B ? C 的一个平面角

??????7 分

在四边形 A E M N 中 ∵
?EAN ? ?ANM ? ?NM E ?

?
2

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∴四边形 A E M N 为矩形 ∴ M N = AE ? 1 ∴ M 为 C D 的中点, N 为 B C 的中点 ??????10 分
3 2

在 R t ? M N G 中, M N ? 1 , N G ? B N ? s in ? A B C ?

∴ ta n ? M G N ?

MN NG

?

1 3 2

?

2 3

3

??????12 分

解法二 依题意建立如图所示空间直角坐标系,则
A (, 0 , 0 , 0 ) , B (1,
E ( 0 , 0 ,1)
3 , 0 ) , C ( 2 , 0 , 0 ) , D (1,
3, 2)

z E D

(Ⅰ)∵ A E ? (0 , 0 ,1)
uuu r uuu r

uuu r

uuu r B D ? (1 ? 1,

3?

3 , 2 ? 0 ) ? (0 , 0 , 2 )

M

A

y B

∴BD ? 2 AE ∴ AE ∥ BD 而 A E ? 平面 B C D
B D ? 平面 B C D

C x

∴ A E ∥平面 B C D (Ⅱ)∵ M 在 D C 上 ∴C M ? ? C D 设 M ( x , y , z ) ,则有 x ? 2 ? ? , y ? ∴ E M ? ( 2 ? ? , 3 ? , 2 ? ? 1) ∵ EM ? BD ∴ EM ? BD ? (2 ? ? ) ? 0 ? 解得: ? ?
3 2
3? , z ? 2?

uuur

uuu r

uuur

uuur uuu r

3 ? ? 0 ? ( 2 ? ? 1) ? 2 ? 0

1 2

∴M ( ,
uuu r

3 2

, 1)

依题意 A E ? (0 , 0 ,1) 为平面 A B C 的一个法向量, n ? ( x ? , y ? , z ? ) 为平面 M A B 的一 设 个法向量,则有
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r

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r ?n ? ?r ?n ?

uuu r ? x? ? 3 y? ? 0 ? AB ? 0 ? 即? 3 uuur 3 y? ? z? ? 0 ? AM ? 0 ? x? ? ?2 2
r

令 x? ?

3 解得 y ? ? 1 , z ? ? ?

3

∴ n ? ( 3 , ? 1, ? 3 ) ∴ AE ? n ? 0 ?
uuu r r 3 ? 0 ? ( ? 1) ? 1 ? ( ? 3) ? ? 3
3 7

r r uuu ∴ cos ? n , A E ??

r r uuu n ? AE ? 3 uuu ? r ? ? r | n | ? | AE | 1? 7

显然,二面角 M ? A B ? C 为锐二面角,所以二面角 M ? A B ? C 的余弦值为

3 7

∴二面角 M ? A B ? C 的正切值为

2 3

3

(21)理科 解:(Ⅰ)依题意有:
c a ? 2, 2 a
2

?

3 b
2

? 1 且c2 ? a2 ? b2

所以 a 2 ? 1 , b 2 ? 3
y
2

双曲线 C 的方程为 x 2 ?

?1

???4 分

3

(Ⅱ)①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 与双曲线 C 没有交点,故满足条件的直线 l 不存 在. ②若直线 l 的斜率为 0 ,则线段 A B 为 y 轴平行;不满足条件,直线 l 不存在. ③若直线 l 的斜率为 ? 3 , 则直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行, 故满足条件的直线 l 不 存在. ④若直线 l 的斜率存在,且不为 0 不为 ? 3 时设为 k ,则直线 l 的方程为
y ? kx ? 1

???6 分

? y ? kx ? 1 ? 设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? 2 y 2 得 ?1 ?x ? 3 ?
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(3 ? k ) x ? 2 k x ? 4 ? 0
2

? ? 4k

2

? 1 6 (3 ? k ) ? 0 ? ? 2 ? k ? 2
2

???7 分

∴ x1 ? x 2 ?

2k k
2

?3

y1 ? y 2 ?

6 k
2
2

?3

∴线段 A B 的中点为 (

k k
2

?3 k

,

3 ?3 3 k 4
2

) ? ? 1 k (x ? k k
2

∴线段 A B 的垂直平分线 y ? ∴P(
k 4k
2

?3 )

?3

)

?3

, 0)

Q (0, k

2

?3



线段 P Q 的中点为 (
k

2k
2

?3 k

,

2
2

?3

) 2 k
2

若四边形 A P B Q 为菱形,则线段 P Q 的中点在直线 l 上,所以 解得 k 2 ? ? 1 ,这矛盾. 综上,不存在满足条件的直线 文科
2 解: (Ⅰ)∵ f ? ( x ) ? 3 x ? 4 a x ? b ? 3 ( x ?

?3

? k? k

2k
2

?3

?1

???11 分 ???12 分

2a 3

) ?
2

4a 3

2

?b

∴?

2a 3

?

4 3
3 2

?

4a 3

2

?b ? ?

1 3

解得 a ? ? 2

b ? 5

???3 分

∴ f (x) ? x ? 4 x ? 5x ? 2 ∴当 x ? 1 或 x ? 当1 ? x ?
5 3 5 3

f ? ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 5 ? (3 x ? 5 )( x ? 1)
2

时, f ? ( x ) ? 0 ,故函数 y ? f ( x ) 在 ( ? ? , 1] 或 [ , ? ? ) 上单调递增
3 5

5

时, f ? ( x ) ? 0 ,故函数 y ? f ( x ) 在 [1, ] 上单调递减
3

∴ x ? 1 时,函数 y ? f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 1 ? 4 ? 5 ? 2 ? 0
x ? 5 3

时,函数 y ? f ( x ) 取得极小值 f ( ) ? ( ) ? 4 ( ) ? 5 ?
3 2

5

5

5

5 3

?2 ? ?

4 27

??6 分

3

3

3

3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? x ? 4 x ? 5 x ? 2

3 2 ∴ f (x) ? g (x) ? x ? 3x ? 9 x ? m ? 2

令 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,则 h ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3 ( x ? 1)( x ? 3 )
2

∴函数 h ( x ) 在 ( ? ? , ? 1] 上单调递增,在 [ ? 1, 3 ] 上单调递减,在 [3, ? ? ) 上单调递增
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∴ h ( x ) 极 大 值 ? h ( ? 1) ? 3 ? m , h ( x ) 极 小 值 ? h ( 3 ) ? m - 2 9 ∵方程 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 只有一个实根
?3 ? m ? 0 ?m ? 29 ? 0 ?3 ? m ? 0 ?m ? 29 ? 0

???9 分

∴?

或?

解得 m ? ? 3 或 m ? 2 9 ???12 分

∴ m 的取值范围是 ( ? ? , ? 3) ?

(29, ?? )

(22)理科 解: (Ⅰ)依题意 f ? ( x ) ? 2 x ? 1
2 3 2 ∴ g ( x ) ? ln x ? f ? ( x ) f ( x ) ? ln x ? ( x ? x )( 2 x ? 1) ? ? 2 x ? 3 x ? x ? ln x

∴ g ?( x ) ?

1 x

? 6x ? 6x ?1 ?
2

(1 ? x ) ( 6 x ? 1)
2

???3 分

x

∵ g ( x ) 的定义域为 ( 0 , ? ? )
6x
2



?1

? 0

x

∴当 0 ? x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0 . ∴ g ( x ) 在 ( 0 , 1] 上是增函数,在 [1, ? ? ) 上是减函数. ∴当 x ? 1 时, g ( x ) 取得最大值 g (1) ? 0 (Ⅱ)∵ f ( x ) ? f ( ) ? x ? x ?
2

???6 分
1 x 1 x
2

1

1 x
2

?

1 x

? (x ?

) ? 2 ? (x ?
2

1 x

) 1 x ) ? (x ? 1 x ) ? ln m

x 1

∴不等式 f ( x ) ? f ( ) ? ( x ?
x

1 x

) ? ln m 可化为 ( x ?

) ? 2 ? (x ?

∵x ? 0 设x ?
1 x

∴x ?

1 x

? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=”)
2

? t ( t ? 2 )则可得 t ? 2 ? t ? t ln m 2 t ? 1 (t ? 2 )

∴ ln m ? t ? ∵t ? ∴t ?
2 t 2 t

???10 分

? 1 在 [ 2 , ? ? ) 上是增函数 ? 1 的最小值为 2 ? 2 2 ?1? 0

∴ ln m ? 0
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∴0 ? m ? 1 文科 解:(Ⅰ)依题意有:
c a ? 2, 2 a
2

???12 分

?

3 b
2

? 1 且c2 ? a2 ? b2

所以 a 2 ? 1 , b 2 ? 3
y
2

双曲线 C 的方程为 x 2 ?

?1

???4 分

3

(Ⅱ)①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 与双曲线 C 没有交点,故满足条件的直线 l 不存 在. ②若直线 l 的斜率为 0 ,则线段 A B 为 y 轴平行;不满足条件,直线 l 不存在. ③若直线 l 的斜率为 ? 3 , 则直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行, 故满足条件的直线 l 不 存在. ④若直线 l 的斜率存在,且不为 0 不为 ? 3 时设为 k ,则直线 l 的方程为
y ? kx ? 1

???6 分

? y ? kx ? 1 ? 设 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,由 ? 2 y 2 得 ?1 ?x ? 3 ?
(3 ? k ) x ? 2 k x ? 4 ? 0
2

? ? 4k

2

? 1 6 (3 ? k ) ? 0 ? ? 2 ? k ? 2
2

???7 分

∴ x1 ? x 2 ?

2k k
2

?3

y1 ? y 2 ? k k
2

6 k
2

?3

∴线段 A B 的中点为 (

, 2 ) ?3 k ?3 3 k 4 k
2 2

3

∴线段 A B 的垂直平分线 y ? ∴P(
k 4k
2

?3 )

? ?

1 k

(x ? k

k
2

?3

)

?3

, 0)

Q (0,

?3



线段 P Q 的中点为 (
k

2k
2

?3 k

,

2
2

?3

) 2 k
2

若四边形 A P B Q 为菱形,则线段 P Q 的中点在直线 l 上,所以 解得 k 2 ? ? 1 ,这矛盾. 综上,不存在满足条件的直线
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?3

? k? k

2k
2

?3

?1

???11 分 ???12 分

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