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一道课本立体几何题的探究


一道课本立体几何题的探究 一道课本立体几何题的探究
徐州市田家炳中学 薛金贵(221200)

现行苏教课标版高中数学必修二立体几何初步复习题第 18 题:设 P, A, B, C 是 球 O 表面上的四个点, PA, PB, PC 两两垂直,且 PA = PB = PC = 1m ,求球的体 积和表面积.此题属于几何体的外接球问题,解题的关键是确定球心的位置,求 出球的半径.实际操作起来,学生普遍反映难度较大:球心在哪?半径怎样求? 《普通高中数学课程标准》(实验)将立体几何定位于培养和发展学生把握图 形能力、空间想象能力与几何直觉能力、逻辑推理能力等,突出直观感知、操作 确认、思辨论证、度量论证等探索研究几何的过程.几何体的外接球问题是培养 和考察学生这些能力的一个很好的载体,且近年高考多有涉及,因此很有拓展探 究的必要. 为了解决上述问题,先从最简单情况谈起.设长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内接于 球 O ,根据对称性容易论证球心 O 即为长方体的中心,球的直径即为长方体的对 角线,如图 1 :
D1 A1 O D C B C1

B P O F

G

B1

C

E D

A

A

图1

图2

选取 A, B, D, A1 四点构成一个三条侧棱两两垂直的三棱锥 A ? A1 BD , 不正是前面 所给问题的情况吗?故此,有如下解法: 如图 2,原问题可视作球 O 外接于正方体 PBGC ? ADEF , PA, PB, PC 两两垂
4 3 3 直,且 PA = PB = PC = 1m ,因此球的直径为 3 m , V球 = π ( )2 = π ( m3 ) , 3 2 2

S球 =4π (

3 2 ) = 3π (m 2 ) . 2

此题与 08 高考福建卷 15 题如出一辙:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧 棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是____________. 图 1 中,选取 A1 A, B, C 四点,即得 变 式 1 ( 08 高 考 浙 江 卷 ) 如 图 3 , 球 O 表 面 上 的 四 个 点 A, B, C , D ,
DA ⊥ 平面ABC , AB ⊥ BC , DA = AB = BC = 3 ,则球 O 的体积等于________.
D

A

C B

图3 选取 A1 , C1 , B, D 四点,即得 变式 2 若正三棱锥的侧棱与底面边长相等,均为 2 ,则其外接球的体积等 于_______. 对于一般的长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,选取 A1 , B, C1 , D 四点,又有如下变式 变式 3 锐角 ?PQR 的三边长分别为 2a, 2b, 2c , 沿着它的三条中位线把 ?PQR 折成四面体 ABCD (如图 4),求四面体 ABCD 外接球的表面积.
P D(P,Q,R)

a A c Q b C b c B R B b A

c

a

C a

图4

解 根据所给四面体对棱相等的特征,将其放在长方体中考虑(如图 5).构 造以 a, b, c 为面对角线长的长方体,并设其三条共点棱棱长为 x, y, z ,则有

? x2 + y 2 = a 2 , ? 2 2 2 ?y + z = c , ? z 2 + x2 = b2 . ?
从而长方体的对角线长 DE = x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b2 + c 2 , 2

D a A b c B b c

故四面体 ABCD 外接球的表面积
DE 2 a 2 + b 2 + c 2 S = 4π ( ) = π. 2 2
E

a C

图5

纵观上述变式及其解法,我们采用补体法,摆脱局部细节中难以弄清的数量 关系和位置关系的纠缠,将所考察的对象作为一个整体对待,如此较容易地探求 到解题思路,优化和简化了解题过程.这对于培养和发展学生的几何思维能力, 提高学生的数学素养,促进学生对数学知识本质的认识和理解有着重要作用.同 时,我们也可从中认识到数学试题命制的一种方法,为有效解题从而提高数学成 绩提供方法上的借鉴.


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