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2009年高考海南宁夏理科数学详细解析全word版20090622


安徽高中数学

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试(海南宁夏卷) 数学(理工农医类)
第I卷 一, 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符合题目 要求的。 (1) (09 宁夏理)已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A I CN B ? (A) (C)

?

?1,5,7? ?1,3,9?
CN B ? ?1,5,7? ,选 A
3 ? 2i 3 ? 2i ? ? 2 ? 3i 2 ? 3i

(B) (D)

?3,5,7?
?1, 2,3?

解析:易有 A

(2) (09 宁夏理) 复数 (A)0 解析: (B)2

(C)-2i

(D)2

3 ? 2i 3 ? 2i ? 3 ? 2i ?? 2 ? 3i ? ? 3 ? 2i ?? 2 ? 3i ? 26i ? ? ? ? ? 2i ,选 D 2 ? 3i 2 ? 3i 13 13 13

(3) (09 宁夏理)对变量 x, y 有观测数据理力争( x1 , y1 ) (i=1,2,?,10) ,得散点图 1;对变 量 u ,v 有观测数据( u1 , v1 ) (i=1,2,?,10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。

(A)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 (B)变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 (C)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 解析:由这两个散点图可以判断,变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关,选 C

x2 y 2 (4) (09 宁夏理)双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12
(A) 2 3 (B)2 (C) 3 (D)1

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解析:双曲线

x2 y 2 =1 的焦点(4,0)到渐近线 y ? 3x 的距离为 d ? 4 12
x 1 2 x + cos = 2 2 2

3?4?0 2

? 2 3 ,选 A

(5) (09 宁夏理)有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

(B) p2 , p4
2

(3) p1 , p3

(4) p2 , p4

解析: p1 : ? x ? R, sin

x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是真命题, 2 2 2

? x ? ? 0, ? ? , sin x ? 0, ?

1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin x ? sin x =sinx ; p4 是 假 命 题 , 2

如x=

?
2

,y=2? 时,sinx=cosy,但x+y ?

?
2

。选 A.

?2 x ? y ? 4 ? (6) (09 宁夏理)设 x,y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y ?x ? 2 y ? 2 ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

解析:画出可行域可知,当 z ? x ? y 过点(2,0)时, zmin ? 2 ,但无最大值。选 B. (7) (09 宁夏理)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则 s 4 = (A)7 (B)8 解析: (3)15 (4)16

4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,?4a1 ? a3 ? 4a2 ,

即4a1 ? a1q2 ? 4a1q, ?q2 ? 4q ? 4 ? 0,?q ? 2,S4 ? 15 ,选 C.
(8) (09 宁夏理) 如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 1,线段 B 1D 1 上有两个动点 E,F, 且 EF ?

2 ,则下列结论中错误的是 2

(A) AC ? BE (B) EF / /平面ABCD (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值

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(D)异面直线 AE, BF 所成的角为定值 解析:A 正确,易证 AC ? 平面D1DBB1,从而AC ? BE; B 显然正确,

EF / / BD,? EF / /平面ABCD易证 ;C 正确,可用等积法求得;D 错误。选 D.
(9) (09 宁夏理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 , 且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心 ; 解析:由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心;

PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
( 10 ) ( 09 宁 夏 理 ) 如 果 执 行 右 边 的 程 序 框 图 , 输 入

?

?

x ? ?2, h ? 0.5 ,
那么输出的各个数的合等于 (A)3 (B) 3.5 (C) 4 (D)4.5 【解析】第 1 步:y=0,x=-1.5; 第 2 步:y=0,x=-1; 第 3 步:y=0,x=-0.5; 第 4 步:y=0,x=0; 第 5 步:y=0,x=0.5; 第 6 步:y=0.5,x=1; 第 7 步:y=1,x=1.5; 第 8 步:y=1,x=2; 第 9 步:y=1,退出循环, 输出各数和为:0.5+1+1+1=3.5,故选.B。

(11) (09 宁夏理)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为 (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2

2

【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=4,OD=3,由勾股定理,得 PD=5,AB=6 2 ,全面积为:

1 1 1 ×6×6+2× ×6×5+ ×6 2 ×4=48+12 2 ,故选.A。 2 2 2

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(12) (09 宁夏理)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小 值,设 f(x)=min{ 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为
x

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 x 【解析】画出 y=2 ,y=x+2,y=10-x 的图象,如右图,观察图象可知,当 0≤x≤2 时,f(x) x =2 ,当 2≤x≤3 时,f(x)=x+2,当 x>4 时,f(x)=10-x,f(x)的最大值在 x=4 时取得 为 6,故选 C。. 第 II 卷 二、填空题;本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) (09 宁夏理)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________. 解 析 : 抛 物 线 的 方 程 为 y2 ? 4x
2 ? ? y1 ? 4 x1 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2



2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ?

y1 ? y2 4 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2

? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
答案:y=x ( 14 ) ( 09 宁夏理)已知函数 y=sin ( ? x+ ? ) ( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示,则 ? =________________ 解析:由图可知, T ?

5? 4 ?4 ? ,?? ? , 把 ? 2? ,1? 代入y=sin ? x ? ? ? 有: 2 5 ?5 ?

9? ?8 ? 1=sin ? ? ? ? ? ,?? ? 10 ?5 ?
答案:

9? 10

(15) (09 宁夏理)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人,
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则不同的安排方案共有________________种(用数字作答) 。
3 3 解析: C7 C4 ? 140 ,答案:140

(16) (09 宁夏理)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0, S2 m?1 =38,则 m=_______
2 解析:由 am?1 + am?1 - a 2 m =0 得到 2am ? am ? 0, am ? 0, 2 。

又S2 m?1 ?
答案 10

? 2m ? 1?? a1 ? a2m?1 ? ?
2

? 2m ? 1? am ? 38? m ? 10

三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤。 (17) (09 宁夏理) (本小题满分 12 分) 为了测量两山顶 M,N 间的距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,M,N 在同一个铅垂 平面内(如示意图) ,飞机能够测量的数据有俯角和 A,B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

(17) 解: 方案一:①需要测量的数据有:A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 的俯角 ?2 , ?2 ;A, B 的距离 d (如图)所示) . ②第一步:计算 AM . 由正弦定理 AM ? ???.3 分

d sin ? 2 sin(?1 ? ? 2 ) d sin ? 2 sin( ? 2 ? ?1 )



第二步:计算 AN . 由正弦定理 AN ?



第三步:计算 MN. 由余弦定理 MN ? 方案二:①需要测量的数据有:

AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 ) .

A 点到 M,N 点的俯角 ?1 , ?1 ;B 点到 M,N 点的府角 ? 2 , ? 2 ;A,B 的距离 d (如图所示).

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②第一步:计算 BM . 由正弦定理 BM ?

d sin ?1 sin(?1 ? ? 2 )




第二步:计算 BN . 由正弦定理 BN ?

d sin ?1 sin( ?2 ? ?1 )

第三步:计算 MN . 由余弦定理 MN ?

BM 2 ? BN 2 ? 2 BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 )

(18) (09 宁夏理) (本小题满分 12 分) 某工厂有工人 1000 名, 其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人参加过 长期培训(称为 B 类工人) ,现用分层抽样方法(按 A 类、B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数) 。 (I)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为 A 类工人,乙为 B 类工人; (II)从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表 2. 表 1: 生产能力分 组 人数 表 2: 生产能力分组 人数 4 8

?100,110?

?110,120?

?120,130?
x

?130,140?
5

?140,150?
3

?110,120?
6

?120,130?
y

?130,140?
36

?140,150?
18

(i)先确定 x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中个体间 的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结 论)

(ii)分别估计 A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数, 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
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(18) 解: (Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均为

1 ,且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独 10

立,故甲、乙两工人都被抽到的概率为

p?

1 1 1 ? ? . 1 0 1 0 1 0 0

(Ⅱ) (i)由题意知 A 类工人中应抽查 25 名,B 类工人中应抽查 75 名. 4 ? 8 ? x ? 5 ? 25 ,得 x ? 5 , 故

6 ? y ? 36 ? 18 ? 75 ,得 y ? 15 .
频率分布直方图如下

从直方图可以判断:B 类工人中个体间的关异程度更小 . (ii) x A ?

4 8 5 5 3 ?105 ? ?115 ? ?125 ? ?135 ? ?145 ? 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB ? ?115 ? ?125 ? ? 135 ? ? 145 ? 133.8 , 75 75 75 75 25 75 x? ?123 ? ?133.8 ? 131.1 100 100

A 类工人生产能力的平均数, B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数 的会计值分别为 123,133.8 和 131.1 . (19) (09 宁夏理) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由。 (19)解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。在正方形
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ABCD 中, AC ? BD ,所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ? 又 OD ?

2a 。

2 a ,所以 ?SOD ? 600 , 2

连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP , 且 AC ? OD ,所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 30 ,
0

即二面角 P ? AC ? D 的大小为 30 。
0

(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 4

的交点即为 E 。连 BN。在 BDN 中知 BN // PO ,又由于 NE // PC ,故平面 BEN // 平面PAC ,得

1 ,故 SE:EC ? 2: 1. BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 2:
解法二: (Ⅰ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ? 平面ABCD .以 O 为坐标原点,

OB, OC, OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。
设底面边长为 a ,则高 SO ?

6 a。 2

于是

S (0,0,

6 2 2 a), D(? a,0,0) , C (0, a, 0) 2 2 2 2 a, 0) , 2


OC ? (0,

SD ? (?

2 6 a, 0, ? a) 2 2
AC ? SD

OC ? SD ? 0

OC ? SD ,从而

(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (

2 6 a, 0, a) ,平面 DAC 的一个法 2 2

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向量 OS ?)0, 0,

OS ? DS 3 6 0 ,所求二面角的大小为 30 ? a) ,设所求二面角为 ? ,则 cos ? ? 2 2 OS DS

(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量,



DS ? (

2 6 2 6 a,0, a), CS ? (0, ? a, a) 2 2 2 2



CE ? tCS ,
BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (?
BE ? DC ? 0 ? t ? 1 3



2 2 6 a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2



即当 SE : EC ? 2 :1 时, BE ? DS 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC

(20) (09 宁夏理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分 别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 程,并说明轨迹是什么曲线。 (20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

OP OM

=λ ,求点 M 的轨迹方

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 7

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )

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整理得 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ?? ?4, 4? 。 (i) ? ?

3 时。化简得 9 y 2 ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

当0 ? ? ? 当

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部分。 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;

(21) (09 宁夏理) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x (I) (II) 如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; 若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明

? ? ? <6.
(21)解: (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x ? 3x ? 3x ? 3)e ,故
3 2 ?x

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x ? ?e? x ( x?3 ? 9x) ? ? x( x ? 3)( x ? 3)e? x
当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0.

0),(3, ? ?) 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 单调减少.
(Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 ?x

? (3x2 ? 6x ? a)e? x ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? b ? a].

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由条件得: f '(2) ? 0,即23 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以

x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? ) ? ( x ? 2)( x2 ? (? ? ? ) x ? ?? ).
将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) 2 ? 4?? ? 12 ? 4a .
又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6. 于是 ? ? ? ? 6. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (22) (09 宁夏理)本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ?B ? 60 ,F 在 AC 上,
0

且 AE ? AF 。 (I) 证明:B,D,H,E 四点共圆: (II) 证明: CE 平分 ? DEF 。 (22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°, 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°, 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,得∠HBD=30° 由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30°. 所以 CE 平分∠DEF. (23) (09 宁夏理) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。

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已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t
(23)解:

(t 为参数)距离的最小值。

(Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 :
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 64 9

C1 为圆心是( ?4,3) ,半径是 1 的圆.
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.

(Ⅱ)当 t ?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ), 故M ( ?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ). 2 2
5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | . 5

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0, M 到C3的距离d ?
从而当 cos ? ?

4 3 8 5 ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 . 5 5 5

(24) (09 宁夏理) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

(24)解: (Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30. (Ⅱ)依题意,x 满足 {

4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, 0 ? x ? 30.
x ? [9, 23].

解不等式组,其解集为【9,23】

所以

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