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圆锥曲线的第三定义


2015.1.23-24 JZX

圆锥曲线的第三定义及运用
一、 椭圆和双曲线的第三定义
1. 椭圆 在椭圆 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a b2

b

0 ? 中,A、B 是关于原点对称的两点,P 是椭圆上异于 A、B 的一
b2 a2
2

点,若 kPA、kPB 存在,则有: k PA ? k PB =e ? 1= ?
2

kMO ? k PB =e ? 1= ? 证明: 构造△PAB 的 PA 边所对的中位线 MO, 由点差法结论: kPA ? kMO ,
知此结论成立。

b2 a2

2.

双曲线 在双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1中, A、 B 是关于原点对称的两点, P 是椭圆上异于 A、 B 的一点, 若 kPA、kPB b2
2

b2 存在,则有: k PA ? kPB =e ? 1= 2 a
证明:只需将椭圆中的 b 全部换成 ?b 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。
2 2

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二、 与角度有关的问题
x2 y 2 例题一:已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a a b
线

b

0 ? 的离心率 e ?

3 ,A、B 是椭圆的左右顶点,为椭圆与双曲 2

x2 y 2 cos ? ? ? 1 的一个交点,令 ?PAB=?,?APB=? ,则 = 7 8 cos ? 2? ? ? ?

.

解答:
2 令 ?PBx=? ,由椭圆第三定义可知: tan ? ? tan ? =e ? 1= ?

1 4

cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? tan ? ? tan ? 3 cos ? = = ? = cos ? 2? ? ? ? cos ?? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 1 ? tan ? ? tan ? 5
点评:
其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法,并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联 想到第三定义,那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角,把正余弦转化为正切。题 目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。

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变式 1-1: (石室中学 2015 级高二下 4 月 18 日周末作业)
已知双曲线 C:x2 ? y 2 ? 2015 的左右顶点分别为 A、B,P 为双曲线右支一点,且 ?PAB =4?APB ,求

?PAB =

.

解答:
令 ?PAB =? ? ?0, ? , ?PBA=? ? ?0, ? ,则 ? =5? ,由双曲线的第三定义知:

? ?? ? 2?

? ?? ? 2?

tan? ? tan? =tan? ? tan5? =e2 ?1=1
则: tan? =

1 ? ? ?? ? =tan ? ? 5? ? ? ? = ? 5? ? ? = tan5? 2 12 ?2 ?

点评:
与例题 1 采取同样的思路转化角,但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为 1 即表示 sinα =cosβ,cosα=sinβ ? 两角互余☆,则可解出 α 的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试 概率较小,但既然提到了双曲线的第三定义,不妨做一做。

三、 与均值定理有关的问题
例题 2:已知 A、B 是椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a a 2 b2 b 0 ? 长轴的两个端点,M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两
.

点, 直线 AM、 BN 的斜率分别为 k1、k2 , 且 k1k2 ? 0 。 若 k1 ? k2 的最小值为 1, 则椭圆的离心率为
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解答一(第三定义+均值) :
由题意可作图如下:

连接 MB,由椭圆的第三定义可知: k AM ? k BM =e ? 1= ?
2

b2 b2 ? k k = ,而 k ? ? k ? 1 2 BM BN a2 a2

k1 ? k2 ? 2 k1 ? k2 =

2b b 1 3 =1 ? = ? e= a a 2 2

解答二(特殊值法) :
这道题由于表达式 k1 ? k 2

?

?

min

? 1 非常对称, 则可直接猜特殊点求解。k1 = k2 =

1 时可取最值, 2

则 M、N 分别为短轴的两端点。此时: k1 = k2 =

b 1 3 。 = ? e= a 2 2

点评:
对于常规解法,合理利用 M、N 的对称关系是解题的关键,这样可以利用椭圆的第三定义将两者 斜率的关系联系起来,既构造了“一正” ,又构造了“二定” ,利用均值定理“三相等”即可用 a、b 表 示出最值 1。当然将 k1 、 k2 前的系数改为不相等的两个数,就不能利用特殊值法猜答案了,但常规解 法相同,即变式

2-1。

x2 y 2 变式 2-1:已知 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1? a a b

b

0 ? 长轴的两个端点,M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的

两点,直线 AM、BN 的斜率分别为 k1、k2 ,且 k1k2 ? 0 。若 2 k1 ? 2 2 k2 的最小值为 1,则椭圆的离 心率为 .
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解答:
连接 MB,由椭圆的第三定义可知: k AM ? k BM =e ? 1= ?
2

b2 b2 ? k k = ,而 k ? ? k ? 1 2 BM BN a2 a2

2 k1 ? 2 2 k2 ? 4 k1 ? k2 =

4b b 1 15 =1 ? = ? e= a a 4 4

变式 2-2: 已知 A、 B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a a 2 b2

b
.

Q B 0 ? 长轴的两个端点, 若椭圆上存在 Q, 使 ?A

?

2? , 3

则椭圆的离心率的取值范围为

解答一(正切+均值) :
令 Q 在 x 轴上方,则直线 QA 的倾斜角为 ? ? ? 0, ? ,直线 QB 的倾斜角为 ? ? ? ,? ? 。 2 2

? ?? ? ?

?? ?

? ?

tan ? ? tan ? ?? ? ?AQB ? ? ,? ? , tan ?AQB ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ?2 ?
由椭圆的第三定义: tan ? tan ? = ?

b2 b2 tan ? = ? ,则 a2 a 2 tan ?

? b2 ? b2 ? ? tan ? ? ? 2 ? 2 ? tan ? a tan ? tan ? ? tan ? ? 带入可得: = a tan ? 2 = ? b b2 1 ? tan ? tan ? 1? 2 1? 2 a a

?2 ?

b2 ?2b ? tan ? 2 ?2ab b a tan ? = a 2 = 2 2 (取等条件: tan ? ? ,即 Q 为上顶点) 2 b b a a ?b 1? 2 1? 2 a a
?? ?
2

, 1? 而 tanx 在 ? ,? ? 单增, 则 Q 为上顶点时 ? ?AQB ?max , 所以此时 ?AQB ? ? , 故e?? ? 3 3 ?2 ? ? ?

? 6 ?

解答二(极限法) :
当 Q 趋近于 A、B 两点时, ?AQB ?

?
2

(此时 Q 点所在的椭圆弧趋近于以 AB 为直径的圆的圆

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弧, ?AQB 相当于直径所对的圆周角) ;当 Q 在 A、B 间运动时 ?AQB 的圆内部, ?AQB

?
2

(Q 在以 AB 为直径

直径所对的圆周角 =90 °) ,由椭圆的对称性可猜测当 Q 为短轴端点时

? ?AQB?max 。
由于:椭圆上存在 Q,使 ?AQB ?

2? 2? ,那么 Q 为短轴端点时 ? ?AQB ? max ? 。 3 3 2? a 6 , 此时 ? 3 ? e ? ; 当椭圆趋于饱满 (e ? 0 ) 3 b 3

取临界情况, 即 Q 为短轴端点时 ?AQB ?

时,椭圆趋近于圆,圆的直径所对的圆周角永远为 90°,不满足;当椭圆趋于线段( e ? 1 )时,

? ?AQB?max ? ? ,满足。故 e ? ?

? 6 ? , 1? ?。 ? 3 ?

当然这些只需要在头脑中一想而过,简洁而有逻辑。

点评:
这道题可以增加对于圆周角的理解, 在用极限法讨论: “当 Q 趋近于 A、 B 两点时,?AQB ?

?
2



时能会颠覆 “ ?AQB ? ? ” 的认知, 当然这肯定是错的, 结合常规解法可以看出此时是角最小的情况, 而不是角最大的情况。 要搞清楚, 不然会被弄晕的。 对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二: ①与第三定义发生联系②tanx 在 ? ,? ? 单增便于利用 tanx 的大小比较角度的大小。 2

?? ?

? ?

四、 总结归纳
1. 上述部分题目的常规解法较复杂,但做题时一定要能猜答案,而且要猜得有理由。

2. 对于均值不等式,注意取等条件是“三相等” ,即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度
对称的式子的最值,如:例题 3.

2 2-2 中 P 在椭圆上滑动,角度的变

极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值,如:变式 化一定是光滑的(无突变,连续) , 所以只需考虑边界值。

4.

做几何的选填题时,有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角,注意学会恰当运用,如:变式
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2-2。
5. 6. 7. 8. 常以正切值刻画角度大小。 在做综合性较大的题目时要联系各种知识,灵活转化,以最巧妙的方法致胜。 . .

五、 方法链接
针对上文提到的 “圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充,各附例题。

例题 3:在平面直角坐标系 XOY 中,给定两点 M ? ?1,2? 和 N ?1,4? ,点 P 在 X 轴上移动,当 ?MPN 取
最大值时,点 P 的横坐标为 .

解答一(正切+均值) :
已知: M ? ?1,2? 、 N ?1,4? , lMN : y ? x ? 3 与 x 轴交于 P 0 ? ?3,0? 令 P ? t ,0 ? ,则: k MP ? ① 当 t ? ?3 时, ? =0 ② 当t

2 4 , k NP ? , ?MPN =? ?1 ? t 1? t

?3 时, lMP 的倾斜角较大, tan ? =

kMP ? k NP 2t ? 6 = 2 1 ? kMP ? k NP t ? 7

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令 x ? t ?3

0, 则 tan ? =

2t ? 6 2x 2 2 ( tan ? = 2 = ? =1 2 t ? 7 x ? 6 x ? 16 x ? 16 ? 6 16 2 x? ?6 x x

0)

此时 x ? 4 , t ? 1 , ? max ? ③ 当t

?
4

?3 时, lNP 的倾斜角较大, tan ? =

k NP ? kMP 2t ? 6 =? 2 1 ? kMP ? k NP t ?7

x ? ? ?t ? 3? 0 ,则 tan ? = ?

2t ? 6 2x 2 2 1 = 2 = ? = 2 t ? 7 x ? 6 x ? 16 x ? 16 ? 6 7 16 2 x? ?6 x x

( tan ?

0)
1 7

此时 x ? 4 , t ? ?7 , tan ?? max ? ?

由于 ? ??0,? ? ,且 tan ? 在 ? ??0,? ? 上单增, tan ? ??01 , ?

?? max ?

?
4

,此时 t ? 1

解答二(圆周角定理) :
本题中的取极值时的 P 点的几何意义为:过 M、N 的圆与 x 轴切于 P 点。下面给出证明:

证明:以与 x 轴切于 P2 点的圆满足所求最大角为例: 由于 lMN:y ? x ? 3 是过 M、N 两点的圆的一条弦,由垂径定理知圆心在 l :y ? ? x ? 3 上 随着圆心横坐标从 0 开始增大:当半径 r 较小时,圆与 x 轴无交点;当半径稍大一点时,圆
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与 x 轴相切,有一个交点;当半径更大一点时,圆与 x 轴有两交点 P3 、 P4 。 此时:根据圆周角定理: ?MP 3 N ? ?MP 4N

?MQN =?MP2 N ,可知:圆与 x 轴相切时,

? ?MPN ?max 。

R 较小的情况(圆与 x 轴相离)

R 较大的情况(圆与 x 轴相交于 P3 、 P4 )

所以:过 M、N 的圆与 x 轴切于 P3 、 P4 点时,分别有 ? ?MPN ?max 与 ?MP ?只需比较 ?MPN 1 2 N ,哪一个更大。 令与 x 轴相切的圆的圆心为 ? x, y ? ,则切点 P ? x,0? ,半径为 y
2 2 2 ? ?? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? y 圆满足: ? ? x 2 ? 6 x ? 7 ? 0 ? x ? ?7or1 (消去 y) 2 2 2 ? ?? x ? 1? ? ? y ? 4 ? ? y

比较可知:当 x=1 时, ? ?MPN ?max

点评:
常规方法依旧是利用正切度量角的大小,但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角,才能 得到正角;均值时要注意以分子(一次)为新元构建均值。用圆周角角的性质解答,只要转化为切点, 解一个方程组,比较两个角谁大就行了。 (不比较也行,画图可知右边角大于左边角:弦长相等,半径 越大,弦所对的圆周角越小。 )其实两种解法的难度是一样,只是一种要写得多,一种要想得多。☆

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变式 3-1:若 G 为△ABC 的重心,且 AG ? BG ,则 sin C 的最大值为 解答一(余弦定理+均值) :
1 ? xG ? ? x A ? xB ? xC ? ? ? 3 ? C ? ?a, ?b ? 令 G ? 0,0? , A? a,0? , B ? 0,b? ,则由 ? ?y ? 1 ? y ? y ? y ? G A B C ? 3 ?
由点间的距离公式: AB ? 由余弦定理: cos C ?

.

a 2 ? b 2 , AC ? 4a 2 ? b 2 , BC ? a 2 ? 4b 2

2 2 2 4a 2 ? b2 ? ? ? a 2 ? 4b2 ? ? ? a 2 ? b2 ? AC ? BC ? AB ? = 2 ? AC ? BC 2 ? 4a 2 ? b2 ? ? ? a 2 ? 4b2 ?

=

2

? 4a2 ? b2 ? ? ? a2 ? 4b2 ?
a?b ? 2

4 ? a 2 ? b2 ?

=
2

由于: ab ?

? 4a

? 4a ? b ? ? ? a ? 4b ? 5 ? b ? ? ? a ? 4b ? ? ? a ? b ? 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2

2 ? a 2 ? b2 ?

? cos C ?

4 3 3 ? 0 ? sin C ? ? ? sin C ?max ? 5 5 5

解法二(圆周角定理) :
令 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? , G ?sin? ,cos? ? ,则 C ?3sin? ,3cos? ?

题目转化为: A ? ?1,0? , B ?1,0 ? , C ? x, y ? 满足: x ? y ? 9 ,求 sin C 的最大值。
2 2

目测可知 C ? 0, ?3? 时, ? ?ABC ?max ,下面以 C' ?0,3? 来证明。

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过 A ? ?1,0? , B ?1,0 ? , C' ? 0,3? 作圆 O: 若 C 不在 C ' 点,令 AC 交圆 O 于 Q 点。由圆周角定理: ?ACB 此时由余弦定理? ? cos C ?min =

?AQB ? ?AC ' B 证得

4 3 ? ? sin C ?max ? 5 5

点评:
可以说这道题与例题

3

有异曲同工之妙,直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题

了。其实余弦函数在 ?0,? ? 单调,也可用来度量角的大小。 不过更值得一提的是两种方法以不同的方式,间接地表现了题中点的关系,设点的方式☆值得思 考领悟。解法一照顾垂直结论,把重心放在原点,利用重心的坐标很好地刻画了 C 点的坐标;解法二 联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件,以同样方式刻画 C 点的坐标。两种方式都完全的展现 了题目中的关系。

例题 4: (对椭圆用均值) : 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a b2 a 2

b 1? 上一点 P 引圆 O:x2 ? y 2 ? 1的两条切线 PA、
.

PB, 其中 A、 B 为切点, 直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别相交于 M、 N, 则△OMN 面积的最小值为

解答:设

P ? x0 , y0 ?

,P 点满足

x02 y02 x02 y02 2 x0 y0 ab ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 = ? x0 y0 ? 2 2 2 b a b a ab 2

P ? x0 , y0 ?

在圆外,则圆的切点弦方程为: x0 x ? y0 y ? 1 ? M ?

?1 ? ? 1? ,0 ?、M ? 0, ? ? x0 ? ? y0 ?

S

OMN

1 1 1 ? ? OM ? ON = ? 2 2 x0 y0 ab

点评:
解法巧妙,很难想到,权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程,当遇到面积表 达式中含有 x0 y0 时,可对椭圆进行均值,构造 x0 y0 的范围。

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