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高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲


专题 椭圆 双曲线 抛物线
一、椭圆
定义 顶点 焦点 长轴 短轴 焦距 通经长 离心率 到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹



| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)

(±a,0), 2a 2b

(0,±b)

(0,±a), 2a 2b

(±b,0)

F (?c, 0)

F (0, ? c)

2c c ? a 2 ? b 2

e=

c a

0<e<1.且 e 越接近 1 ,对应椭圆越扁; e 越接近于 0,越接近于圆

二、双曲线

定义

到两个定点距离之差的绝对值等于定值的点的轨迹

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a(2a ?| F1 F2 |)

标准方程 顶点 焦点 焦距 离心率 对称性: 渐近线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

(?a,0), (a,0) F1(?c,0),F2(c,0), 2c c ? a 2 ? b 2 e= e>1.
c a

(0,?a), (0,a) F1(0,?c),F2(0,c).

对称轴为 x=0,y=0;对称中心为 O(0,0) 实轴长 2a 虚轴长 2b y= ? x;
b a

y= ? x

a b

1.从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 b. 2.共渐进线双曲线系:与
x a y b

x2 y 2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐进线的双曲线方程是 2 - 2 =λ(λ≠0) 2 a b a b
x2 a2 ? y2 b2 ? ? (? ? 0) .

双曲线的渐近线为 ? ? 0 时,它的双曲线方程可设为 3.双曲线方程中化 1 为 0,因式分解可得渐进线方程

1

4 .等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ?a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,
e? 2.

5.直线与双曲线仅有一个交点的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线, 合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行 的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线. 小结: 过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点, 可以作出的直线数目可能有 0、 2、3、4 条. 三、抛物线
定义 方程 图形 到定点的距离与到定直线的距离之比等于 1 的点的轨迹
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 通经 焦半径

F(

p ,0) 2 p x?? 2 x ? 0, y ? R

F (?

p ,0) 2 p x? 2 x ? 0, y ? R

F (0,

p ) 2 p y?? 2 x ? R, y ? 0

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1

2p
p PF ? ? x 1 2 p PF ? ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

1.抛物线 y 2 ? 2 px 中 p 的几何意义是焦点到准线的距离,恒正; 焦点坐标、准线方程与
p 相关,是一次项的四分之一 2

2.注意抛物线焦点弦的特点: 如 y 2 ? 2 px 中 y1 y2 ? ? p2 , x1 x2 ?
p2 , AB ? x1 ? x2 ? p 4

2

例题精讲 例 1.若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点,则实数 a ?



例 2.已知圆 C 的圆心与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点关于直线 y ? x 对称.直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为.

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 25 9 点。若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=。

例 3 .已知 F1、F2 为椭圆

例4

(08 北京 19)

已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率 为 1.
1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0,

(Ⅱ)当 ?ABC ? 60? 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 答案 解: (Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 由? 得 4 x2 ? 6nx ? 3n2 ? 4 ? 0 . ? y ? ?x ? n
因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n2 ? 64 ? 0 ,解得 ?
4 3 4 3 ?n? . 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) , 则 x1 ? x2 ?
3n 3n 2 ? 4 , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4

3

所以 y1 ? y2 ?

n . 2

? 3n n ? 所以 AC 的中点坐标为 ? , ? . ? 4 4?

? 3n n ? 由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?
所以
n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60? , 所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?
3 2 AC . 2
?3n2 ? 16 , 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ?n? ?. ? 4 3 3 ? ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 .
A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点, 例 5 (08 全国 2 21) 设椭圆中心在坐标原点,

直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点.

??? ? ???? (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值;
(Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. 答案 (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为
x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 ,

4

且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ?
2 1 ? 4k
2

y B O E D

F A x

.①

??? ? ???? 1 5 10 由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? ; 7 7 7 1 ? 4k 2
由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以
2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2
2 . 1 ? 2k

化简得 24k 2 ? 25k ? 6 ? 0 ,
2 3 或 k ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 3 8 (Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离分别

解得 k ?

为 h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分

又 AB ? 22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为
S? 1 AB (h1 ? h2 ) 2

1 4(1 ? 2k ) ? ? 5? 2 5(1 ? 4k 2 )
? 2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2

?2

1 ? 4k 2 ? 4 k 1 ? 4k 2

≤2 2 ,
当 2k ? 1 ,即当 k ?
1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 5

设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△BEF ? S△AEF
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? x2 ? 2 y2 ·
? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2
2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . 12 分 例 6 (本小题满分 14 分) 椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长 轴端点与短轴端点间的距离为 2 a b 2

5.
(I)求椭圆 C 的方程; (II)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点, O 为坐标原点,若
?OEF 为直角三角形,求直线 l 的斜率.

解: (I)由已知

c 3 2 ? , a ? b 2 ? 5, a 2

??????3 分

又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1, 所以椭圆 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1. 4

????????????5 分

(II)根据题意,过点 D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4.

? x2 ? ? y2 ? 1 联立, ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 60 ? 0 ,????6 分 ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k ) 2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240,
6

令 ? ? 0 ,解得 k 2 ?

15 . 4

??????????????????7 分

设 E、F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) , (i)当∠EOF 为直角时, 32 k 60 , x1 x 2 ? 则 x1 ? x 2 ? ? ,??????????8 分 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 因为∠ EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,?????? 9 分 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,
15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19. ??????11 分 所以 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

(ii)当∠OEF 或∠OFE 为直角时,不妨设∠OEF 为直角, 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 分 又
x12 ? y12 ? 1 ????② 4

y1 y1 ? 4 ? ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ??①????12 x1 x1

将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0, 解得 y1 ? 将 y1 ?
2 或 y1 ? ?2 (舍去) ,????????13 分 3

2 2 5, 代入①,得 x1 ? ? 3 3

所以 k ?

y1 ? 4 ? ? 5 ,?????14 分 x1

经检验,所求 k 值均符合题意,综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5. 例 7 已知椭圆 C :
1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短 2 2 a b

半轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切. ⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 P (4 , 0) ,A ,
B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,

证明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ;
【解析】 ⑴由题意知 e ?

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? ,所以 e2 ? 2 ? ? .即 a2 ? b2 . 2 a 2 3 a a 4

7

又因为 b ?

6 1?1

? 3 ,所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 3 .故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

⑵由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .
? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 . ? 1. ? ? 3 ?4


y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1

设点 B( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) .直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 , 得 x ? x2 ?
x?

y2 ( x 2 ? x ) 1 . 将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代 入 整 理 , 得 y2 ? y1

2 x1 x 2 ? 4( x 1 ? x )2 .② x1 ? x2 ? 8

由①得 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x2 ? 代入②整理,得 x ? 1 .所以直线 AE 与 x 轴 2 4k ? 3 4k 2 ? 3

相交于定点 Q(1, 0) . 例 8 (12 年东城期末) 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、 右焦点分别为 F1 , a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 F2 ,点 M ? 0, 2? 是椭圆的一个顶点,△ F1 MF2 是等腰直角三角形. 的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A , B 两点,设两直线的
1 斜率分别为 k 1 , k 2 ,且 k1 ? k2 ? 8 ,证明:直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) . 2

解: (Ⅰ)由已知可得 b ? 2, a ?
2

? 2b?

2

x2 y 2 ? 1 .5 分 ? 8 ,所求椭圆方程为 ? 8 4

(Ⅱ)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 方程为 y ? kx ? m ,依题意 m ? ?2 .设

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,
? x2 y2 ? 由 ? 8 ? 4 ? 1, 得 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 . ???7 分 ? ? y ? kx ? m,

则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 8 , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由已知

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ?8, x1 x2

所以

kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 x ?x ? ? 8 ,即 2k ? ? m ? 2 ? 1 2 ? 8 . ?10 分 x1 x2 x1 x2

8

mk 1 ? 4 ,整理得 m ? k ? 2 . m?2 2 1 1 故直线 AB 的方程为 y ? kx ? k ? 2 ,即 y ? k ( x ? ) ? 2 . 2 2 1 所以直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) .???12 分 2

所以 k ?

若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x ? x0 , 设 A( x0 , y0 ) , B( x0 , ? y0 ) ,由已知
y0 ? 2 ? y0 ? 2 ? ?8, x0 x0

1 1 1 得 x0 ? ? .此时 AB 方程为 x ? ? ,显然过点( ? , ? 2 ) . 2 2 2 1 综上,直线 AB 过定点( ? , ? 2 ) .???13 分 2

例9 直线

已知椭圆 C 的左、 右焦点坐标分别是 (? 2,0) , 离心率是 ( 2,0) ,

6 , 3

椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 解: (Ⅰ)因为 变化时,求 y 的最大值。

c 6 ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ? a 3
x2 ? y2 ? 1 3

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 x ? ? 3(1 ? t 2 )

3 所以圆 P 的半径为 3(1 ? t 2 ) ,解得 t ? ? 2

? 所以点 P 的坐标是 (0,

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t )2 ? 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q( x, y ) 在圆 P 上。 所以 y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 ) 9

? 设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t 2 ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) 6 1 ? 当 ? ? ,即 t ? ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2 3
例 10.已知椭圆 C :
x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半 2 2 a b

轴为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切.⑴求椭圆 C 的方程;⑵设 P (4 , 0) , A ,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证 明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ; ⑶在⑵的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范 围.
【解析】 ⑴由题意知 e ?
???? ? ????

c 1 4 c 2 a 2 ? b2 1 ? ,所以 e2 ? 2 ? ? .即 a2 ? b2 . 2 a 2 3 a a 4

又因为 b ?

6 1?1

? 3 ,所以 a 2 ? 4 , b 2 ? 3 .故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

⑵由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .
? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 . ? ? 1. ? 3 ?4


y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1

设点 B( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) .直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 , 得 x ? x2 ?
x?

y2 ( x 2 ? x ) 1 . 将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代 入 整 理 , 得 y2 ? y1

2 x1 x 2 ? 4( x 1 ? x )2 .② x1 ? x2 ? 8

由①得 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , 代入②整理,得 x ? 1 .所以直线 AE 与 x 轴 x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

相交于定点 Q(1, 0) .
, y )M , ⑶当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时, 设直线 MN 方程为 y ? m( x ? 1) , 且 M ( xM
N ( xN , yN ) 在椭圆 C 上.
? y ? m( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 得 (4m2 ? 3) x2 ? 8m2 x ? 4m2 ? 12 ? 0 .易知 ? ? 0 . ? ? 1 ? 3 ?4

所以 xM ? xN ?

8m2 4m2 ? 12 9m2 , xM xN ? , yM yN ? ? 2 . 2 2 4m ? 3 4m ? 3 4m ? 3

10

则 OM ? ON ? xM xN ? yM yN ? ?
? 1 1 3 3 ≤ ? 4 4m ( 24? 0 ?. 3 )

???? ? ????

5m 2 ? 12 5 33 ?? ? . 因 为 m2 ≥ 0 , 所 以 4m 2 ? 3 4 4(4m 2 ? 3)

? 所以 OM ? ON ? ? ? ?4 , ? 4 ? .当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 . 5 ? ?

???? ? ????

解得 M (1,

???? ? ???? ???? ? ???? 5? 3 3 5 ?4, ? ? . 此时 OM ? ON ? ? . 所以 OM ? ON 的取值范围是 ? ), N (1, ? ) . ? 4? 2 2 4 ?

例 11 已知椭圆 C 的左,右焦点坐标分别为 F1 ? 3,0 , F2

?

? ? 3,0? ,离心率是

3 。椭 2

圆 C 的左, 右顶点分别记为 A,B。 点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 直线 AS,BS 10 与直线 l : x ? ? 分别交于 M,N 两点。 3 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 求线段 MN 长度的最小值; 1 (3) 当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上的 T 满足: ?TSA 的面积为 。试 5 确定点 T 的个数。 解(1)因为
c 3 ,且 c ? 3 ,所以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ? a 2
x2 ? y 2 ? 1 …………………………3 分 4

所以椭圆 C 的方程为

(2 ) 易知椭圆 C 的左, 右顶点坐标为 A(?2,0), B(2,0) ,直线 AS 的斜率 k 显然 存在,且 k ? 0 故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而 M (?
10 4 ,? k ) 3 3

? 由? ?

y ? k ( x ? 2) 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 x2 2 ? y ?1 4
16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 x ? ,得 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

设 S ( x1 , y1 ) ,则 (?2) x1 ?

从而 y1 ?

4k 2 ? 8k 2 4k S ( , ) ,即 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ( x ? 2) 4k

又 B(2,0) ,故直线 BS 的方程为 y ? ?

11

1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? ? 3 10 4 4k 4 由? 得? ,所以 N ( ? , ) ,故 MN ? ? 10 4 3 3 k 3 3k ? ? y ?? x?? 3 3k ? ?
又 k ? 0 ,所以 MN ? 即 k ? 1 时等号成立
8 所以 k ? 1 时,线段 MN 的长度取最小值 ………………………………..9 分 3 (3)由(2)知,当线段 MN 的长度取最小值时, k ? 1 6 4 此时 AS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , S (? , ) , 5 5

4k 4 4k 4 4k 4 8 ? 当且仅当 时, ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3 3k 3

所以 AS ?

1 4 2 ,要使 ?TSA 的面积为 , 5 5
N _ D _ S _

y _

2 只需点 T 到直线 AS 的距离等于 , 4 2 所以点 T 在平行于 AS 且与 AS 距离等于 的直线 l ' 4

B _ A _ O _ x _

M _



设 l ' : x ? y ? t ? 0 ,则由

t ?2 2

?

3 5 2 ,解得 t ? 或t ? 2 2 4

? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ① 当 t ? 时,由 ? 4 得 5x 2 ? 12x ? 5 ? 0 3 2 ?x ? y ? ? 0 2 ?
由于 ? ? 44 ? 0 ,故直线 l ' 与椭圆 C 有两个不同交点

? x2 ? y2 ? 1 ? 5 ② t ? 时,由 ? 4 得 5x 2 ? 20x ? 21 ? 0 由于 ? ? ?20 ? 0 ,故直线 l ' 与椭 2 ?x ? y ? 5 ? 0 2 ? 圆 C 没有交点 综上所求点 T 的个数是 2.

12

针对训练
1、 若方程

x2 y2 则 m 的取值范围是 ( ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m ?1 2 ? m
3 2



A.m ? 2 B.1 ? m ? 2 C.m ? ?1 或 1 ? m ? 2 D.m ? ?1 或 1 ? m ?

2、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1, F2 , 点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 12 3

在 y 轴上,那么 PF 1 是 PF 2 的(
A.3 倍 B .4 倍


C .5 倍 D.7 倍

3、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 M , 其两焦点为 F1, F2 , 若 MF1 ? MF2 , 则 ?MF1F2 的面 49 24

积是( ) A.96 B.48 C .24 D.12 4、 若双曲线和椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 有相同的焦点, 它的一条渐近线方程是 y ? 2 x 则 这个双曲线的方程是( )

A.2 x2 ? 4 y 2 ? 1 B.2 x2 ? 4 y 2 ? 3 C.2 y 2 ? 4x2 ? 1 D.2 y 2 ? 4 x 2 ? 3
x2 y 2 5、双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率 a b

是( ) 3 4 3 5 A. B. C. D. 4 3 5 3 6、 椭圆
x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点, 则 k 的取值范围是 ( 9 k k 3



A.k ? 3 B.2 ? k ? 3 C.0 ? k ? 2 D.k ? 2

7、 过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l , 交双曲线于 A, B 两点, 若 AB ? 4, 则 2
C .3 条 D.4 条

这样的直线 l 存在( ) A.1 条 B .2 条

8、焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为(



13

A.x 2 ? 16y 或 y 2 ? 16x B. y 2 ? 16x 或 x 2 ? 12 y C. y 2 ? 16 x 或 x 2 ? ?12y D.x2 ? 16y 或 y 2 ? ?12x
9、 已知抛物线 x2 ? ? y 上一点 A 到准线的距离为
A.1 B.

5 , 则 A 到顶点的距离等于 ( 4



5 3 C. 2 D. 4 2

10、 已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点 F , 定点 A?? 1,8?, P 为抛物线上一动点, 则 PA ? PF 的最小值是( ) A.16 B.12 C .9 D.6 11 、抛物线 y ? x2 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短,则这一点的坐标为 ( )

3 9 ?1 1? A.? , ? B.?1,1? C .( , ) D.?2,4? 2 4 ?2 4?

12、 以抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦半径 PF 为直径的圆与 y 轴的位置关系为 ( A. 相交 B. 相离 C.相切 D.不确定 0) 的距离小 1, 13. 若点 P 到直线 x ? ?1 的距离比它到点 (2, 则点 P 的轨迹为 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2 14、已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( ) 1 1 A. ( ,-1) B. ( ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 4 4 5 15. 设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点, 到 13 椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 (A) 2 ? 2 ? 1 (B) 2 ? 2 ? 1 (C) 2 ? 2 ? 1 (D) 2 ? 2 ? 1 4 3 13 5 3 4 13 12 2 2 x y ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 等 16.设 p 是椭圆 ? 25 16 于() A.4 B.5 C.8 D.10 2 2 x 16 y 17. 若双曲线 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为 ( ) 3 p (A)2 (B)3 二、填空题。 18、 椭圆 (C)4 (D)4 2



x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? 上一点 P 的横坐标为 3,P 到两焦点距离分别为 6.5 a 2 b2

14

和 3.5,则 a 2 ? , b 2 ? 。 19、若方程
x2 y2 ? ? ?1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是。 k ?5 3?k x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,点 P 在椭圆上, ?POF2 是面积为 a2 b2

20、 F1 , F2 分别为椭圆

3 的正三角形,则 b 2 的值是。
21、与双曲线
x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线且过点 A 2 3,?3 的双曲线方程为。 16 9

?

?

22、双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到左焦点距离为 6,则这样的点有个。 4 12

23、过点 P?4,?2? 的抛物线的标准方程为。 24、边长为 1 的等边三角形 AOB, O 为原点, AB 垂直于 x 轴,则以 O 为顶点且 过 A, B 的抛物线方程是。 25. 已知双曲线
x2 y2 ? ? 1的离心率是 3 。则 n = n 12 ? n x2 y 2 3 x ,若顶点 26.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? a b 3 到渐近线的距离为 1,则双曲线方程为.

答案: 例题精讲: 例 1. -1. 1. D 2. D 3.C 例 2. x2 ? ( y ?1)2 ? 10 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 例 3. 8

9.C

10.C

11.B

12.C

13.D

15

14.A

15.A

16.D 17. C

18、a 2 ? 25, b 2 ? 22、3;

75 ; 19、3 ? k ? 5 且 k ? 4 ;20、 4

2 3 ;21、

4 y 2 x2 ? ? 1; 9 4

23、 y 2 ? x 或 x2 ? ?8 y ;

24、 y 2 ? ?

3 x; 6

25. 426.

x2 3 y 2 ? ?1 4 4

高考链接
x2 y 2 x2 y 2 ? 1 的焦 1(10 北京文)已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 ? a b 25 9

16

点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为。 2(05 北京文)抛物线 y2=4x 的准线方程是;焦点坐标是. 3(07 北京文)椭圆
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交 a 2 b2

点分别为 M ,N ,若 MN ≤ ? F1F2 ,则该椭圆离心率的取值范围是(



? 1? A. ? 0, ? ? 2?

? 2? B. ? ? 0,2 ? ? ?

?1 ? C. ? , 1? ?2 ?

? 2 ? 1? D. ? , ? ? 2 ?

9 x2 y2 ? ? 1 ”是“双曲线的准线方程为 x= ? ” 4(08 北京文) “双黄线的方程为 5 9 16

的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 5(11 北京文)已知双曲线 x 2 ?

(B)必要而不充分条件 (D)即不充分也不必要条件
y2 ? 1 ( b >0)的一条渐近线的方程为 y ? 2 x , b2

则 b =. 7(11 北京文) (本小题共 14 分) 已知椭圆 G :
x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为( 2 2 ,0) ,斜 2 a b 3

率为 I 的直线 l 与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P (-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ?PAB 的面积. 8(本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率 为 ,且点 ?1 , ? 0 在该椭圆上. 2
?

1 2

? ?

3?

(I)求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的左焦点 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,若 ?AOB 的面积 为
6 2 ,求圆心在原点 O 且与直线 l 相 切的圆的方程. 7

答案 1 ( ?4, 0 ) 6

3x ? y ? 0

2

x=-1;(1, 0)

3D

4A

5

2

解(共 14 分)

17

解: (Ⅰ)因为

c 6 ,且 c ? 2 ,所以 a ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ? a 3
x2 ? y2 ? 1 3

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意知 p(0, t )(?1 ? t ? 1)

?y ? t ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?3

得 x ? ? 3(1 ? t 2 )

所以圆 P 的半径为 3(1 ? t 2 ) 解得 t ? ?
3 2

所以点 P 的坐标是(0, ?

3 ) 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆 P 的方程 x2 ? ( y ? t )2 ? 3(1 ? t 2 ) 。因为点 Q( x, y ) 在圆 P 上。 所以 y ? t ? 3(1 ? t 2 ) ? x 2 ? t ? 3(1 ? t 2 )

? 设 t ? cos ? ,? ? (0, ? ) ,则 t ? 3(1 ? t 2 ) ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) 6 1 ? 当 ? ? ,即 t ? ,且 x ? 0 , y 取最大值 2. 2 3
7 解: (Ⅰ)由已知得 c ? 2 2,
c 6 ? . a 3

x2 y 2 ? 1. 解得 a ? 2 3. 又 b ? a ? c ? 4. 所以椭圆 G 的方程为 ? 12 4
2 2 2

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? x ? m.

?y ? x ? m ? 由 ? x2 y2 得 ?1 ? ? ? 12 4

4x 2 ? 6mx ? 3m2 ? 12 ? 0.
设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ), AB 中点为 E ( x0 , y0 ) ,

18

x1 ? x 2 m 3m ?? , y 0 ? x0 ? m ? 4 2 4 因为 AB 是等腰△ PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m 2? 4 ? ?1. 解得 m=2。 所以 PE 的斜率 k ? 3m ?3? 4

则 x0 ?

此时方程①为 4x 2 ? 12x ? 0. 解得 x1 ? ?3, x2 ? 0. 所以 y1 ? ?1, y 2 ? 2. 所以|AB|= 3 2 . 此时,点 P(—3,2)到直线 AB:x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?
1 9 所以△ PAB 的面积 S= | AB | ?d ? . 2 2

| ?3 ? 2 ? 2 | 2

?

3 2 , 2

8

解 (I)设椭圆 C 的方程为
3 4

c 1 x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,由题意可得 e ? ? , a 2 a 2 b2

又 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 b2 ? a2
9 1 ? 3? 因为椭圆 C 经过 ?1 , ? ,代入椭圆方程有 2 ? 4 ? 1 ,解得 a ? 2 3 2 a ? 2? a 4 x2 y 2 所以 c ? 1 , b2 ? 4 ? 1 ? 3 故椭圆 C 的方程为 ? ? 1 . 4 3 3? 3? ? ? (Ⅱ)解法一:当直线 l ? x 轴时,计算得到: A ? ?1 , ? , B ? ?1 , ? , 2? 2? ? ? 1 1 3 S?AOB ? ? | AB | ? | OF1 |? ?1? 3 ? ,不符合题意. 2 2 2 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 1) , k ? 0
? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 , 消去 y , 得3 (4 ? ) k 2x8 ? kx 4? k2 1 ? 0 ? ? ? 1 ? 3 ?4

显然 ? ? 0 成立, 设 A ? x1 , y1 ? ,

B ? x2 , y2 ? ,

则 x1 ? x2 ? ? 又

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

| AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 ? x2
? 1? k2 64k 4 4(4k 2 ? 12) ? (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2

19

即 | AB |? 1 ? k 2 ?
1 2

|k ?0?0? k | |k| 12 k 2 ? 1 12(k 2 ? 1) ? ? 又圆 O 的半径 r ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 1? k 1? k2

所以 S?AOB ? ? | AB | ?r ? ?

6 | k | 1? k2 6 2 1 12(k 2 ? 1) |k| ? ? ? 2 3 ? 4k 2 7 2 3 ? 4k 1? k2

化简,得 17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ,即 (k 2 ? 1)(17k 2 ? 18) ? 0 ,解得 k12 ? 1 , k22 ? ? 所以 r ?
|k| 1? k
2

18 (舍) 17

?

2 1 ,故圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? . 2 2

? x ? ty ? 1 ? ( Ⅱ ) 解 法 二 : 设 直 线 l 的 方 程 为 x ? t y? 1 , 由 ? x 2 y 2 ,消去 x ,得 ?1 ? ? 3 ?4

(4 ? 3t 2 ) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0

因为 ? ? 0 恒成立,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 所以 | y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 ? y2 ?
| ? | 1 y ? 2 y| ? 所 以 S?A O ?B |? 1F O

6t 9 , y1 ? y2 ? ? 2 4 ? 3t 4 ? 3t 2

12 t 2 ? 1 36t 2 36 ? ? 2 2 2 4 ? 3t 2 (4 ? 3t ) 4 ? 3t

1 6t2 ? 1 6 2 ?化 简 得 到 18t 4 ? t 2 ? 17 ? 0 , 即 2 4 ? t23 7 2 2 (18t ? 17)(t ? 1) ? 0 , | 0 ? t ? 0 ? 1| 1 17 ? 解得 t12 ? 1, t22 ? ? (舍)又圆 O 的半径为 r ? 2 18 1? t 1 ? t2

所以 r ?

1 1? t
2

?

2 1 ,故圆 O 的方程为: x2 ? y 2 ? 2 2

20


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