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2019届高考数学人教A版理科第一轮复习题:高考大题专项练二+Word版含解析

1 高考大题专项练二 高考中的三角函数与解三角形 1.(2017 全国Ⅲ,理 17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+ 3cos A=0,a=2 7,b=2. (1)求 c; (2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD⊥AC,求△ABD 的面积. 2 1 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; 2 (2)若△ABC 的面积 S= 4 ,求角 A 的大小. 2 1 3.在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍. sin ; sin (1)求 (2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长. 2 2 2 1 4.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求 C; 3 3 ,求△ABC 的周长. 2 (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 2 1 5.已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a+b= 3c,2sin2C=3sin Asin B. (1)求角 C; (2)若 S△ABC= 3,求 c. 2 1 6.(2017 江苏,16)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),x∈[0,π]. (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 2 1 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos 2C-cos 2A=2sin π + 3 sin π - 3 . (1)求角 A 的值; (2)若 a= 3,且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. 2 1 8.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,c=2,求△ABC 的面积. 答案: 1.解 (1)由已知可得 tanA=- 3,所以 A= 3 . 在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos 3 , 即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=2, π 2π 2π 2 1 1 π · · sin π 6=1. 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为2 1 · 2 又△ABC 的面积为2×4×2sin∠BAC=2 3,所以△ABD 的面积为 3. 2.(1)证明 由正弦定理,得 sinB+sinC=2sinAcosB, 故 2sinAcosB=sinB+sin(A+B) =sinB+sinAcosB+cosAsinB. 于是 sinB=sin(A-B). 又 A,B∈(0,π), 故 0<A-B<π, 所以 B=π-(A-B)或 B=A-B, 因此 A=π(舍去)或 A=2B, 所以 A=2B. 2 1 2 1 (2)解 由 S= 4 ,得2absinC= 4 , 1 故有 sinBsinC=2sin2B=sinBcosB. 由 sinB≠0,得 sinC=cosB. 又 B,C∈(0,π), 所以 C=2±B. 当 B+C=2时,A=2; 当 C-B=2时,A=4. 综上,A= 或 A= . 3.解 (1)S△ABD=2AB· ADsin∠BAD, 1 π 2 π 4 π π π π π 2 1 S△ADC=2AC· ADsin∠CAD. 因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以 AB=2AC. 由正弦定理可得sin = = 2. (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC, 所以 BD= 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC22AD· DCcos∠ADC. 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知 AB=2AC,所以 AC=1. 4.解 (1)由已知及正弦定理,得 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC, 即 2cosCsin(A+B)=sinC. 故 2sinCcosC=sinC. 可得 cosC=2,所以 C=3. 1 3 3 . 2 1 π sin 1 1 (2)由已知,2absinC= 又 C=3,所以 ab=6. π 由已知及余弦定理,得 a2+b2-2abcosC=7. 故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25, 即 a+b=5. 所以△ABC 的周长为 5+ 7. 2 1 5.解 (1)∵2sin2C=3sinAsinB, ∴sin2C=2sinAsinB, ∴c2=2ab. ∵a+b= 3c, ∴a2+b2+2ab=3c2. ∴cosC= 22 -2 2 π 2 +2 -2 2 3 3 = = 2 = , 1 2 ∴C=3. (2)∵C=3, π ∴S△ABC=2absinC= 4 ab= 3. ∴ab=4. 又 c2=2ab, 3 1 3 ∴c= 6. 6.解 (1)因为 a=(cosx,sinx),b=(3,- 3),a∥b, 所以- 3cosx=3sinx. 若 cosx=0,则 sinx=0,与 sin2x+cos2x=1 矛盾,故 cosx≠0. 3 于是 tanx=- 3 . 5π 又 x∈[0,π],所以 x= 6 . (2)f(x)=a· b=(cosx,sinx)· (3,- 3)=3cosx- 3sinx 2 1 =2 3cos + 6 . π π 7π

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