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2012高一数学学案 1.1.3 集合的基本运算(一)


1.1.3

集合的基本运算(一)

学习目标 1.理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自 学阅读能力和自主探究能力. 3.能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 自学导引 1.一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,记作 A∪B(读作“A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 2.由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记作 A∩B,读作 A 交 B,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 3.A∩A=__A__,A∪A=__A__,A∩?=__?__,A∪?=A. 4.若 A?B,则 A∩B=__A__,A∪B=__B__. 5.A∩B?A,A∩B?B,A?A∪B,A∩B?A∪B.

一、求两个集合的交集与并集 例 1 求下列两个集合的并集和交集. (1)A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3}; (2)A={x|x<-2},B={x|x>-5}. 解 (1)如图所示,A∪B={-1,0,1,2,3,4,5}, A∩B={1,2,3}.

(2)结合数轴(如图所示)得: A∪B=R,A∩B={x|-5<x<-2}.

点评 求两个集合的交集依据它们的定义,借用 Venn 图或结合数轴分析两个集合的元 素的分布情况,有利于准确写出交集. 变式迁移 1 (1)设集合 A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},A∪B 等于( )

A.{x|x>-2} B.{x|x>-1} C.{x|-2<x<-1} D.{x|-1<x<2} (2)若将(1)中 A 改为 A={x|x>a},求 A∪B. (1)答案 A 解析 画出数轴,故 A∪B={x|x>-2}.

(2)解

如图所示,

当 a<-2 时,A∪B=A; 当-2≤a<2 时,A∪B={x|x>-2}; 当 a≥2 时,A∪B={x|-2<x<2 或 x>a.}.

二、已知集合的交集、并集求参数问题 例 2 已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若 A∩B={9},求 a 的值. 分析 由题目可获取以下主要信息:①集合 A、B 中均含有参数 a;②9∈A 且 9∈B.解 答此题可由条件知 9∈A,从而有 2a-1=9 或 a2=9,解得 a 后再进行检验. 解 ∵A∩B={9}, ∴9∈A,∴2a-1=9 或 a2=9,∴a=5 或 a=± 3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}. 此时 A∩B={-4,9}≠{9}.故 a=5 舍去. 当 a=3 时,B={-2,-2,9},不符合要求,舍去. 经检验可知 a=-3 符合题意. 点评 处理与集合元素有关问题时,最后结果要检验,一方面看是否符合题意,一方面 看是否符合集合元素的三大特征. 变式迁移 2 本例中, 若将条件“A∩B={9}”变为“9∈A∩B”. a 的值又是什么? 则 解 ∵9∈A∩B 且 9∈B,∴9∈A, ∴2a-1=9 或 a2=9,∴a=5 或 a=± 3. 而当 a=3 时,a-5=1-a=-2,故舍去. ∴a=5 或 a=-3.

三、并集、交集性质的综合应用 例 3 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若 A∩B=B,求 a 的值; (2)若 A∪B=B,求 a 的值. 解 化简集合 A,得 A={-4,0}. (1)由于 A∩B=B,则有 B?A 可知集合 B 或为空集,或只含有根 0 或-4. ①若 B=?,由 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得 a<-1. ②若 0∈B,代入 x2+2(a+1)x+a2-1=0, 得 a2-1=0,即 a=1 或 a=-1, 当 a=1 时,B={x|x2+4x=0}={0,-4}=A,符合题意; 当 a=-1 时,B={x|x2=0}={0}? A,也符合题意. ③若-4∈B,代入 x2+2(a+1)x+a2-1=0, 得 a2-8a+7=0,即 a=7 或 a=1, 当 a=1 时,②中已讨论,符合题意; 当 a=7 时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意. 综合①②③得 a=1 或 a≤-1. (2)因为 A∪B=B,所以 A?B,又 A={-4,0}, 而 B 至少只有两个根,且根据一元二次方程根的特点,

因此应有 A=B.由(1)知,a=1. 点评 明确 A∩B=B 和 A∪B=B 的含义,根据问题的需要,将 A∩B=B 和 A∪B=B 转化为等价的关系式 B?A 和 A?B 是解决本题的关键.另外在 B?A 时易忽视 B=?时的情 况. 变式迁移 3 已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|2m-1≤x≤2m+1},若 A∪B=A,求 实数 m 的取值范围. 解 ∵A∪B=A,∴B?A, ?2m-1≥-2 ? 1 ∴? ,∴- ≤m≤2. 2 ? ?2m+1≤5

1. A∪B 的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别, 它们是“相 容”的.求 A∪B 时,相同的元素在集合中只出现一次. 2.A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B,这两个性质非常重要,另外,在解决有条件 A ?B 的集合问题时,不要忽视 A=?的情况

. 一、选择题

1.设集合 A={x|-5≤x<1},B={x|x≤2},则 A∩B 等于( ) A.{x|-5≤x<1} B.{x|-5≤x≤2} C.{x|x<1} D.{x|x≤2} 答案 A 2.下列四个推理: ①a∈(A∪B)?a∈A; ②a∈(A∩B)?a∈(A∪B);③A?B?A∪B=B; ④A∪B=A?A∩B=B.其中正确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 C 解析 ②③④正确. 3.设 A={x|1≤x≤3},B={x|x<0 或 x≥2},则 A∪B 等于( ) A.{x|x<0 或 x≥1} B.{x|x<0 或 x≥3} C.{x|x<0 或 x≥2} D.{x|2≤x≤3} 答案 A 解析 结合数轴知 A∪B={x|x<0 或 x≥1}. 4. 已知 A={x|x≤-1 或 x≥3}, B={x|a<x<4}, A∪B=R, 若 则实数 a 的取值范围是( ) A.3≤a<4 B.-1<a<4 C.a≤-1 D.a<-1 答案 C 解析 结合数轴知答案 C 正确. 5.满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 由已知得 M={2,3}或{1,2,3},共 2 个. 二、填空题 6.设集合 A={x|-1<x<3},集合 B={x|1≤x<4},则 A∪B=__________,A∩B= __________. 答案 {x|-1<x<4} {x|1≤x<3}

7. 设集合 A={x|-1≤x<2}, B={x|x≤a}, A∩B≠?, 若 则实数 a 的取值范围为________. 答案 a≥-1 解析 由 A∩B≠?,借助于数轴知 a≥-1. 8.已知集合 A={x|x<1 或 x>5},B={x|a≤x≤b},且 A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6}, 则 2a-b=________. 答案 -4 解析 如图所示, 可知 a=1,b=6,2a-b=-4. 三、解答题 9.已知集合 A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若 A∪B={1,2,3,5},求 x 及 A∩B. 解 ∵B?(A∪B),∴x2-1∈A∪B. ∴x2-1=3 或 x2-1=5.解得 x=± 或 x=± 6. 2 若 x2-1=3,则 A∩B={1,3}. 若 x2-1=5,则 A∩B={1,5}. 10.设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若 A∪B=A,求实数 a 的取 值范围. 解 A={1,2},∵A∪B=A, ∴B?A,集合 B 有两种情况,B=?或 B≠?. (1)B=?时,方程 x2-4x+a=0 无实数根, ∴Δ=16-4a<0,∴a>4. (2)B≠?时,当 Δ=0 时,a=4,B={2}?A 满足条件; 当 Δ>0 时,若 1,2 是方程 x2-4x+a=0 的根, 由根与系数的关系知矛盾,无解,∴a=4. 综上,a 的取值范围是 a≥4.


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