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【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题1 集合与常用逻辑用语、函数与导数(第3讲)课时作业 新人教A版


【走向高考】 2015 届高中数学二轮复习 专题 1 集合与常用逻辑用语、 函数与导数(第 3 讲)课时作业 新人教 A 版

一、选择题
? 2x,x≥0 ?a· 1.(2014· 江西文,4)已知函数 f(x)=? (a∈R),若 f[f(-1)]=1,则 a=( ?2-x,x<0 ?

)

1 1 A.4 B.2 C.1 D.2 [答案] A [解析] ∵f(-1)=2-(-1)=2, 1 ∴f(f(-1))=f(2)=4a=1,∴a=4. 2.(文)(2013· 江西八校联考)已知实数 a、b,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 由 y=2x 为增函数知, 2a>2b?a>b; 由 y=log2x 在(0, +∞)上为增函数知, log2a>log2b ?a>b>0,∴a>b?/ a>b>0,但 a>b>0?a>b,故选 B. (理)(2014· 陕西文,7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) A.f(x)=x3 B.f(x)=3x 1 C.f(x)=x2 1 D.f(x)=(2)x

[答案] B [解析] 本题考查了基本初等函数概念及幂的运算性质. 只有 B 选项中 3x+y=3x· 3y 成立且 f(x)=3x 是增函数. 1 3.(2014· 哈三中二模)幂函数 f(x)的图象经过点(-2,-8),则满足 f(x)=27 的 x 的值是( 1 1 A.2 B.3 1 1 C.4 D.5 [答案] B 1 [解析] 设 f(x)=xα,则-8=(-2)α,∴α=-3, 1 ∴f(x)=x-3,由 f(x)=27 得,x-3=27,∴x=3. 4.(文)(2013· 霍邱二中模拟)设 a=log954,b=log953,c=log545,则( )
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)

A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c [答案] D [解析] ∵y=log9x 为增函数, ∴log954>log953, ∴a>b, 又 c=log545=1+log59>2, a=log954 =1+log96<2,∴c>a>b,故选 D. (理)(2013· 新课标Ⅱ文,12)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) [答案] D 1 [解析] 由题意得,a>x-(2)x (x>0), 1 令 f(x)=x-(2)x,则 f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)>f(0)=-1,∴a>-1,故选 D. 5.(2013· 重庆一中月考)下列函数图象中不正确的是( )

[答案] D [解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知 A、B 正确,又 C 是 B 中函数图象位于 x 轴下 方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,故 C 正确.
? ? x>0? ?log2x ∵y=log2|x|=? 是偶函数,其图象关于 y 轴对称,故 D 错误. ?log2?-x? ? x<0? ?

1 6.(2013· 南开中学月考)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f(3)=0,则不等 1 式 f(log8x)>0 的解集是( 1 A.(0,2) B.(2,+∞) )

1 1 C.(0,2)∪(2,+∞) D.(2,1)∪(2,+∞) [答案] C [解析] 解法 1:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数,

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1 1 又 f(3)=0,∴f(-3)=0, 1 1 由 f(log1 x)>0 得,log1 x>3或log1 x<-3, 8 8 8 1 ∴0<x<2或 x>2,故选 C. 解法 2:∵f(x)为偶函数,∴f(log1 x)>0 化为 f(|llog1 x|)>0, 8 8 1 1 1 1 1 ∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(3)=0,∴|log1 x|>3,∴|log8x|>3,∴log8x>3或 log8x<-3, 8 1 ∴x>2 或 0<x<2. 二、填空题
? ?|x|-1,x≤1, 7.(文)设函数 f(x)=? 若 f(x)=1,则 x=________. ?2-2x,x>1, ?

[答案] -2 [解析] 当 x≤1 时,由|x|-1=1,得 x=±2,故可得 x=-2;当 x>1 时,由 2-2x=1,得 x= 0,不适合题意.故 x=-2.

(理)(2013· 大兴区模拟)已知函数 f(x)= 取值范围是________. [答案] (-1,1]

在区间[-1,m]上的最大值是 1,则 m 的

1 [解析] ∵f(x)=2-x-1=(2)x-1 在[-1,0]上为减函数,∴在[-1,0]上 f(x)的最大值为 f(-1) 1 =1,又 f(x)=x2 在[0,m]上为增函数,∴在[0,m]上 f(x)的最大值为 m,∵f(x)在区间[-1, m]上的最大值为 1, ∴?

?m>0, 或-1<m≤0,∴-1<m≤1. ? m≤1,

1 1 8.已知 x+x-1=3,则 x2-x-2=________. [答案] ±1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 [解析] (x2 -x 2 )2=(x2 )2-2x2 · x 2 +(x 2 )2=x+x-1-2=3-2=1,∴x2 -x 2 =±1. 1 1 9.计算(lg4-lg25)÷100-2=________. [答案] -20 1 [解析] 原式=lg0.01÷100-2

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=-2×10=-20.
?log3? + x 1?,? x>0? , ? 10.已知函数 f(x)=? 若 f(m)>1,则 m 的取值范围是________. ? ? x≤0? . ?3-x,

[答案] (-∞,0)∪(2,+∞) [解析] 当 m>0 时,由 f(m)>1 得,log3(m+1)>1, ∴m+1>3,∴m>2; 当 m≤0 时,由 f(m)>1 得,3-m>1. ∴-m>0,∴m<0. 综上知 m<0 或 m>2.

一、选择题 11.(2013· 天津和平区质检)已知函数 f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x3+x-2 的零点分别为 x1、x2、x3,则( ) A.x3<x1<x2 B.x1<x3<x2 C.x2<x3<x1 D.x1<x2<x3 [答案] D [解析] x1=-2x1<0,若 x>1,则 g(x)=x+lnx>1,∴0<x2<1,x3=1,∴x1<x2<x3. 12.(文)(2013· 榆林一中模拟)命题 p:函数 f(x)=ax-2(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(0,-2);命题 q:函数 f(x)=lg|x|(x≠0)有两个零点. 则下列说法正确的是( ) A.“p 或 q”是真命题 B.“p 且 q”是真命题 C.?p 为假命题 D.?q 为真命题 [答案] A [解析] ∵f(0)=a0-2=-1,∴p 为假命题;令 lg|x|=0 得,|x|=1,∴x=±1,故 q 为真命 题,∴p∨q 为真,p∧q 为假,?p 为真,?q 为假,故选 A. 1 ? ?ax+2,x≤0 (理)(2013· 德阳市二诊)已知函数 f(x)=? (其中 a∈R),函数 g(x)=f[f(x)]+1.下列关 ? log2x , x>0 ? 于函数 g(x)的零点个数的判断,正确的是( ) A.当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 2 个零点,当 a=0 时,有无数个零点 B.当 a>0 时,有 4 个零点;当 a<0 时,有 3 个零点,当 a=0 时,有 2 个零点 C.当 a>0 时,有 2 个零点;当 a≤0 时,有 1 个零点 D.当 a≠0 时,有 2 个零点;当 a=0 时,有 1 个零点 [答案] A 1 3 1 1 3 [解析] 取 a=1,令 x+2=-1 得 x=-2,令 log2x=-1 得,x=2.令 x+2=-2得 x=-2, 3 3 1 1 1 令 log2x=-2得 x=2-2,令 log2x=2得 x= 2,令 x+2=2得 x=0,由此可排除 C、D;令 a 1 ? ?2 ? x≤0? , 1 1 1 =0, 得 f(x)=? 由 log2x=-1 得 x=2, 由 f(x)=2知, 对任意 x≤0, 有 f(x)=2, ? ?log2x ? x>0? .
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故 a=0 时,g(x)有无数个零点. 13.(文)(2013· 天津市六校联考)设 a=30.5,b=log32,c=cos2,则( A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a [答案] A [解析] a=30.5>1,b=log32∈(0,1),c=cos2<0, ∴c<b<a,故选 A.

)

32 23 24 (理)(2013· 天津南开中学月考)设 a=(4)3,b=(3)4,c=log33,则 a、b、c 的大小关系是( A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a [答案] B 2 3 2 [解析] ∵y=x3在(0,+∞)上为增函数,4>3, 32 22 2 3 2 23 22 ∴(4)3>(3)3.又 y=(3)x 在 R 上为减函数,4>3,∴0<(3)4<(3)3,∴a>b>0, 2 又 y=log3x 在(0,+∞)上为减函数, 4 ∴log2 3<log2 1=0,∴a>b>c. 3 3

)

14. (2014· 衡水中学模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 若对于任意给定的不等实数 x1、 x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) [答案] C [解析] 由条件式得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0, ∴x1<x2 时,f(x1)>f(x2),x1>x2 时,f(x1)<f(x2), ∴f(x)为减函数,又 f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)=0,∴不等式 f(1-x)<0 化为 f(1-x)<f(0),∴1 -x>0,∴x<1,故选 C. π π 1 15. (2014· 中原名校第二次联考)函数 y=f(x+2)为定义在 R 上的偶函数, 且当 x≥2时, f(x)=(2)x +sinx,则下列选项正确的是( ) A.f(3)<f(1)<f(2) B.f(2)<f(1)<f(3) C.f(2)<f(3)<f(1) D.f(3)<f(2)<f(1) [答案] A π [解析] 由条件知 f(x)的图象关于直线 x=2对称, π 3π 1 π 3π ∴f(1)=f(π-1),当2≤x≤ 2 时,f′(x)=-(2)x· ln2+cosx<0,∴f(x)在[2, 2 ]上单调递减, π 3π ∵2<2<π-1<3< 2 ,∴f(2)>f(π-1)>f(3), ∴f(2)>f(1)>f(3),故选 A. 16.(2013· 新课标Ⅱ文,11)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c ,下列结论中错误的是( )
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A.?x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f ′(x0)=0 [答案] C [解析] 本题考查函数的图象与性质及导数的应用. 由题意得,f′(x)=3x2+2ax+b,该函数图象开口向上,若 x0 为极小值点,如图,f′(x)的图象应 为:

故 f(x)在区间(-∞,x0)不单调递减,C 错,故选 C. 二、填空题
?2x-1,x>0, ? 17.(2013· 吉林省吉大附中模拟)已知函数 f(x)=? 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 ?-x2-2x,x≤0, ?

个零点,则实数 m 的取值范围是________. [答案] (0,1) [解析] 函数 f(x)的图象如图所示:

当 0<m<1 时,直线 y=m 与函数 f(x)的图象有三个交点. 三、解答题 1 18.(文)已知函数 f(x)=x +alnx(a≠0,a∈R). (1)若 a=1,求实数 f(x)的极值和单调区间; (2)若 a<0 且在区间(0,e]上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值范围. 1 a ax-1 [解析] (1)因为 f ′(x)=-x2+x= x2 , x-1 当 a=1 时,f ′(x)= x2 ,令 f ′(x)=0, 得 x=1,又 f(x)的定义域为(0,+∞). f ′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表: x (0,1) f ′(x) f(x) - ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

所以 x=1 时,f(x)的极小值为 1. f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). 1 a ax-1 1 (2)因为 f ′(x)=-x2+x= x2 ,且 a≠0,令 f ′(x)=0,得 x=a,若在区间(0,e]上至少存在一 点 x0,使得 f(x0)<0 成立,其充要条件是 f(x)在区间(0,e]上的最小值小于 0.
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1 因为 a<0,所以 x=a<0,f ′(x)<0 对 x∈(0,+∞)成立, 所以 f(x)在区间(0,e]上单调递减, 1 1 故 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 f(e)=e+alne=e+a, 1 1 1 由e+a<0,得 a<-e,即 a∈(-∞,-e). (理)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a、b 满足 a·b≠0. (1)若 a· b>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 a· b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. [解析] (1)设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(a· 2x1+b· 3x1)-(a· 2x2+b· 3x2)=a· (2x1-2x2)+b· (3x1- 3x2), 由 x1<x2 得,2x1-2x2<0,3x1-3x2<0,因为 a· b>0, 当 a>0,b>0 时,f(x1)-f(x2)<0,f(x)为增函数; 当 a<0,b<0 时,f(x1)-f(x2)>0,f(x)为减函数. (2)由 f(x+1)>f(x)得,a· 2x+1+b· 3x+1>a· 2x+b· 3x,即 a· 2x>-2b· 3x, 因为 a· b<0,所以 a、b 异号. a 3 a 当 a>0,b<0 时,-2b>(2)x,得 x<log3 (-2b); 2 a 3 a 当 a<0,b>0 时,-2b<(2)x,得 x>log3 (-2b). 2

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