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高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案

学生教案

数列求通项公式的方法

一、叠加法 1.适用于: an+1 = an + f (n ) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基
本的两个方法之一。 2.若 an?1 ? an ? f (n) (n ? 2) ,
a2 ? a1 ? f (1) 则 a3 ? a2 ? f (2)

an?1 ? an ? f (n)
n
? 两边分别相加得 an?1 ? a1 ? f (k) k ?1

例 1 已知数列{an} 满足 an?1 ? an ? 2n ?1,a1 ? 1 ,求数列{an} 的通项公式。

解:由 an?1 ? an ? 2n ?1得 an?1 ? an ? 2n ?1 则
an ? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1) ? a1 ? [2(n ?1) ?1] ? [2(n ? 2) ?1] ? ? (2? 2 ?1) ? (2?1?1) ?1 ? 2[(n ?1) ? (n ? 2) ? ? 2 ?1] ? (n ?1) ?1 ? 2 (n ?1)n ? (n ?1) ?1 2 ? (n ?1)(n ?1) ?1 ? n2
所以数列{an} 的通项公式为 an ? n2 。

例 2.已知数列{an} 中,

an

?

0 且 Sn

?

1 2 (an

?

n an

) ,求数列{an} 的通项公式.

Sn 解:由已知

?

1 2

(a

n

?

n an

) Sn 得

?

1 2 (Sn

?

S n?1

?

Sn

n )
? Sn?1 ,

化简有

S

2 n

?

S2 n?1

?

n

,由类型(1)有

S

2 n

?

S12

? 2 ? 3???

n

,

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又 S1

?

a1 得 a1

?

1

,所以

S

2 n

?

n(n ? 1) 2

,又 an

?

0 , sn

?

2n(n ?1) 2,

2n(n ? 1) ? 2n(n ?1)

则 an ?

2

练习 1,已知数列?an? 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n? N*) 写出数列?an? 的通项

公式.

答案: n2 ? n ? 1

练习

2.已知数列{an} 满足 a1

?

3 ,an

?

an?1

?

1 n(n ?1)

(n

?

2) ,求此数列的通项公

式.

答案:裂项求和

an

?

4?

1 n

练习 3.

已知数列?an ?满足

a1

?

1 2



an?1

?

an

?

1 n2 ?

n

,求

an



解:由条件知: an?1

?

an

?

1 n2 ?

n

?

1 n(n ?1)

?

1 n

?

1 n ?1

分别令 n ? 1,2,3,??????,(n ?1) ,代入上式得 (n ?1) 个等式累加之,即

(a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ?????? ?(an ? an?1)

? (1? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ?????? ?( 1 ? 1)

2 23 34

n ?1 n

所以

an

?

a1

?1?

1 n

? a1

?

1 2

,? an

?

1 2

?1?

1 n

?

3 2

?

1 n

评注:已知 a1 ? a , an?1 ? an ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次 函数、指数函数、分式函数,求通项 an .
①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
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②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。

二、叠乘法

1.适用于: an?1 ? f (n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2.若 an?1 ? f (n) ,则 a2 ? f (1),a3 ? f (2), ,an?1 ? f (n)

an

a1

a2

an

? 两边分别相乘得, an?1
a1

? a1 ?

n k ?1

f (k)

例 3.

已知数列?an ?满足 a1 ?

2 3



an?1

?

n n ?1an

,求

an



解:由条件知 an?1 ? n ,分别令 n ? 1,2,3,??????,(n ?1) ,代入上式得 (n ?1) an n ?1

个等式累乘之,即

a2 ? a3 ? a4 ? ??????? an ? 1 ? 2 ? 3 ???????? n ?1 ? an ? 1

a1 a2 a3

an?1 2 3 4

n

a1 n

又? a1

?

2 3

,? an

?

2 3n

练习 1.已知数列{an} 满足 an?1 ? 2(n ?1)5n ? an,a1 ? 3,求数列{an} 的通项公式。

解:因为 an?1

?

2(n ?1)5n

? an,a1

?

3,所以 an

?

0

,则

an?1 an

?

2(n ?1)5n ,故

an

?

an an?1

?

an?1 an?2

?

?

a3 a2

?

a2 a1

? a1

? [2(n ?1?1)5n?1][2(n ? 2 ?1)5n?2 ]?

?[2(2 ?1) ?52 ][2(1?1) ?51]?3

? 2n?1[n(n ?1) ? ? 3? 2]? 5(n?1)?(n?2)? ?2?1 ? 3

n ( n ?1)
? 3? 2n?1 ? 5 2 ? n!

n ( n ?1)
所以数列{an} 的通项公式为 an ? 3? 2n?1 ? 5 2 ? n!.

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练习

2.设?an ?是首项为

1

的正项数列,且 ?n

? ?

1

a

2 n ?1

?

nan2

?

a n ?1 a n

?

0( n =1,2,

3,…),则它的通项公式是 an =________.
解:已知等式可化为: (an?1 ? an )?(n ? 1)an?1 ? nan ? ? 0

? an ? 0 ( n ? N * )? (n+1) an?1 ? nan ? 0 ,

an?1 ? n 即 an n ?1

an ? n ?1 ? n ? 2 时, an?1 n

?

an

?

an a n ?1

?

a n ?1 an?2

???

a2 a1

? a1 n ? 1 ? =n

n ? 2 ??1 n ?1 2

?1 =

1 n

.

评注:本题是关于 an 和 an?1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求

根公式)得到 an 与 an?1的更为明显的关系式,从而求出 an .

练习.已知 an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1,求数列{an}的通项公式. 答案: an ? (n ? 1)!?(a1 ? 1) -1.

评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 an?1 ? nan ? n ?1, 转化为 an?1 ? 1 ? n(an ? 1), 若令 bn ? an ? 1 ,则问题进一步转化为 bn?1 ? nbn 形式,进而应 用累乘法求出数列的通项公式.

三、待定系数法 适用于 an?1 ? qan ? f (n) 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是 自然数集的一个函数。 1.形如 an?1 ? can ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型 (1)若 c=1 时,数列{ an }为等差数列; (2)若 d=0 时,数列{ an }为等比数列;
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(3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ an }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构 造辅助数列来求.

待定系数法:设 an?1 ? ? ? c(an ? ?) , 得 an?1 ? can ? (c ? 1)? ,与题设 an?1 ? can ? d , 比较系数得

(c

? 1)?

?

d

? ,所以

?

d , (c c ?1

?

0) 所以有: an

?

d c ?1

?

c(an?1

?

d) c ?1

因此数列

??a ?

n

?

c

d? ? 1?? 构成以 a1

?

d c ? 1 为首项,以

c

为公比的等比数列,

所以

an

?

d c ?1

?

(a1

?

d ) ? c n?1 c ?1

即: an

?

(a1

?

d ) ? c n?1 c ?1

?

d c ?1.

d

d

规律:将递推关系 an?1

?

ca n

?

d

化为 an?1

?

c

?1

?

c(an

?

c

) ?1

,构造成公比为

c

的等比数列{an

?

d

c

?

} 1

从而求得通项公式

a n ?1

?d 1?

c

?

c n?1 (a1

?

d) c ?1

例 4.已知数列{an} 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ?1(n ? 2) ,求数列?an? 的通项公式。
解: an ? 2an?1 ?1(n ? 2), ? an ?1 ? 2(an?1 ?1)
又 a1 ?1 ? 2,??an ?1?是首项为 2,公比为 2 的等比数列
?an ?1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1 四.逐项相减法(逐差法 1):有时我们从递推关系 an?1 ? can ? d 中把 n 换成 n-1 有 an ? can?1 ? d ,两式相减有 an?1 ? an ? c(an ? an?1 ) 从而化为公比为 c 的等比数 列{an?1 ? an} ,进而求得通项公式. an?1 ? an ? cn (a2 ? a1) ,再利用类型(1)即可求 得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

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例 5 已知数列{an} 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ?1(n ? 2) ,求数列?an? 的通项公式。
解: an ? 2an?1 ?1(n ? 2), ? an?1 ? 2an ?1
两式相减得 an?1 ? an ? 2(an ? an?1)(n ? 2) ,故数列?an?1 ? an?是首项为 2,公比为 2
的等比数列,再用累加法的…… 11
练习.已知数列{an } 中, a1 ? 2, an?1 ? 2 an ? 2 , 求通项 an 。

答案: an

?

( 1 ) n?1 2

?1

2.形如: an?1? p ? an ? qn

(其中 q 是常数,且 n ? 0,1)

①若 p=1 时,即: an?1? an ? qn ,累加即可.

②若 p ? 1 时,即: an?1? p ? an ? qn ,

求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p n?1 .目的是把所求数列构造成等差 数列

即:

an?1 p n?1

? an qn

?

1 p

?

(

p q

)

n

,令

bn

?

an pn

bn?1 ,则

? bn

?

1 p

?( p)n q ,然后类型

1,累

加求通项.

ii.两边同除以 qn?1 . 目的是把所求数列构造成等差数列。

即:

an?1 ? p ? an ? 1 q n?1 q q n q ,

bn 令

?

an qn

bn?1 ,则可化为

?

p q

? bn

?

1 q

.然后转化为类型

5

来解,

iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列

设 a n?1?? ? q n?1 ? p(an ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项.

注意:应用待定系数法时,要求 p ? q,否则待定系数法会失效。

例 6 已知数列{an} 满足 an?1 ? 2an ? 4 ? 3n?1,a1 ? 1,求数列?an? 的通项公式。

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解法一(待定系数法):设 an?1 ? ?13n ? ?2 (an ? ? ? 3n?1),比较系数得 ?1 ? ?4, ?2 ? 2 ,
? ? 则数列 an ? 4?3n?1 是首项为 a1 ? 4?31?1 ? ?5 ,公比为 2 的等比数列,
所以 an ? 4?3n?1 ? ?5? 2n?1 ,即 an ? 4?3n?1 ? 5? 2n?1

解法二(两边同除以 qn?1 ):

an?1 两边同时除以 3n?1 得: 3n?1

? 2 ? an 3 3n

?4 32

,下面解法



解法三(两边同除以

p n?1 ):

an?1 两边同时除以 2n?1 得: 2n?1

?

an 2n

?

4 ?(3)n 3 2 ,下面解

法略

练习.

已知数列?an ?中,

a1

?

5 6

,

an?1

?

1 3

an

?

( 1 )n?1 2

,求

an



解:在 an?1

?

1 3 an

? ( 1 )n?1 两边乘以 2n?1 得: 2n?1 2

? an?1

?

2 3

(2n

? an )

?1

令 bn

?

2n

? an ,则 bn?1

?

2 3

bn

? 1 ,应用例

7

解法得: bn

?

3 ? 2( 2)n 3

所以 an

?

bn 2n

? 3(1)n 2

? 2(1)n 3

3.形如 a n?1? pan ? kn ? b

(其中 k,b 是常数,且 k ? 0 )

方法 1:逐项相减法(逐差法)

方法 2:待定系数法

通过凑配可转化为 (an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ?1) ? y) ; 解题基本步骤:

1、确定 f (n) =kn+b

2、设等比数列 bn ? (an ? xn ? y) ,公比为 p

3、列出关系式 (an ? xn ? y) ? p(an?1 ? x(n ?1) ? y) ,即 bn ? pbn?1 4、比较系数求 x,y

5、解得数列 (an ? xn ? y) 的通项公式
6、解得数列?an? 的通项公式

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例 7 在数列{an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n, 求通项 an .(逐项相减法)

解:? , an?1 ? 3an ? 2n,



? n ? 2 时, an ? 3an?1 ? 2(n ?1) ,

两式相减得 an?1 ? an ? 3(an ? an?1 ) ? 2 .令 bn ? an?1 ? an ,则 bn ? 3bn?1 ? 2

利用类型 5 的方法知 bn ? 5 ? 3n?1 ? 2 即 an?1 ? an ? 5 ? 3n?1 ?1



再由累加法可得 an

?

5 2

? 3n?1

?

n

?

1 2

.

亦可联立 ① ②解出

an

?

5 2

? 3n?1

?

n

?

1 2

.

3 练习. 在数列{ an} 中, a1 ? 2 ,2an ? an?1 ? 6n ? 3 ,求通项 an .(待定系数法)

解:原递推式可化为 2(an ? xn ? y) ? an?1 ? x(n ? 1) ? ? y

比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 2bn ? bn?1

所以?bn ?是一个等比数列,首项 b1

?

a1

?

6n

?

9

?

9 2

,公比为

1 2

.

?bn

?

9 ( 1 ) n?1 22

即: an

?

6n

?

9

?

9 ? (1)n 2

故 an

?

9 ? (1)n 2

?

6n

?

9 .

5.形如 an?2 ? pan?1 ? qan 时将 an 作为 f (n) 求解 分析:原递推式可化为 an?2 ? ?an?1 ? ( p ? ?)(an?1 ? ?an ) 的形式,比较系数可求
得 ? ,数列?an?1 ? ?an? 为等比数列。
例 8 已知数列{an} 满足 an?2 ? 5an?1 ? 6an , a1 ? ?1, a2 ? 2 ,求数列{an} 的通项公式。 解:设 an?2 ? ?an?1 ? (5 ? ?)(an?1 ? ?an )
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比较系数得 ? ? ?3或 ? ? ?2 ,不妨取 ? ? ?2 ,(取-3 结果形式可能不同,但本质 相同)
则 an?2 ? 2an?1 ? 3(an?1 ? 2an ) ? ,则 an?1 ? 2an? 是首项为 4,公比为 3 的等比数列
?an?1 ? 2an ? 4?3n?1,所以 an ? 4?3n?1 ? 5? 2n?1 练习 1.数列{ an} 中,若 a1 ? 8, a2 ? 2 ,且满足 an?2 ? 4an?1 ? 3an ? 0 ,求 an . 答案: an ?11? 3n .

练习

2.已知数列 {an }的各项都是正数

, 且满足

:

a0

? 1, an?1

?

1 2

an (4

?

an ),n? N



求数列{an} 的通项公式 an.

解: an?1

?

1 2

an (4

?

an )

?

1 2

[?(an

?

2) 2

?

4],

所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2)2

令bn

? an

? 2, 则bn

?

?

1 2

bn2?1

?

?

1 2

(?

1 2

bn2?2

)

2

?

?

1 2

?

(

1 2

)

2

b 22 n?1

?

?

?

?( 1 )1?2???2n?1 2

b 2n n



bn=-1,所以 bn

?

?(

1 2

)

2n

?1

,即an

?

2 ? bn

?

2 ? ( 1 )2n ?1 2.

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3:设 c n ? ?bn ,则

c

n

?

1 2

c

2 n ?1

,转化为上面类型(1)来解

五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项

例9

已知数列{an} 满足

an?1

?

2an an ? 2

,

a1

? 1 ,求数列{an} 的通项公式。

解:求倒数得

1 an?1

?

1? 2

1 an

,? 1 an?1

?

1 an

?

1 2

,?

? ? ?

1 an?1

?

1 an

? ?

为等差数列,首项

?

1 a1

?1,

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公差为 1 2

,? 1 an

?

1 2 (n ?1),? an

?

2 n ?1

六、对数变换法 适用于 an?1 ? panr (其中 p,r 为常数)型 p>0, an ? 0

例 10. 设正项数列?an ?满足 a1 ? 1 , an ? 2an2?1 (n≥2).求数列 ?an ?的通项公

式.

解:两边取对数得:log

an 2

?

1

?

2 loga2n?1

,log

an 2

?

1

?

2(log

an?1 2

?

1)

,设

bn

? olg

an 2

?

1



则 bn ? 2bn?1

?bn ?是以

2

为公比的等比数列, b1

?

log

1 2

?

1

?

1

bn ? 1? 2n?1 ? 2n?1, loga2n ? 1 ? 2n?1 , loga2n ? 2n?1 ? 1 ,∴ an ? 22n?1?1

练习 数列?an ?中, a1 ? 1 , an ? 2 an?1 (n≥2),求数列?an ?的通项公式.

答案: an ? 22?22?n

例 11 已知数列{an} 满足 an?1 ? 2?3n ?an5 , a1 ? 7 ,求数列{an} 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an5,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。

两边取常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg 3 ? lg 2

设 lg an?1 ? x(n ?1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y) (同类型四)

比较系数得, x ? lg 3 , y ? lg 3 ? lg 2

4

16 4



lg

a1

?

lg 3 4

?1?

lg 3 16

?

lg 2 4

?

lg

7

?

lg 3 4

?1?

lg 3 16

?

lg 2 4

?

0

,得

lg

an

?

lg 3 4

n

?

lg 3 16

?

lg 2 4

?

0



所以数列{lg

an

?

lg 3 4

n

?

lg 3 16

?

lg 2}是以 4

lg

7

?

lg 3 4

?

lg 3 16

?

lg 2 4

为首项,以

5

为公比

的等比数列,则

lg

an

?

lg 3 4

n

?

lg 3 16

?

lg 2 4

?

(lg

7

?

lg 3 4

?

lg 3 16

?

lg 2)5n?1 4

,因此

第 10 页 共 19 页

lg

an

?

(lg 7

?

lg 3 4

?

lg 3 16

?

lg 2)5n?1 4

?

lg 3 4

n

?

lg 3 6

?

lg 2 4

11 1

n1 1

? [lg(7 ? 34 ? 316 ? 24 )]5n?1 ? lg(34 ?316 ? 24 )

11 1

n1 1

? lg(7 ? 34 ? 316 ? 24 )5n?1 ? lg(34 ? 316 ? 24 )

5n?4n?1 5n?1 ?1
? lg(75n?1 ? 3 16 ? 2 4 )

5n?4n?1

5n?1 ?1

则 an ? 75n?1 ? 3 16 ? 2 4 。

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七、换元法 适用于含根式的递推关系

例 12

已知数列{an} 满足

an?1

?

1 16

(1?

4an

?

1? 24an ),a1 ? 1 ,求数列{an} 的通项

公式。

解:令 bn ?

1? 24an

,则 an

?

1 24

(bn2

? 1)

代入

an?1

?

1 16

(1?

4an

?

1? 24an ) 得

1 24

(bn2?1

?1)

?

1 16

[1?

4

1 24

(bn2

?1)

?

bn

]

即 4bn2?1 ? (bn ? 3)2

因为 bn ? 1? 24an ? 0 ,



2bn?1

?

bn

?

3

,即

bn?1

?

1 2

bn

?

3 2



可化为

bn?1

?

3

?

1 2

(bn

?

3)



所以{bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ?

1? 24a1 ? 3 ?

1? 24?1 ? 3 ? 2 为首项,以 1 为公比的等
2

比数列,因此

bn

?

3

?

2( 1)n?1 2

?

( 1 )n?2 2

,则

bn

? (1) n?2 ?3 2

,即

1?24 an ?(

)1 2

n?2?3





an

?

2 3

(1)n 4

? (1)n 2

?

1 3



八、逐差法 2(逐项相减法)

1、递推公式中既有 Sn ,又有 an

分析:把已知关系通过 an

?

???SS1n,?n

?1 Sn?1

,

n

?

2 转化为数列?an? 或

Sn 的递推关系,然

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学生教案

后采用相应的方法求解。

例 13

已知数列{an} 的各项均为正数,且前

n

项和

Sn

满足

Sn

?

1 6

(an

? 1)(an

?

2)



且 a2 , a4 , a9 成等比数列,求数列{an} 的通项公式。

解:∵对任意

n?

N?



Sn

?

1 6

(an

? 1)(an

?

2)



∴当

n=1

时,

S1

?

a1

?

1 6

(a1

? 1)(a1

?

2)

,解得

a1

?

1或

a1

?

2



n≥2

时,

Sn?1

?

1 6

(an?1

? 1)(an?1

?

2)



⑴-⑵整理得: (an ? an?1)(an ? an?1 ? 3) ? 0

∵{an} 各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 3

当 a1 ? 1 时, an ? 3n ? 2 ,此时 a42 ? a2a9 成立

当 a1 ? 2 时, an ? 3n ?1 ,此时 a42 ? a2a9 不成立,故 a1 ? 2 舍去

所以 an ? 3n ? 2

练习。已知数列{an} 中,

an

?

0且 Sn

?

1 2

(an

? 1)2 ,求数列{an} 的通项公式.

答案: Sn ? Sn?1 ? an

(an ?1)2 ? (an?1 ?1)2

an ? 2n ?1

2、对无穷递推数列

例 14 已知数列{an} 满足 a1 ? 1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? (n ?1)an?1(n ? 2) ,求{an} 的通项公式。

解:因为 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? (n ?1)an?1(n ? 2)



所以 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? (n ?1)an?1 ? nan



用②式-①式得 an?1 ? an ? nan.

则 an?1 ? (n ?1)an (n ? 2)

故 an?1 ? n ?1(n ? 2) an

所以 an

?

an an?1

?

an?1 an?2

?

?

a3 a2

?

a2

?

[n(n

?1) ?

? 4? 3]a2

?

n! 2 a2.



由 an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? (n ?1)an?1(n ? 2) ,取n ? 2得a2 ? a1 ? 2a2 ,则 a2 ? a1 ,又

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知 a1 ? 1,则 a2 ? 1,代入③得 an ? 1?3? 4 ?5?

所以,{an} 的通项公式为 an

?

n!. 2

?n ? n! 。 2

数列的通项公式与求和

学生教案

练习 1

数列{an}的前n项为Sn

, 且a1

?

1,an?1

?

1 3

Sn

(n

?

1,

2, 3,

)

(1)求a2, a3, a4的值及数列{an}的通项公式.

(2)求a2 ? a4 ? ? a2n

练习 2

数列{an}的前n项和记为Sn ,已知a1

? 1,an?1

?

n

? n

2

Sn (n

? 1, 2,

(1)数列{Sn }是等比数列; n

(2)Sn?1 ? 4an

).证明:

练习 3

已知数列{an}的前n项为Sn,Sn

?

1 3

(an

?1)(n ?

N*)

(1)求a1, a2;

(2)求证 : 数列{an}是等比数列.

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练习 4

已知数列{an}满足a1

?

1 2

,

an?1

?

an

?

1 n2 ?

n

, 求an .

练习

5已知数列{an}满足,

a1

?

2 3

,

an?1

?

n n ?1

an , 求an.

学生教案



习6

已知数列{an}中,

a1

?

5 6

,

an?1

?

1 3

an

?

(

1 2

)n?1,求an

.

练习 7

已知数列{an}满足

:

an

?

3?

an?1 an?1

?

1,a1

? 1,求数列{an}的通项公式.

练 8 若等比数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a12 ? a22 ? a32 ? ?? an2

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练习 9

5 (10n ?1)

求和:5,55,555,5555,…, 9

,…;

学生教案

练习 10

求和:

1 1?

4

?

4

1 ?

7

?

?

1

(3n ? 2) ? (3n ?1)

练习 11 已知求和:

1? 1 ? 1 ? ?

1

1? 2 1? 2?3

1? 2 ? 3?

? ?n

练 习 12 设{an} 是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且

a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21, a5 ? b3 ? 13

(Ⅰ)求{an} ,{bn}的通项公式;

(Ⅱ)求数列

? ? ?

an bn

? ? ?

的前

n

项和

Sn



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学生教案

答案

练习

1

答案:a2

?

1 3 , a3

?

4 9

, a4

?

16 27

?1    n ? 1

an

?

? ?1 ?? 3

( 4)n?2  n 3

?

2

3 [( 4)2n ?1] 73

练习 2 证明: (1) 注意到:a(n+1)=S(n+1)-S(n) 代入已知第二条式子得: S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又 S(1)/1=a(1)/1=1 不等于 0 所以{S(n)/n}是等比数列
(2) 由(1)知, {S(n)/n}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。
所以 S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即 S(n)=n*2^(n-1) (*) 代入 a(n+1)=S(n)*(n+2)/n 得
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a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于 N) 即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N 且 n>1)
又当 n=1 时上式也成立 所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于 N) 由(*)式得: S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4 对比以上两式可知:S(n+1)=4*a(n

练习 3 答案: 1) a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2

a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4

2)

3Sn=an-1

3S(n-1)=a(n-1)-1

相减:

3an=an-a(n-1)

2an=-a(n-1)

an/a(n-1)=-1/2

所以{an}为等比数列!

an

?

3 2

?

1 n

练习 4 累加法,答案:

练习 5

an

?

2 3n

累乘法,答案:

an

?

3( 1 )n 2

?

2(1)n 3

练习 6 待定系数法,答案:

练习 7

1 an ? 3n ? 2 倒数法,答案:

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4n ?1 3

练习 8 公式法,答案:

练习 9 答案: Sn ? 5 ? 55 ? 555 ?

?

n个
55

5

?

5 9

(9

? 99 ?

999

?

? 5 [(10 ?1) ? (102 ?1) ? (103 ?1) ? ? (10n ?1)] 9

? 5 [10 ?102 ?103 ? ?10n ? n] ? 50 (10n ?1) ? 5 n

9

81

9.

n个
? 99 9)

n 练习 10 ,列项相消法,答案 3n ?1

练习 11,,列项相消法 1/(1+2+3+……+n)=1/[n(n+1)/2]=2/[n(n+1)] 所以原式=1+2/2*3+2/3*4+……+2/[n(n+1)] =1+2*[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/(n+1)] =1+2*[1/2-1/(n+1)] =2-2/(n+1)

练习 12 (错位相减法)
答案:解:(Ⅰ)设?an? 的公差为 d ,?bn? 的公比为 q ,

??1? 2d ? q4 ? 21,

则依题意有 q

?

0且

? ??1 ?

4d

?

q2

? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 .所以 an ? 1? (n ?1)d ? 2n ?1,

bn

? qn?1

an ? 2n?1 .(Ⅱ) bn

?

2n ?1 2n?1

. Sn

?1?

3 21

?

5 22

?

?

2n ? 3 2n?2

?

2n ?1 2n?1





2Sn

?

2?3?

5 2

?

?

2n ? 3 2n?3

?

2n ?1 2n?2

,②

②-①得

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Sn

?

2?

2?

2 2

?

2 22

?

?

2 2n?2

?

2n ?1 2n?1 ,

?

2?

2? ???1?

1 2

?

1 22

?

?

1 2n?2

? ??

?

2n ?1 2n?1

?

2?

2?

1?

1 2n?1

1? 1

2

?

2n ?1 2n?1

?

6?

2n ? 3 2n?1



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