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浙江省六校联考2016届高考数学模拟试卷(理科)(解析版)


2016 年浙江省六校联考高考数学模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合要 求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 2.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m=﹣7”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) )

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知空间两条不同的直线 m,n 和平面 α,则下列命题中正确的是( A.若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n 4.将函数 y=sin(4x+ B.若 m⊥α,n⊥α,则 m⊥n D.若 m?α,n∥α,则 m∥n 个单位,得到 )

)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向右平移 ) C.( ) D.

的函数的图象的一个对称中心为( A. B.

5.等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式 dx2+2a1x≥0 的解集为[0,9],则使数列{an}的前 n 项 和 Sn 最大的正整数 n 的值是( A.4 B.5 C.6 D.7 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲线 + )? =0,则双曲线的离心率 e 为( ) )

6.已知 O 为坐标原点,双曲线

的渐近线于异于原点 O 的两点 A、B,若( A.2 B.3 C. D.

7.设 m 为不小于 2 的正整数,对任意 n∈Z,若 n=qm+r(其中 q,r∈Z,且 0≤r<m),则记 fm(n) =r,如 f2(3)=1,f3(8)=2,下列关于该映射 fm:Z→Z 的命题中,不正确的是( A.若 a,b∈Z,则 fm(a+b)=fm(a)+fm(b) B.若 a,b,k∈Z,且 fm(a)=fm(b),则 fm(ka)=fm(kb) C.若 a,b,c,d∈Z,且 fm(a)=fm(b),fm(c)=fm(d),则 fm(a+c)=fm(b+d) D.若 a,b,c,d∈Z,且 fm(a)=fm(b),fm(c)=fm(d),则 fm(ac)=fm(bd)
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8.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2,CD=4,BC=

,点 E,F 分别为 AD,BC 的中点.如果 =λ 成立,那么

对于常数 λ,在等腰梯形 ABCD 的四条边长,有且只有 8 个不同的点 P,使得 λ 的取值范围是( )

A.(﹣ ,﹣



B.(﹣





C.(﹣

,﹣ )

D.(﹣ ,



二、填空题:本大题共小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共分.正视图侧视图俯视图 9.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 ,表面积为 .

10.已知 间为 11.设函数 则实数 t 的取值范围是 . .

,则 f(x)的最小正周期为

,单调递减区

,则 f(log23)=

,若 f(f(t))∈[0,1],

12.动直线 l:(3λ+1)x+(1﹣λ)y+6﹣6λ=0 过定点 P,则点 P 的坐标为 不等式组 表示的平面区域有公共点,则实数 λ 的取值范围是 .

若直线 l 与

13. 在△ ABC 中, 点 D 满足 则 = .

, 点 E 是线段 AD 上的一动点, (不含端点) , 若

=



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14.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E 为正方形边上的动点,现将△ ADE 所在平面沿 AE 折 起,使点 D 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AE 上,当 E 从点 D 运动到 C,再从 C 运动到 B,则点 H 所形成轨迹的长度为 .

15.设 a,b,c∈R,对任意满足|x|≤1 的实数 x,都有|ax2+bx+c|≤1,则|a|+|b|+|c|的最大可能值 为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3,cosB= (I)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC=2 ,求 AB 的长. .

17.如图(1),在等腰梯形 CDEF 中,CB,DA 是梯形的高,AE=BF=2,AB=2

,现将梯形沿

CB,DA 折起,使 EF∥AB 且 EF=2AB,得一简单组合体 ABCDEF 如图(2)示,已知 M,N 分别 为 AF,BD 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 BCF; (Ⅱ)若直线 DE 与平面 ABFE 所成角的正切值为 角大小. ,则求平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面

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18.已知函数 f(x)= (I)求 f(x)的解析式;

(a>0,b>1),满足:f(1)=1,且 f(x)在 R 上有最大值



(Ⅱ)当 x∈[1,2]时,不等式 f(x)≤

恒成立,求实数 m 的取值范围.

19.如图,椭圆 C1:

和圆 C2:x2+y2=b2,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三

等分,且圆 C2 的面积为 π.椭圆 C1 的下顶点为 E,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A,B,直线 EA,EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P,M. (I)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求△ EPM 面积最大时直线 l 的方程.

20.已知数列{an}满足:an+1= (an+ (I)若 a3= ,求 a1 的值;

);

(Ⅱ)若 a1=4,记 bn=|an﹣2|,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn< .

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2016 年浙江省六校联考高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合要 求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;综合法;集合. 【分析】根据题目中 A={x|x2﹣4x+3<0}的解集求得 A,再求它们的交集即可. 【解答】解:因为 A={x|x2﹣4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4}, 所以 A∩B={x|2<x<3} 故选:C. 【点评】本题属于以不等式的解集为平台,求集合的交集的基础题,也是高考常会考的题型. )

2.已知直线 l1:(3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m=﹣7”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】数形结合;分类讨论;转化思想;简易逻辑. 【分析】利用两条直线平行的充要条件即可得出. 【解答】解:∵“l1∥l2”,直线 l1:(3+m)x+4y=5﹣3m 与 l2:2x+(5+m)y=8, 分别化为:y=﹣ ∴﹣ =﹣ , x+ ≠ ,y=﹣ , x+ .

解得:m=﹣7. 则“l1∥l2”是“m=﹣7”的充要条件. 故选:C. 【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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3.已知空间两条不同的直线 m,n 和平面 α,则下列命题中正确的是( A.若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n C.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n⊥α,则 m⊥n D.若 m?α,n∥α,则 m∥n



【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】A.利用线面平行和垂直的性质判断.B.利用线面垂直的性质判断.C.利用线面平行的 性质判断.D.利用线面平行的性质判断. 【解答】解:A.若 m⊥α,因为 n∥α,所以必有 m⊥n,所以 A 正确. B.垂直于同一个平面的两条直线平行,所以 B 错误. C.若 m∥α,n∥α,则根据平行于同一个平面的两条直线位置关系不确定,所以 C 错误. D.若 m?α,n∥α,由于直线 m,n 不一定在一个平面内,所以 m,n 不一定平行.所以 D 错误. 故选 A. 【点评】本题考查了空间点线面的位置关系的判断,要求熟练掌握线面平行和垂直关系的性质和定 理.

4.将函数 y=sin(4x+

)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向右平移 ) C.( ) D.

个单位,得到

的函数的图象的一个对称中心为( A. B.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】把原函数的图象变换后得到函数 y=sin2x 的图象,故所得函数的对称中心为 ( k∈z,由此可得答案. 【解答】 解: 将函数 y=sin (4x+ 的图象, 再向右平移 个单位,得到函数 y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin2x 的图象. ,0),k∈z. ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 可得函数 y=sin (2x+ ) ,0),

令 2x=kπ,可得 x= 故选 A.

,k∈z. 故所得函数的对称中心为 (

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【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,正弦函数的对称中心,属于中档题.

5.等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式 dx2+2a1x≥0 的解集为[0,9],则使数列{an}的前 n 项 和 Sn 最大的正整数 n 的值是( A.4 B.5 C.6 D.7 )

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】关于 x 的不等式 dx2+2a1x≥0 的解集为[0,9],可得:0,9 分别是一元二次方程 dx2+2a1x≥0 的两个实数根,且 d<0.可得﹣ =9, .于是 an= d,即可判断出结论.

【解答】解:∵关于 x 的不等式 dx2+2a1x≥0 的解集为[0,9], ∴0,9 分别是一元二次方程 dx2+2a1x≥0 的两个实数根,且 d<0. ∴﹣ ∴ =9,可得:2a1+9d=0, . d, <0..

∴an=a1+(n﹣1)d= 可得:a5=﹣ >0,

∴使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 5. 故选:B. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程及其一元二次不等式的解法,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题.

6.已知 O 为坐标原点,双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点 F,以 OF 为直径作圆交双曲线 + )? =0,则双曲线的离心率 e 为( )

的渐近线于异于原点 O 的两点 A、B,若( A.2 B.3 C. D.

【考点】双曲线的简单性质;平面向量数量积的运算. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

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【分析】先画出图形,如图,设 OF 的中点为 C,则

+

=

,由题意得 AC⊥OF,根据三角形

的性质可得 AC=AF,又 AF=OF,从而得出△ AOF 是正三角形,即双曲线的渐近线的倾斜角为 60°, 得出 a,b 的关系式,即可求出双曲线的离心率 e. 【解答】解:如图,设 OF 的中点为 C,则 由题意得, ∴AO=AF, 又 c=OF,OA:y= 所以 A( , AO2= ,A 的横坐标等于 C 的横坐标 , , ? =0,∴AC⊥OF, + = ,

),且 AO=

,所以 a=b,

则双曲线的离心率 e 为 故选 C.

=



【点评】本题给出以双曲线右焦点 F 为圆心的圆过坐标原点,在已知若(

+

)?

=0 的情况下

求双曲线的离心率,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识, 属于基础题.

7.设 m 为不小于 2 的正整数,对任意 n∈Z,若 n=qm+r(其中 q,r∈Z,且 0≤r<m),则记 fm(n) =r,如 f2(3)=1,f3(8)=2,下列关于该映射 fm:Z→Z 的命题中,不正确的是( A.若 a,b∈Z,则 fm(a+b)=fm(a)+fm(b) B.若 a,b,k∈Z,且 fm(a)=fm(b),则 fm(ka)=fm(kb) C.若 a,b,c,d∈Z,且 fm(a)=fm(b),fm(c)=fm(d),则 fm(a+c)=fm(b+d) D.若 a,b,c,d∈Z,且 fm(a)=fm(b),fm(c)=fm(d),则 fm(ac)=fm(bd) 【考点】映射. 【专题】对应思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据题意,fm(n)=r 表示的意义是 n 被 m 整除所得的余数 r;由此通过举反例的方法判断 A 错误,通过推理说明 B、C、D 选项正确. 【解答】解:根据题意,fm(n)=r 表示的意义是 n 被 m 整除所得的余数 r; ∴对于 A,当 m=3,a=4,b=5 时,f3(4+5)=0,
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f3(4)=1,f3(5)=2,f3(4+5)≠f3(4)+f3(5);∴A 错误; 对于 B,当 fm(a)=m(b)时,即 a=q1m+r,b=q2m+r,∴ka=kq1m+kr,kb=kq2m+kr, 即 fm(ka)=fm(kb);∴B 正确; 对于 C,当 fm(a)=fm(b),fm(c)=fm(d)时,即 a=q1m+r1,b=q2m+r1, c=p1m+r2,d=p2m+r2, ∴a+c=(q1+p1)m+(r1+r2),b+d=(q2+p2)m+(r1+r2), 即 fm(a+c)=fm(b+d);∴C 正确; 对于 D,当 fm(a)=fm(b),fm(c)=fm(d)时, 即 a=q1m+r1,b=q2m+r1,c=p1m+r2,d=p2m+r2, ∴ac=q1p1m2+(r2q1+r1p1)m+r1r2,bd=q2p2m2+(r2q2+r1p2)m+r1r2, 即 fm(ac)=fm(bd);∴D 正确. 故选:A. 【点评】本题考查了映射的定义与应用问题,也考查了整除和余数的应用问题,是综合性题目.

8.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2,CD=4,BC=

,点 E,F 分别为 AD,BC 的中点.如果 =λ 成立,那么

对于常数 λ,在等腰梯形 ABCD 的四条边长,有且只有 8 个不同的点 P,使得 λ 的取值范围是( )

A.(﹣ ,﹣



B.(﹣





C.(﹣

,﹣ )

D.(﹣ ,



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】函数思想;分类法;平面向量及应用. 【分析】建立坐标系,设 P 的坐标,根据 论方程解得情况. 【解答】解:以 DC 所在直线为 x 轴,DC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系, =λ 得到关于 x 的方程,根据 P 的位置分四种情况讨

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则梯形的高为 (﹣ ,1),F( ,1).

=2,∴A(﹣1,2),B(1,2),C(2,0),D(﹣2,0),∴E

(1)当 P 在 DC 上时,设 P(x,0)(﹣2≤x≤2),则 于是 =(﹣ ﹣x)( ﹣x)+1=x2﹣ =λ, <λ≤

=(﹣ ﹣x,1)

=(

,1).

∴当 λ=﹣ 时,方程有一解,当

时,λ 有两解; =(﹣ ﹣x,﹣1) =( ,﹣1).

(2)当 P 在 AB 上时,设 P(x,2)(﹣1≤x≤1),则 于是 =(﹣ ﹣x)( ﹣x)+1=x2﹣ =λ,

∴当 λ=﹣ 时,方程有一解,当

<λ≤﹣ 时,λ 有两解;

(3)当 P 在 AD 上时,直线 AD 方程为 y=2x+4, 设 P(x,2x+4)(﹣2<x<﹣1),则 于是 ∴当 λ=﹣ =(﹣ ﹣x,﹣2x﹣3) =λ. ﹣ 时,方程有两解; =( ,﹣2x﹣3).

=(﹣ ﹣x)( ﹣x)+(﹣2x﹣3)2=5x2+12x+ 或﹣ <λ< 时,方程有一解,当﹣

(4)当 P 在 BC 上时,直线 BC 的方程为 y=﹣2x+4, 设 P(x,﹣2x+4)(1<x<2),则 于是 ∴当 λ=﹣ =(﹣ ﹣x,2x﹣3) =( =λ. ﹣ 时,方程有两解; ,2x﹣3).

=(﹣ ﹣x)( ﹣x)+(2x﹣3)2=5x2﹣12x+ 或﹣ <λ< 时,方程有一解,当﹣ =λ 成立,

综上,若使梯形上有 8 个不同的点 P 满足 则 λ 的取值范围是(﹣ , 故选:C.

]∩(﹣ ,﹣ ]∩(﹣

,﹣ )∩(﹣

,﹣ )=(﹣

,﹣ ).

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,二次函数与二次方程的关系,分类讨论思想,属于中 档题.
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二、填空题:本大题共小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共分.正视图侧视图俯视图 9.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 ,表面积为 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】几何体为圆锥的一半. 【解答】由三视图可知几何体为圆锥的 ,底面半径为 1,高为 2.母线为 ∴几何体的体积 V= 几何体的表面积 S= 故答案为 ,2 . = . =2+ . .

【点评】本题考查了圆锥的三视图,结构特征,面积与体积计算,属于基础题.

10.已知 (2kπ+ ,2kπ+ )k∈Z .

,则 f(x)的最小正周期为 2π ,单调递减区间为

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】函数思想;综合法;三角函数的图像与性质. =sin 【分析】 由三角函数公式化简可得 f (x) (x﹣ <x﹣ <2kπ+ 可得单调递减区间. ) ﹣ , 由周期公式可得最小正周期, 解 2kπ+

【解答】解:由三角函数公式化简可得: f(x)= ?2sin cos ﹣ (1+cosx)
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=

sinx﹣ cosx﹣ =sin(x﹣

)﹣ ,

∴f(x)的最小正周期为 T=2π, 令 2kπ+ <x﹣ <2kπ+ 可解得 2kπ+ ,2kπ+ )k∈Z. <x<2kπ+ )k∈Z, ,

∴函数的单调递减区间为(2kπ+ 故答案为:2π;(2kπ+ ,2kπ+

【点评】本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.

11.设函数

,则 f(log23)= 3 ,若 f(f(t))∈[0,1],则实

数 t 的取值范围是 [log2 , ] . 【考点】函数的值. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据对数函数的性质求出 f(log23)的值即可;画出函数 f(x)的图象,结合图象以及函 数的范围,得到关于 t 的不等式组,解出即可. 【解答】解:f( )= =3,

画出函数 f(x)的图象,如图示:



若 f(x)=0,x=4,若 f(x)=1,则 2x=1 或 8﹣2x=1, 解得:x=0 或 x= ,

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∴只需

即可,

解得:

≤t≤ ,

故答案为:[

, ].

【点评】本题考查了分段函数问题,考查对数函数的性质,复合函数的性质,是一道中档题.

12.动直线 l:(3λ+1)x+(1﹣λ)y+6﹣6λ=0 过定点 P,则点 P 的坐标为 (0,﹣6) 若直线 l 与不等式组 表示的平面区域有公共点,则实数 λ 的取值范围是 1<λ≤ .

【考点】简单线性规划;恒过定点的直线. 【专题】数形结合;转化法;直线与圆;不等式. 【分析】利用分离参数法,解方程组即可求出定点坐标,作出不等式组对应的平面区域利用线性规 划的知识进行求解即可. 【解答】解:由(3λ+1)x+(1﹣λ)y+6﹣6λ=0 得:λ(3x﹣y﹣6)+(x+y+6)=0, 由 得 ,即直线恒过定点 P(0,﹣6).

作出不等式组对应的平面区域如图: 当 1﹣λ=0 时,λ=1,此时直线方程为 x=0,满足直线和平面区域有公共点, 当 λ≠1 时,直线方程为 y= x+

则满足直线的斜率 k>0,且点 A(1,0)在直线的下方或在直线上, 即 即 >0 且 y≤ >0①且 0≤ x+ ×1+ , , = ,②

即由①得 λ>1 或 λ< 由②得 1≤λ≤ , 由①②得 1<λ≤ ,

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故答案为:(0,﹣6);1<λ≤ .

【点评】本题主要考查直线过定点以及线性规划的应用,建立方程组关系以及利用数形结合是解决 本题的关键.

13. 在△ ABC 中, 点 D 满足 则 = .

, 点 E 是线段 AD 上的一动点, (不含端点) , 若

=



【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【专题】数形结合;综合法;平面向量及应用. 【分析】用 【解答】解:∵ ∴ = 表示出 ,∴ =(λ+μ) + ,根据三点共线得出 λ,μ 的关系. = ,∴ = + = + . = . ,

=(﹣λ﹣μ) =1,∴λ+1=

∵A,D,E 三点共线,∴﹣λ﹣μ+ 故答案为: .

.∴

【点评】本题考查了平面向量的基本定理,三点共线原理的应用,属于基础题.

14.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,E 为正方形边上的动点,现将△ ADE 所在平面沿 AE 折 起,使点 D 在平面 ABC 上的射影 H 在直线 AE 上,当 E 从点 D 运动到 C,再从 C 运动到 B,则点 H 所形成轨迹的长度为 π .
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【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知,在平面 AED 内过点 D 作 DH⊥AE,H 为垂足,由翻折的特征知,连接 D'H,则∠D'HA=90°,当 E 从点 D 运动到 C,再从 C 运动到 B,故 H 点的轨迹是以 AD'为直径的半圆弧,根据长方形的边长得到圆的半径,利用弧长公式求出轨迹长 度. 【解答】解:由题意,在平面 AED 内过点 D 作 DH⊥AE,H 为垂足,由翻折的特征知,连接 D'H. 则∠D'HA=90°, 当 E 从点 D 运动到 C,再从 C 运动到 B,故 H 点的轨迹是以 AD'为直径的半圆弧, 根据边长为 2 的正方形 ABCD 知圆半径是 1, 所以其所对的弧长为 π, 故答案为:π 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目,解题的关键是由题意得出点 H 的轨迹是圆上 的一段弧,翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变.本题是一个中档题目.

15.设 a,b,c∈R,对任意满足|x|≤1 的实数 x,都有|ax2+bx+c|≤1,则|a|+|b|+|c|的最大可能值为 1 . 【考点】其他不等式的解法. 【专题】计算题;转化思想;分析法;不等式的解法及应用. 【分析】由题意可得 1≥|ax2+bx+c|max,由|ax2+bx+c|≤|ax2|+|bx|+|c|,结合|x|≤1,即可得到最大值,进而 得到所求值. 【解答】解:任意满足|x|≤1 的实数 x,都有|ax2+bx+c|≤1, 即有 1≥|ax2+bx+c|max, 由|ax2+bx+c|≤|ax2|+|bx|+|c|, 由|x|≤1,可得|ax2|+|bx|+|c|≤|a|+|b|+|c|, 可得当且仅当 x=±1 时,取得最大值|a|+|b|+|c|, 即有|a|+|b|+|c|≤1,
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即有|a|+|b|+|c|的最大可能值为 1. 故答案为:1. 【点评】本题考查绝对值不等式恒成立问题的解法,注意运用绝对值不等式的性质,考查推理能力, 属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3,cosB= (I)求△ ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC=2 ,求 AB 的长. .

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】(1)利用已知条件求出 D 角的正弦函数值,然后求△ ACD 的面积; (2)利用余弦定理求出 AC,通过 BC=2 ,利用正弦定理求解 AB 的长.

【解答】解:(Ⅰ)cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣ ,… 因为∠D∈(0,π),所以 sinD= 所以△ ACD 的面积 S= ,… = = .…

(Ⅱ)在△ ACD 中,AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD=12, 所以 AC=2 .… , ,…

在△ ABC 中,BC=2

把已知条件代入并化简得: 所以 AB=4.…



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【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,基本知识的考查,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

17.如图(1),在等腰梯形 CDEF 中,CB,DA 是梯形的高,AE=BF=2,AB=2

,现将梯形沿

CB,DA 折起,使 EF∥AB 且 EF=2AB,得一简单组合体 ABCDEF 如图(2)示,已知 M,N 分别 为 AF,BD 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 BCF; (Ⅱ)若直线 DE 与平面 ABFE 所成角的正切值为 角大小. ,则求平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(I)连结 AC,通过证明 MN∥CF,利用直线与平面平行的判定定理证明 MN∥平面 BCF. (II)先由线面垂直的判定定理可证得 AD⊥平面 ABFE,可知∠DEA 就是 DE 与平面 ABFE 所成的 角,解 Rt△ DAE,可得 AD 及 DE 的长,分别以 AB,AP,AD 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系,求出平面 ADE 与平面 CDFE 的法向量,代入向量夹角公式,可得答案. 【解答】证明:(Ⅰ)连 AC,

∵四边形 ABCD 是矩形,N 为 BD 中点, ∴N 为 AC 中点. 在△ ACF 中,M 为 AF 中点, 故 MN∥CF. ∵CF?平面 BCF,MN?平面 BCF,
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∴MN∥平面 BCF. (Ⅱ)依题意知 DA⊥AB,DA⊥AE 且 AB∩AE=A ∴AD⊥平面 ABFE, ∴DE 在面 ABFE 上的射影是 AE. ∴∠DEA 就是 DE 与平面 ABFE 所成的角. 故在 Rt△ DAE 中: ∴ .

设 P∈EF 且 AP⊥EF,分别以 AB,AP,AD 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,

则 ∴



分别是平面 ADE 与平面 CDFE 的法向量











∴平面 ADE 与平面 CDFE 所成锐二面角的大小为



【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定与性质,直线与 平面平行的判定,线面夹角,是立体几何知识的综合考查,难度较大.

第 18 页(共 23 页)

18.已知函数 f(x)= (I)求 f(x)的解析式;

(a>0,b>1),满足:f(1)=1,且 f(x)在 R 上有最大值



(Ⅱ)当 x∈[1,2]时,不等式 f(x)≤

恒成立,求实数 m 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(I)根据条件建立方程和不等式关系即可求 f(x)的解析式; (Ⅱ)求出 f(x)的解析式,将不等式进行转化,利用参数分离法进行求解即可. 【解答】解:(I)∵f(x)= ∴f(1)= =1,即 a=1+b,① (a>0,b>1),满足:f(1)=1,

f(x)=



=



∵f(x)在 R 上有最大值 ∴ = .即 2a=3

. ②,

由①②得 a=3,b=2, 即 f(x)的解析式 f(x)= ;

(Ⅱ)依题意,若 x∈[1,2]时有意义,则 m>2 或 m<1, 则当 x=2 时,不等式也成立,即 1≤ 即 m≥2|2﹣m|, 平方得 3m2﹣16m+16≤0, 即 ≤m≤4,. ,

由 f(x)≤







即 x≤

,则|x﹣m|≤ ,即﹣ ≤x﹣m≤ ,在 x∈[1,2]上恒成立.

①当 x=1 时,不等式成立,当 x≠1 时,m≤

,则 m≤4

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②对于 m≥

,x∈(1,2]上恒成立,等价为 m≥(

)max,

设 t=x+1,则 x=t﹣1,则 t∈(2,3], 则 = =t+ ﹣2,在(2,3]上递增,

则(

)max= ,

则 m≥ . 综上实数 m 的取值范围是 2<m≤4. 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题,根据条件建立方程关系求出函数的解析式,利用参数分 离法转化求函数的最值是解决本题的关键.综合性较强.

19.如图,椭圆 C1:

和圆 C2:x2+y2=b2,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三

等分,且圆 C2 的面积为 π.椭圆 C1 的下顶点为 E,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l 与圆 C2 相交于点 A,B,直线 EA,EB 与椭圆 C1 的另一个交点分别是点 P,M. (I)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求△ EPM 面积最大时直线 l 的方程.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)由圆的面积公式可得 b=1,再由三等分可得 a=3b=3,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)由题意得:直线 PE,ME 的斜率存在且不为 0,PE⊥EM,不妨设直线 PE 的斜率为 k(k>0), 则 PE:y=kx﹣1, 代入椭圆方程求得 P,M 的坐标,再由直线和圆方程联立,求得 A 的坐标,直线 AB 的斜率,求得 △ EPM 的面积,化简整理,运用基本不等式可得最大值,进而得到所求直线的斜率,可得直线方程.
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【解答】解:(Ⅰ)由圆 C2 的面积为 π,得:b=1, 圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分,可得 a=3b=3, 所以椭圆方程为: +y2=1;

(Ⅱ)由题意得:直线 PE,ME 的斜率存在且不为 0,PE⊥EM, 不妨设直线 PE 的斜率为 k(k>0),则 PE:y=kx﹣1,



,得:





所以 P(



),同理得 M(



),

kPM=





,得 A(



),所以:kAB=



所以





,则



当且仅当

时取等号,所以 k﹣ =±



则直线 AB:y=

x= (k﹣ )x,

所以所求直线 l 方程为:



【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用圆的面积和三等分思想,考查直线方程的求法,注意 运用直线方程和椭圆方程联立,以及直线和圆方程联立,求得交点,以及直线的斜率,运用基本不 等式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

20.已知数列{an}满足:an+1= (an+

);
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(I)若 a3=

,求 a1 的值;

(Ⅱ)若 a1=4,记 bn=|an﹣2|,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn< . 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】(1)由数列{an}满足:an+1= (an+ (2)由 a1=4,an+1﹣2= ),a3= ,代入可得 a2,a1. <0,{an}为单调递减

>0;可得 an>2.an+1﹣an=

数列.进而得到 an+1﹣2=

(an﹣2)

(an﹣2), ,即可得出.

【解答】解:(1)∵数列{an}满足:an+1= (an+ ∴ 当 当 = ,解得 a2= 或 ;… 时,解得 a1=1 或 4… 时,无解.

),a3=



∴a1=1 或 4.… (2)∵a1=4,an+1﹣2= ∴an>2. ∴an+1﹣an= <0, >0;

∴{an}为单调递减数列. ∴2<an<4, ∴ = < ,

an+1﹣2= ∴

(an﹣2)

(an﹣2), ,
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∴Sn=b1+b2+…+bn=(a1﹣2)+(a2﹣2)+…+(an﹣2)≤2+ + =2+ .

+…+

【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、不等式的性质,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

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