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山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试文科数学试题


2013 年高考模拟试题

文科数学
2013.5 本试卷分为选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类 填写在答题卡上和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位 置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷

(选择题共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设集合 A ? ??1, 0,1, 2? , B ? x x ? 2 x ? 3<0 , A ? B ? 则
2

(A) ?0?

(B) ?0,1?

?

(C) ??1 0? ,

?

(D) ?0,2? 1,

2.设 z1 ? 2i,z2 ? (A)1

1 (i 是虚数单位) ,则 z1 ? z2 ? 1? i (B) 1 ? i (C) 1 ? i
3

(D) 2 ? i

3.下列函数中,与函数 y ? (A) y ?

1 定义域相同的是 x
ln x x
(C) y ? xex (D) y ?

1 sin x

(B) y ?

sin x x

4.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 甲 平均环数 x 方差 s
2

乙 8.9 3.5

丙 8.9 2.1

丁 8.2 5.6

8.6 3.5

从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁

5.设 a ? log 2 3, b ? log 4 3, c ? (A) a<c<b

1 ,则 2 (B) c<a<b

(C) b<c<a

(D) c<b<a

? x≥0, ? 6.设不等式组 ? y≥0, 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一点,则此点到坐标原 ? ? x ? y ? 2≤0
点的距离大于 1 的概率是

(A)

π 4

(B)

π -2 2

(C)

π 6

(D)

4 ?π 4
开始

7.执行如图所示的程序框图,输出的 s 的值为 (A) 3 (B)0 (C)

s ? 0, n ? 2013

3 2

(D) ?

3 2

s ? s ? sin

n ? 3

n ? n ?1

n < 2011 是 输出 s



第 7 题图 结束

8.某公司一年购买某种货物 400t,每次都购买 x t,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元. 要使一年的总运费与储存费用之和最小,则 x 等于 (A)10 (B)20 (C)30 (D)40 y P

9.命题“ ?x0 ?[2, 4], x0 2 ? a≤0 ”为真命题的一个充分不必要条件是 (A) a≥5 (B) a≤5 (C) a≥4 (D) a≤4

π 10.函数 y ? sin( x ? ? )(?>0) 的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,

A, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB ? A O B x 1 8 7 (A)8 (B) (C) (D) 8 7 8 11.一只蚂蚁从正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 处出发,经过正方体的表面,按最短路线爬行到
达顶点 C1 位置,则下列图中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是
D1 A1 B1 C B C1

D ① ② ③ ④ A

(A)① ② 12. F1 , F2 为双曲线
2 2 2

(B)① ③

(C)② ④

(D)③ ④

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左右焦点, P 为双曲线右支上一点,直线 F1 P 与 a 2 b2

圆 x ? y ? a 切于一点 E ,且 EF ? EP ? 0 ,则双曲线的离心率为 1 (A) 2 (B) 5 (C) 10 (D)5

???? ??? ?

2013 年高考模拟试题

文科数学
2013.5

第Ⅱ 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上. 13.一个总体分为 A、B 两层,用分层抽样的方法,从总体中抽取一个容量为 10 的样本,已 知 B 层中每个个体被抽到的概率为

1 ,则总体中的个体数为 12

. . .

14.设 x ? R, 向量 a ? ( x,1) , b ? (1, ?2) ,且 a ? b, 则 a ? 2b ? 15. 与直线 x ? 2 y ? 2013 ? 0 垂直, 且过抛物线 x 2 ? y 焦点的直线的方程是

16.函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (?1) ? ?2 ,对任意的 x<0 ,有 f ?( x )>2 ,则

f ( x)>2 x 的解集为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设△ ABC 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2, b ? 3, cos C ? ? (Ⅰ)求 c ; (Ⅱ)求 cos( A ? C) .

1 . 4

18. (本小题满分 12 分) 某地 9 月份(30 天)每天的温差 T 数据如下: 5 7 5 5 10 7 7 8 5 6 8 5 6 9 7 5 6 10 7 6 10 5 6 5 6 6 9 7 8 9 当温差 5≤T<7 时为“适宜”天气, 7≤T<9 时为“比较适宜”天气, T≥9 时为“不适宜”天 气. (Ⅰ)求这 30 天的温差 T 的众数与中位数; (Ⅱ)分别计算该月“适宜”天气、 “比较适宜”天气、 “不适宜”天气的频率; (Ⅲ)从该月“不适宜”天气的温差 T 中, 抽取两个数,求所抽两数都是 10 的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, G、F 为 A 边 AC 的三等分点, E、P 分别是 AB、BC 边上的点,
E

B1
G · F P C A G B 第 19 题图 E P ·1 C F

满足 AE ? CP ? 1 ,今将△ BEP, CFP 分别沿 EP , FP 向上折起,使边 BP 与边 CP 所在的直 △ 线重合, B, C 折后的对应点分别记为 B1,C1 . (Ⅰ)求证: C1F ∥平面 B1GE ; (Ⅱ)求证: PF ? 平面 B1EF . 20. (本小题满分 12 分) n2 个正数排成 n 行 n 列,如下所示: a1,1 a1 , 2 … a1,n a2,1 a2 , 2 … a2,n . . . . . . . . . an,1 an ,2 … an ,n 其中 ai, j 表示第 i 行第 j 列的数. 已知每一行中的数依次都成等差数列,每一列中的数依次都 成等比数列,且公比均为 q, a1,1 ? ?6, a2,4 ? 3, a2,1 ? ?3 . (Ⅰ)求 a2,2 , a3,3 ; (Ⅱ)设数列 ? a2,k ? (1 k≤n) 的和为 Tn ,求 Tn . ≤ y 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 经过点 M (1, ) ,其左顶点为 N,两个焦点为

3 2

M N

(?1, 0) , (1, 0) ,平行于 MN 的直线 l 交椭圆于 A,B 两个不同的点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求证:直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

O l
A

B

x

第 21 题图

22. (本小题满分 14 分)

? 3 1 2 ?ax ? x ? 2 x, 已知函数 f ( x) ? ? 2 x ? xe , ?
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;

x≥0, x<0,

在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 的斜率为零.

(Ⅲ)若对任意的 x1,x2 ?[m, m ? 3] ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ 在?若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

45 恒成立,这样的 m 是否存 2

2013 年高考模拟试题

文科数学参考答案及评分标准
2013.5 说明: 一、本解答只给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容参照评分标准酌情赋分. 二、当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度,可 视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确答案应得分数的一半;如果后继部分

的解答有较严重的错误或又出现错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题: (每小题 5 分,满分 60 分) 1.(D) 2.(C) 3.(D) 4.(C) 5.(D) 6.(D) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(A) 11.(C) 12.(B) 二、填空题: (每小题 4 分,满分 16 分) 13. 120 三、解答题: 解: (Ⅰ)∵ a ? 2, b ? 3,cos C ? ? , ∴ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 16. ? ? ? ? ( 2 分 )
2 2 2 2 2

14. 5

15. 8 x ? 4 y ? 1 ? 0

16. (?1,0) ? (1, ??)

1 4

1 4

∴ c ? 4. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) (Ⅱ)在△ABC 中,∵ cos C ? ?

1 4

∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? (? ) ?
2 2

1 4

15 , 且 C 为钝角.?????(6 分) 4

又∵

a c ? sin A sin C

a sin C ? ∴ sin A ? c

2?

15 4 ? 15 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 ) 4 8

∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (

15 2 7 ) ? , ???????????(10 分) 8 8

∴ cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C

7 1 15 15 1 ? ? (? ) ? ? ? . ??????????(12 分) 8 4 8 4 4
1 8. 解 : Ⅰ) 由题 中数 据 知温差 T 的 众数是 5, 中位 数是 ( (Ⅱ)该月“适宜”天气的频率为

6?7 ? 6.5 . ? ? ?( 2 分 ) 2

8?7 1 ? ? 0.5, ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 分 ) 30 2 6?3 3 ? ? 0.3, ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) “比较适宜”天气的频率为 30 10 3?3 2 ? ? 0.2. (或 1 ? (0.5 ? 0.3) ? 0.2 亦可) “不适宜”天气的频率为 30 10

????????????????(5 分) (Ⅲ)温差为 9 的共 3 天,记为 M1, M2, M3;温差为 10 的共 3 天,记为 N1,N2,N3;从中随 机抽取两数的情况有:M1M2, M1M3, M1 N1, M1 N2, M1 N3, M2M3, M2 N1, M2 N2, M2 N3, M3 N1, M3 N2, M3 N3, N1N2, N1N3, N2N3,共 15 种. ????????????????(8 分)

都是 10 的情况有:N 1 N 2 , N 1 N 3 , N 2 N 3 共 3 种.????????(10 分) 故所抽两数都是 10 的概率为 19.证明: (Ⅰ)取 EP 的中点 D,连接 FD, C1D. ∵BC=3,CP=1,∴折起后 C1 为 B1P 的中点. ∴在△B1EP 中,DC1∥EB1,???????(1 分) 又∵AB=BC=AC=3,AE=CP=1,
A E F G D P ·1 C

3 1 ? .????????????(12 分) 15 5
B1

EP EB ? , ∴EP=2 且 EP∥GF.????(2 分) AC AB ∵ G,F 为 AC 的三等分点,∴GF=1.


又 ∵ E D ? 1 E P? 1 , ∴ G F = E D , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 分 ) 2 ∴四边形 GEDF 为平行四边形. ∴ D∥GE.????????????????????????( 4 分) F 又∵DC1 ? FD=D,GE∩B1E=E, ∴平面 DFC1∥平面 B1GE.????????????????(5 分) 又∵C1F ? 平面 DFC1 ∴C1F∥平面 B1GE.?????????????????????( 6 分) (Ⅱ)连接 EF,B1F,由已知得∠EPF=60°,且 FP=1,EP=2, 故 PF⊥ E F . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ( 8 分) ∵B1C1=PC1=1,C1F=1,∴FC1=B1C1=PC1, ∴∠B1FP=90°,即 B1F⊥PF.?????????????????(10 分) ∵EF∩B1F=F, ∴PF⊥平面 B1EF.????????????????(12 分) 20.解: (Ⅰ)由题意知 a2,1 , a2,2 , a2,3 , a2,4 成等差数列, ∵ a2,1 ? ?3 , a2,4 ? 3 , ∴其公差为 (a2,4 ? a2,1 ) ?

1 3

1 ? [3 ? (?3)] ? 2, 3

∴ a2,2 ? a2,1 ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?1,

a2,3 ? a2,1 ? (3 ?1) ? 2 ? ?3 ? 4 ? 1, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 分 )
又∵ a1,1 , a2,1 , a3,1 成等比数列,且 a1,1 ? ?6, a2,1 ? ?3, ∴公比 q ?

a2 , 1 ?3 1 ? ? . ????????????????(4 分) a1 , 1 ?6 2

又∵ a1,3 , a2,3 , a3,3 也成等比数列,且公比为 q , ∴ a3,3 ? a2,3 q ? 1?

1 1 ? . ????????????????(6 分) 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知第 a2,k 成等差数列,首项 a2,1 ? ?3, 公差 d ? 2, ∴ a2,k ? a2,1 ? (k ?1)d ? ?3 ? 2(k ?1) ? 2k ? 5. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) ①当 1≤n≤2 时, a2, k ? 5 ? 2k , ∴ Tn ?

? ?

n[3 ? (5 ? 2n)] ? 4n ? n 2 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 ) 2

②当 n≥3 时, Tn ? a2,1 ? a2,2 ? a2,3 ? ??? ? a2, n

? a2,1 ? a2,2 ? a2,3 ? a2,4 ? ??? ? a2,n

? 3 ? 1 ? 1 ? 3 ? ??? ? (2n ? 5)
? 4?
综 上 可 知 , Tn ? ?

(n ? 2)[1 ? (2n ? 5)] ? n 2 ? 4n ? 8. ? ? ? ? ? ? ( 1 0 分 ) 2

?4n ? n 2 ,1≤n≤2, ? ???????????????(12 分) 2 ?n ? 4n ? 8, n≥3. ?

21.解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 ∴

3 x2 y 2 ? 2 ? 1, 因为过点 M (1, ) , 2 2 a b

1 9 ? 2 ? 1. ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 分 ) 2 a 4b
2 2 2 2

又 c ? 1, a ? b ? c ? b ? 1, ② 由 ① ② 可 得 a ? 4, b ? 3 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 分 )
2 2

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 4 分 ) 4 3

3 ?0 1 3 ? . ??????(5 分) ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 易 知 N ( ?2, 0), M (1, ), 所 以 k MN ? 2 1 ? (? 2 ) 2 2
故设直线 l: y ?

1 x ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? ?4 3 2 2 联立 ? 得 x ? mx ? m ? 3 ? 0 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) ? y ? 1 x ? m, ? ? 2

∴ x1 ? x2 ? ?m, x1 x2 ? m2 ? 3. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 8 分 )

∴ k MA ? k MB

3 3 1 3 1 3 y2 ? x1 ? m ? x2 ? m ? 2? 2?2 2?2 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

? 1?

x1 ? x2 ? 2 m ?1 m ?1 ? ? 1 ? (m ? 1) ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
?m ? 2 (m ? 1)(m ? 2) ? 1? m ? 3 ? m ?1 m2 ? m ? 2
2

? 1 ? (m ? 1) ?

? 1 ? 1 ? 0. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 1 分 )
故直线 MA,MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.?????????(12 分)

22.解(Ⅰ) x≥0 时, f ?( x) ? 3ax2 ? x ? 2, 且 f ?(1) ? 0, ∴ 3a ? 1 ? 2 ? 0, ∴ a ?

1 .?????????????????(2 分) 3
????????????(3 分)

?1 3 1 2 x≥ ? x ? x ? 2 x, 0, ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? ? 3 2 ? xe x , x<0. ?
当 x≥0 时, f ?( x) ? x ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ?1),
2

( + ∴ x ? [0,1) 时 f ?( x)<0; x ? 1 , ?
x x x

) f ?( x)>0. ? ??? ??? ?? ?(4 分) 时

当 x<0 时, f ?( x) ? xe ? e ? ( x ? 1)e , ∴ x ? (??, ?1) 时 f ?( x)<0; x ? (?1, 0) 时 f ?( x)>0 . ? ? ? ? ? ? ? ? ( 5 分 )

(( ∴ f ( x ) 在 1, 0) , 1, +?) 上单调递增;
在 [0,1), (??, ?1) 上 单 调 递 减 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 6 分 ) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,①当 m>1 时, f ( x ) 在 [m, m ? 3] 上递增, 故 f max ( x) ? f (m ? 3), f min ( x) ? f (m). 由 f (m ? 3) ? f (m) ?

1 1 1 1 (m ? 3)3 ? (m ? 3) 2 ? 2(m ? 3) ? ( m3 ? m 2 ? 2m) 3 2 3 2 1 1 1 1 ? (m ? 3)[ (m ? 3) 2 ? (m ? 3) ? 2] ? m3 ? m 2 ? 2m 3 2 3 2

15 9 ? 3(m ? 2) 2 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 7 分 ) 2 2 9 9 45 45 2 ∵ m>1 ,∴3(m+2) ? >27 ? > , f (m ? 3) ? f (m)> 即 , m 不存在.. 此时 2 2 2 2 ? 3m 2 ? 12m ?
?????????????(8 分) ②当 0≤m≤1 时, f ( x ) 在 [ m,1] 上递减,在 [1, m ? 3] 上递增, 故 f min ( x) ? f (1) ? ?

7 . 6 64 7 45 + = , 3 6 2

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤f (4) ? f (1)=

∴ 0≤m≤1 时 , 符 合 题 意 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 0 分 ) ③当 m<0 时, m ? 3<3, ∴ f max ( x )<f (3) ?

15 . 2

7 0≤x<3 时, f ( x )≥f (1) ? ? ; 6 1 x<0 时, f (?1)≤f ( x)<0, ? ≤f ( x)<0. 即 e
∴ x1 , x2 ?[m, m ? 3] 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) <

15 7 26 45 ? (? ) ? < , 2 6 3 2

∴ m<0 时 , 符 合 题 意 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 3 分 ) 综 上 , 存 在 m? (??,1] 使 原 不 等 式 恒 成 立 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 4 分 )


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