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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练35 不等关系与不等式 理


计时双基练三十五

不等关系与不等式
)

A 组 基础必做 1.已知 m<0,n>0,m+n<0,则下列不等式中成立的是( A.-n<m<n<-m C.m<-n<-m<n

B.-n<m<-m<n D.m<-n<n<-m

解析 因为 m<0,n>0,m+n<0,所以可取 m=-2,n=1,-n=-1,-m=2,结合四 个选项可知选项 D 正确。 答案 D 2.(2015·石家庄二检)如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( 1 1 A.- <- )

a

b
2

B.ab<b

2

C.-ab<-a

D.|a|<|b|

1 1 a-b 1 1 2 解析 利用作差法逐一判断。因为 - = <0,所以- <- ,A 正确;因为 ab-b

b a

ab

a

b

=b(a-b)>0, 所以 ab>b , B 错误; 因为 ab-a =a(b-a)<0, 所以-ab>-a , C 错误; a<b<0 ?|a|>|b|,D 错误,故选 A。 答案 A 3.(2015·太原测评)已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( A.a>ab>ab C.ab>a>ab
2

2

2

2

)

B.ab >ab>a D.ab>ab >a
2 2 2

2

2

解析 由-1<b<0,可得 b<b <1,又 a<0,即 ab>ab >a。 答案 D β ? π? ? π? 4.设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α - 的取值范围是( 2? 2? 3 ? ? )

? 5π ? A.?0, ? 6 ? ?
C.(0,π ) β π 解析 由已知得 0<2α <π ,0≤ ≤ , 3 6 π β π β ∴- ≤- ≤0,∴- <2α - <π 。 6 3 6 3 答案 D

? π 5π ? B.?- , ? 6 ? ? 6 ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?

5.若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② + <0;③a-c>b-d;④a·(d -c)>b(d-c)中成立的个数是( )
1

a b d c

A.1 C.3 解析 ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0。 ∴ad<bc,故①错误。 ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0。 ∵c<d<0,∴-c>-d>0。 ∴a(-c)>(-b)(-d),∴ac+bd<0。 ∴ + =

B.2 D.4

a b ac+bd <0,故②正确。 d c cd

∵c<d,∴-c>-d。 ∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d)。 即 a-c>b-d,故③正确。 ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④正确。 答案 C 1 1 2 6.(2016·九江模拟)已知 a,b 为实数,命题甲:ab>b ,命题乙: < <0,则甲是乙的

b a

(

) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 2 解析 命题甲:ab>b ,不能推出命题乙: < <0,比如当取 a=2,b=1,当然满足甲,

b a

但推不出乙; 1 1 若命题乙: < <0 成立,则可得 a,b 均为负值,且 a<b,由不等式的性质两边同乘以 b

b a

可得 ab>b ,即甲成立,故甲是乙的必要不充分条件,故选 B。 答案 B 7. (2015·北京西城一模)已知 6 支玫瑰与 3 支康乃馨的价格之和大于 24 元, 而 4 支玫 瑰与 4 支康乃馨的价格之和小于 20 元,那么 2 支玫瑰和 3 支康乃馨的价格的比较结果是 ( ) A.2 支玫瑰的价格高 C.价格相同 B.3 支康乃馨的价格高 D.不确定

2

解析 设 1 支玫瑰与 1 支康乃馨的价格分别为 x 元、 y 元, 则 6x+3y>24,4x+4y<20? 2x +y>8,x+y<5,因此 2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5×8-8×5=0,所以 2x>3y,因此 2 支玫瑰的价格高,故选 A。 答案 A

2

8.下列四个不等式:①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a; 1 1 ④0<b<a,其中能使 < 成立的充分条件有________。

a b

解析

1 1 b-a < ? <0?b-a 与 ab 异号,

a b

ab

因此①②④能使 b-a 与 ab 异号。 答案 ①②④ 9.若 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围是________, 的取值范围是________。 解析 ∵-33<-y<-28,∴27<x-y<56。 ∵ ∴ 1 1 1 < < , 33 y 28 20 x < <3。 11 y

x y

?20 ? 答案 (27,56) ? ,3? ?11 ?
10.已知 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: 2> 2。 ?a-c? ?b-d? 证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0。 ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0。 ∴0< 1 1 1 1 < ,∴ 2< 2。 a-c b-d ?a-c? ?b-d?

e

e

∵e<0,∴ 2> 2。 ?a-c? ?b-d? 11.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往。甲车队说:“如果领队买一张全票, 其余人可享受 7.5 折优惠。”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠。”这两个车 队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠。 解 设该单位职工有 n 人(n∈N ),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元,
*

e

e

3 1 3 则 y1=x+ x·(n-1)= x+ xn, 4 4 4

y2= nx。
1 3 4 1 1 所以 y1-y2= x+ xn- nx= x- nx 4 4 5 4 20 1 ? n? = x?1- ?。 4 ? 5? 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2;
3

4 5

当 n<5 时,y1>y2。 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多于 5 人时,甲车队更优惠;少于 5 人时,乙车队更优惠。 B 组 培优演练 1.(2016·合肥模拟)已知有 a,b∈R,下列四个条件中,使 >1 成立的必要不充分条件 是( ) A.a>b-1 C.|a|>|b| 解析 由 >1? -1>0? B.a>b+1 D.ln a>ln b

a b

a b

a b

a-b >0?(a-b)b>0?a>b>0 或 a<b<0? |a|>|b|,但由|a|>|b| b a b a b

不能得到 a>b>0 或 a<b<0,即得不到 >1,故|a|>|b|是使 >1 成立的必要不充分条件。故选 C。 答案 C 1 1 1 2 2 2.已知- <a<0,A=1+a ,B=1-a ,C= ,D= ,则 A,B,C,D 的大小关系 2 1+a 1-a 是________。(用“>”连接) 1 1 解析 - <a<0,不妨取 a=- 。 2 4 17 15 4 4 这时 A= ,B= ,C= ,D= 。 16 16 3 5 由此猜测,C>A>B>D。

C-A=

1 -a?a +a+1? 2 -(1+a )= 1+a 1+a

2

?? 1?2 3? -a??a+ ? + ? ?? 2? 4? = , 1+a ? 1?2 3 ∵1+a>0,-a>0,?a+ ? + >0,∴C>A。 ? 2? 4
∵A-B=(1+a )-(1-a )=2a >0,∴A>B。
2 2 2

B-D=1-a2-

1 a?a -a-1? = 1-a 1-a

2



a??a-2? - ? 4

?? ??

1?2 5?

?

?

1-a



1 ? 1?2 5 ∵- <a<0,∴1-a>0,?a- ? - <0,∴B>D。 2 ? 2? 4
4

答案 C>A>B>D 3.若-1≤lg ≤2,1≤lg xy≤4,则 lg

x y

x2 的取值范围是________。 y

解析 由 1≤lg xy≤4,-1≤lg ≤2 得 1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2,

x y

x2 1 3 x2 而 lg =2lg x-lg y= (lg x+lg y)+ (lg x-lg y),所以-1≤lg ≤5。 y 2 2 y
答案 [-1,5] 4.已知奇函数 f(x)在 R 上是单调递减函数,α ,β ,γ ∈R,α +β >0,β +γ >0, γ +α >0,试说明:f(α )+f(β )+f(γ )的值与 0 的关系。 解 由 α +β >0,得 α >-β , ∵f(x)在 R 上是减函数,且为奇函数, ∴f(α )<f(-β )=-f(β ), ∴f(α )+f(β )<0。 同理 f(β )+f(γ )<0,f(γ )+f(α )<0。 以上三式相加,得 2[f(α )+f(β )+f(γ )]<0, 故 f(α )+f(β )+f(γ )<0。

5


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