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2015年北京高考文科数学试题及参考答案


2015 年北京高考文科数学试题及参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 (1)若集合 A={x|-5<x<2} ,B={x|-3<x<3} ,则 A ? B=( A. -3<x<2 B. -5<x<2 C. -3<x<3 D. -5<x<3 (2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) 2 2 2 (A) (x-1) +(y-1) =1 (B) (x+1) +(y+1)2=1 (C) (x+1)2+(y+1)2=2 (D) (x-1)2+(y-1)2=2 (3)下列函数中为偶函数的是( ) (A)y=x?sinx (B) y ? x 2 cos x (C)y ? ln x (D)y ? 2? x )

(4)某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师 的身体情况, 在抽取的样本中, 青年教师有 320 人, 则该样本的老年人数为 ( ) (A)90 (B)100 (C)180 (D)300
类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 900 1800 1600 4300

(5)执行如果所示的程序框图,输出的 k 值为(



(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (6)设 a,b 是非零向量, “a·b=IaIIbI”是“a//b”的(



(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( ) (A)1 (B) 错误! 未找到引用源。 (B) 错误! 未找到引用源。 (D)2 (8) 某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( )

(A)6 升 (B)8 升 (C)10 升 (D)12 升 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)复数 i?1 ? i ? 的实部为 (10) 2 ?3 ,
1

32

,

log25 三个数中最大数的是

(11)在△ABC 中,a=3,b=错误!未找到引用源。, ? A=错误!未找到引用源。 , ? B= (12)已知(2,0)是双曲线错误!未找到引用源。=1(b>0)的一个焦点,则 b= . (13)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一 点,则 z=2x+3y 的最大值为

(14)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成 绩与总成绩在全年级中的排名情况如下,甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题(共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) ? (15) (本小题 13 分)已知函数 f(x)= sin x ? 2 3 sin 2 2
? 2? ? (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最小值。 ? 3 ?

(16) (本小题 13 分)已知等差数列{错误!未找到引用源。}满足错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。=10,错误!未找到引用源。-错误!未找到引 用源。=2. (Ⅰ)求{错误!未找到引用源。}的通项公式; (Ⅱ)设等比数列{错误!未找到引用源。}满足错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ;问:错误!未找到引用源。与数列{错误!未找到引用源。}的 第几项相等? (17) (本小题 13 分) 某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况, 整理成下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买。 商品 甲 乙 丙 丁 顾客人数 100 √ × √ 217 × √ × 200 √ √ √ 300 √ × √ 85 √ × × 98 × √ × (Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率 (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率

√ √ × × × ×

(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最 大? (18) (本小题 14 分)如图,在三棱锥 E-ABC 中,平面 EAB ⊥平面 ABC,三角形 EAB 为等边三角形,AC⊥ BC,且 AC=BC=错误!未找到引用源。,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 (1) 求证:EB//平面 MOC. (2) 求证:平面 MOC⊥平面 EAB (3) 求三棱锥 E-ABC 的体积。

(19) (本小题 13 分)设函数 f ?x ? ?
(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和极值;

x2 ? k ln x , ?k ? 0? 2

(Ⅱ)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点. (

?

?

(20)(本小题 14 分) 已知椭圆错误!未找到引用源。,过点错误!未找到引用源。且不过点错误!未 找到引用源。的直线与椭圆错误!未找到引用源。交于错误!未找到引用源。两 点,直线错误!未找到引用源。与直线错误!未找到引用源。. (1)求椭圆错误!未找到引用源。的离心率; (II)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (III)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由。

参考答案

1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.A

7.C

8.B

9.

?1

10 . log2 5

11.

? 4

12. 3

13, 7

14. 乙

数学

?? ? ? ? 3 ,所以 T ? 2? 3? ? ?II ? 因为 0 ? x ? 2? ,所以 ? ? x ? ? ? ? ,从而 x ? ? ? ? ,即 x ? 2? 时, f ?x ? 最小。 3 3 3 3 3 ? 2? ? ? 2? ? 所以 f ?x ? 在区间 ?0, 上的最小值为 f ? ??? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?
15、解: ?I ? 因为 f ?x? ? sin x ? 3 cos x ? 3 ? 2 sin? x ? 16、解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 .

又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ?1) ? 2n ? 2

(n ? 1 , 2 , . )
因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 ,

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q . 所以 q ? 2 , b1 ? 4 .

所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 .

由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ? 的第 63 项相等. 17、解: (Ⅰ)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中,有 200 位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 . 1000

(Ⅱ)从统计 表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、 丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 (Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

100 ? 200 ? 0.3 . 1000

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 ? 0.6 , 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 1000 100 ? 0.1 , 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.

18、解: (Ⅰ)因为 O, M 分别为 AB,VA 的中点,

所以 OM / /VB .

又因为 VB ? 平面 MOC,

所以 VB / / 平面 MOC.

(Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为 AB 的中点,

所以 OC ? AB . 所以 OC ? 平面 VAB.

又因为平面 VAB ? 平面 ABC,且 OC ? 平面 ABC, 所以平面 MOC ? 平面 VAB. (Ⅲ)在等腰直 角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 所以等边三角形 VAB 的面积 S?VAB ? 3 .

2,

所以 AB ? 2, OC ? 1 .

又因为 OC ? 平面 VAB, 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 ? OC ? S?VAB ? 又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为

1 3

3 . 3

3 . 3

x2 k x2 ? k / ? k ln x , ?k ? 0? ? f ?x ? ? x ? ? 19、解: (Ⅰ)由函数 f ? x ? ? 2 x x

所以 f / ?x? ? 0 ? x ? k 。从而 f / ?x? ? 0 ? x ? k ; f / ? 0 ? 0 ? x ? k 。
所以, f ( x ) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;

f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) . 2 k (1 ? ln k ) . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ? 因为 f ( x ) 存在零点,所以

k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e . 2

当 k ? e 时, f ( x ) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , 所以 x ?

e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点.

当 k ? e 时, f ( x ) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ? 所以 f ( x ) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点.

1 e?k ? 0 , f ( e) ? ? 0, 2 2

综上可知,若 f ( x ) 存在零点,则 f ( x ) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点

20、解: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 2 . 3

所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 6 . ? a 3

(Ⅱ)因为 AB 过点 D(1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B(1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ?1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 所以直线 BM 的斜率 k BM ? 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) .

2 ? y1 ? y1 ?1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 k BM ? 1 . 又因为直线 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

由?

? x2 ? 3 y 2 ? 3 ,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1)
y1 ? x1 ? 3 ? y2 x1 ? 2 ? 3 ? x2

直线 BM 的斜率 k BM

因为 k BM ? 1 ?

k ?x1 ? 1? ? x1 ? 3 ? k ?x2 ? 1??x1 ? 2? ? ?3 ? x2 ??x1 ? 2? ?3 ? x2 ??x1 ? 2?

?

?k ? 1??? x1 x2 ? 2?x1 ? x2 ? ? 3? ? ?3 ? x2 ??x1 ? 2?

? 3k ?k ? 1?? ?

?

? ? 3 12k 2 ? ? 3? 2 2 ? 1 ? 3k ? 1 ? 3k ? ?0 ?3 ? x2 ??x1 ? 2?
2

所以 k BM ? 1 ? k DE ? BM // DE 综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行


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