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【新课标地区】2014届高三上学期数学月考二(A卷)


试卷类型:A 2014 届高三月考试题二 数学
适用地区:新课标地区 考查范围:集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式 建议使用时间:2013 年 9 月底

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本 试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.[2013 高考真题山东] 已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 【答案】C 【解析】∵x,y∈{0,1,2},∴x-y 值只可能为-2,-1,0,1,2 五种情况,∴集合 B 中元素的个 数是 5. 2. 【2013·新课标全国卷Ⅱ】设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 【答案】D【解析】 a-b=log36-log510=(1+log32)-(1+log52)=log32-log52>0, b-c=log510-log714=(1+log52)-(1+log72)=log52-log72>0, 所以 a>b>c,选 D. ) )

3.(理) 【2012 高考真题辽宁理 6】 在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16, 则该数列前 11 项和 S11=( A.58 B.88 C.143 D.176



【答案】B 11×? a1+a11? 【解析】由等差数列性质可知,a4+a8=a1+a11=16,S11= =88. 2 (文) 【2012 高考真题辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=( A.12 【答案】B 【解析】由等差数列的性质“m+n=i+j,m,n,i,j∈N ,则 am+an=ai+aj” ,得 a4+a8=a2+a10=16. 4. 【2012 高考真题山东理 7】若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2? A.
*



B.16

C.20

D.24

?? ? ?

3 7

,则 sin ? ? (



3 5

B.

4 5

C.

7 4

D.

3 4

【答案】D 【解析】因为 ? ? ?

1 ?? ? ? ?? ? , ? ,所以 2? ? ? , ? ? .所以 cos2? ? 0 .所以 cos2? ? ? 1 ? sin 2 2? ? ? . 8 ?4 2? ?2 ?

又 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ? D.

1 9 3 ?? ? ? ,所以 sin 2 ? ? .又由 ? ? ? , ? ,得 sin ? ? 0 ,所以 sin ? ? .选 8 16 4 ?4 2?

5. 【2012 高考真题新课标理 5】已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A.7 【答案】D B.5 C.-5 D.-7

?



【解析】因为 {a n } 为等比数列,所以 a5 a6 ? a 4 a7 ? ?8 .又 a 4 ? a 7 ? 2 ,所以 a4 ? 4,a7 ? ?2 或

a4 ? ?2,a7 ? 4 . 若 a4 ? 4,a7 ? ?2 , 解 得 a1 ? ?8,a10 ? 1 , 此 时 a1 ? a10 ? ?7 ; 若 a4 ? ?2,a7 ? 4 ,解得 a10 ? ?8,a1 ? 1 ,仍有 a1 ? a10 ? ?7 .综上, a1 ? a10 ? ?7 .选 D.
??x ? ? 6.【2012 高考山东文 8】函数 y ? 2sin ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( ? 6 3?



A. 2 ? 3 【答案】A

B.0

C.-1

D. ?1 ? 3

【解析】因为 0 ? x ? 9 ,所以 0 ?

?
6

x?

9? ? ? ? 7? ? ? ? .则 ? ? x ? ? ,所以当 x ? ? ? 时,函 3 6 3 6 6 6 3 3

? ? ? ? ?? ??x ? ? 数 y ? 2sin ? 时 , 函 数 ? ? (0 ? x ? 9) 的 最 小 值 为 2sin ? ? ? ? ? 3 ; 当 x? ? ? 6 3? 6 3 2 ? 3?
??x ? ? y?2 s i n ? ? ? ? 6 3? ? (x 0 ?

的最大值为 2 sin 9 )

?
2

? 2 ,所以最大值与最小值之和为 2 ? 3 .选 A.


7.(理) (山西省太原市 2012 届高三模拟试题(二)数学理)下列判断错误的是( A. “ am ? bm ”是” a ? b ”的充分不必要条件
2 2

B.命题“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”
2
2

C.若 p, q 均为假命题,则 p ? q 为假命题 D.若 ? ? B ? 4, 0.25 ? ,则 D? ? 1 【答案】D 【解析】 项中,am ? bm ? a ? b ; a ? b 不能推出 am ? bm ,例如: m ? 0 时,am ? bm , A 但 当
2 2 2 2 2 2

故 A 正 确 ; B 项 显 然 正 确 ; C 项 中 , p, q 均 为 假 可 以 推 出 p ? q 为 假 , 正 确 ; D 项 中 ,

D? ? 4 ? 0.25 ? ?1 ? 0.25 ? ? 0.75 错误.
(文) (山西省太原市 2012 届高三模拟试题(二)数学文)下列判断正确的是( A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ sin ? ? )

1 ? ”是” ? ? ”的充分不必要条件 6 2
x
x

D. .命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ” 【答案】D 【解析】A 项中,因为 p 真 q 假,所以 p ? q 为假命题.故 A 项错误;B 项中, “若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的 否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” 故 B 项错误;C 项中, sin ? ? , 项错误;D 选项正确. 8. ( 东 北 三 省 四 市 教 研 协 作 体 等 值 诊 断 联 合 考 试 ( 2012 长 春 三 模 ) 数 学 文 ) 函 数

1 ? 是 ? ? 的必要不充分条件,故 C 6 2

f ( x )? 3 c o sx ? 2
A.2

?

2

1 l o ? 的零点个数为( xg 2
C.4

) D.5

B.3

【答案】B 【解析】在同一坐标系内画出函数 y ? 3cos

?

1 x 和 y ? log 2 x ? 的图象,可得交点个数为 3. 故选 B. 2 2
)

9. 【2013 高考真题山东卷】 函数 y=xcos x+sin x 的图像大致为(

【答案】D 【解析】∵f(-x)=-xcos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),∴y=xcos x π +sin x 为奇函数,图像关于原点对称,排除选项 B.当 x= 时,y=1>0,排除选项 C;x=π,y=- 2 π<0,排除选项 A;故选 D.

CB 10. 河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测文) ?ABC 中, AB ? AB?AC ? BA?BC ? CA? , ( 在 若
则 ?ABC 是( A.等边三角形 【答案】D ) B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

??? 2 ?

??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?

CB CB 【解析】由 AB ? AB?AC ? BA?BC ? CA? ,得 AB ? AB ? AC ? BC BA ? CA ,得 AB? ?
??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ? BC ?BC ,得 BC ? BC ? AB ? 0 ,得 BC ?AC ? 0 ,故 BC ? AC .故 ?ABC 是直角三角形.

??? 2 ?

??? ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?

??? ??? ???? ? ?

?

?

??? ??? ??? ? ? ?

?

?

??? ??? ? ?

?

?

11. (河北省石家庄市 2012 届高中毕业班第二次模拟考试数学文)已知函数 f ? x ? ? ? 足不等式 f 3 ? x A. 【答案】D 【解析】当 ?

?2, x ? 0, 则满 ?? x ? 2, x ? 0.

?

2

? ? f ? 2 x ? 的 x 的取值范围为(
B. (-3,1) C. [-3,0)

) D. (-3,0)

?2 x ? 0
2 ?3 ? x ? 0

时,满足 2 ? x ? 3 ? 2 ,无解;当 ?
2

?2 x ? 0
2 ?3 ? x ? 0

时,满足 2 ? ?2 x ? 2 ,解得

?2 x ? 0 2 ? 3 ? x ? 0 ;当 ? 时,满足 x ? 3 ? 2 ? ?2 x ? 2 ,解得 ?3 ? x ? ? 3 .综上可知, x 的范围 2 ?3 ? x ? 0
为 (?3,0) .

12. (河北省石家庄市 2012 届高中毕业班第二次模拟考试数学理)设不等式组



示的平面区域为 Dn , an 表示区域 Dn 中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点) ,则 =( A. 1012 【答案】C 【解析】因为 y ? 0 ,所以令 ?nx ? 4 n ? 0 ? 0 ? x ? 4 ,又 x 为整数,所以 x ? 1, 2, 3.当 x=1 时, B. 2012 C. 3021 ) D. 4001

y ? ?n ? 4n ? 3n ,有 3n 个整数点;当 x=2 时, y ? ?2n ? 4n ? 2n ,有 2n 个整数点;当 x=3 时,

y ? ?3n ? 4n ? n ,有 n 个整数点.综上,共有 6n 个整数点,所以 an ? 6n, n ? N .则数列 {a2 n } 是以
a2 ? 12 为首项, 公差为 12 的等差数列.故

(a ? a ) ?1006 1 1 ? 2 2012 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2012 ? ? 2012 2012 2

? 3021 .
第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位置上. → → 13. [2013·天津卷] 在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,若AC·BE=1,则 AB 的长为________. 1 → → → → 1→ → → 1→ → → → → → → 【答案】 【解析】 由题意得BE=AE-AB=AD+ AB-AB=AD- AB,AC=AD+AB,所以AC·BE=(AD+ 2 2 2 1→2 1 → 1 → ?→ 1→? →2 1→2 1→ → → 1 AB)?AD- AB?=AD - AB + AD·AB=1- AB + |AB|×1× =1,解得|AB|= 或 0(舍去). 2 ? 2 2 2 2 2 2 ? 14. (河北省石家庄市 2012 届高中毕业班第二次模拟考试数学文理)在 ?ABC 中, ?B ?

?
6

, AC ? 1 ,

AB ? 3 ,则 BC 的长度为________.
【答案】1 或 2
2 2 2 【解析】由余弦定理得 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC ,即 1 ? 3 ? BC ? 2 ? 3 ? BC ?
2

3 ,解得 BC=1 或 BC=2. 2

?x+4y≥4, ? 15.[2013·广东卷] 给定区域 D:?x+y≤4, 令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y ?x≥0, ?
在 D 上取值最大值或最小值的点}.则 T 中的点共确定________条不同的直线. 【答案】6 【解析】由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分,易知线性目标函数 z=x+y 在 点(0,1)处取得最小值,在(0,4)或(1,3)或(2,2)或(3,1)或(4,0)处取得最大值,这些点一共可以 确定 6 条直线.

16. (宁夏银川一中 2012 届高三年级第三次月考数学理)已知 x ? 0, y ? 0 ,若 立,则实数 m 的取值范围是 【答案】 ? ?4, 2 ? 【 解 析 】 因 为 x ? 0, y ? 0 , 所 以 .

2 y 8x ? ? m2 ? 2m 恒成 x y

2 y 8x 2 y 8x 2 y 8x ? ?2 ? ?8 .若 ? ? m 2 ? 2m 恒 成 立 , 则 x y x y x y

8 ? m2 ? 2m ,解得 ?4 ? m ? 2 .
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 【2012 高考北京文 15】已知函数 f ( x) ? (1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递减区间。 【解】 (1)由 sinx≠0 得 x≠kπ(k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ? sinx-cosx? sin2x 因为 f(x)= sinx =2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

π? ? = 2sin?2x- ?-1, 4? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π. 2

π 3π? ? (2)函数 y=sinx 的单调递减区间为?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 2 2 ? ? π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 2 4 2 3π 7π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 3π 7π? ? 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ+ ,kx+ ?(k∈Z). 8 8 ? ?

18.(本小题满分 12 分) [2013·全国卷] 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2,且 S1,S2,S4 成等比数列,求{an}的通项 公式. 【解】设{an}的公差为 d. 由 S3=a2,得 3a2=a2,故 a2=0 或 a2=3. 由 S1,S2,S4 成等比数列得 S2=S1S4. 又 S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d, 故(2a2-d) =(a2-d)(4a2+2d). 若 a2=0,则 d =-2d ,所以 d=0, 此时 Sn=0,不合题意; 若 a2=3,则(6-d) =(3-d)(12+2d), 解得 d=0 或 d=2. 因此{an}的通项公式为 an=3 或 an=2n-1.
2 2 2 2 2 2 2 2

19.(本小题满分 12 分) [2013·四川卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos 3 -B)sin B+cos(A+C)=- . 5 (1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 → → 2,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.
2

A-B cos B-sin (A 2

【解】(1)由 2cos

2

A-B 3 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=- ,得 2 5

3 [cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=- , 5 3 即 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- , 5 3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 3 4 (2)由 cos A=- ,0<A<π,得 sinA= . 5 5 由正弦定理,有 a b bsinA 2 = ,所以 sinB= = . sin A sinB a 2

π 由题意知 a>b,则 A>B,故 B= . 4 根据余弦定理,有(4

? 3? 2 2 2 2) =5 +c -2×5c×?- ?, ? 5?

解得 c=1 或 c=-7(舍去), 2 → → → 故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB= . 2 20.(本小题满分 12 分) ( 理 ) 河 南 省 郑 州 市 2012 届 高 三 第 一 次 质 量 预 测 数 学 理 ) 已 知 等 差 数 列 ?a n ? 满 足 : (

a5 ? 9, a 2 ? a6 ? 14 .
(Ⅰ)求 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? q
an

( q ? 0 ),求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n .

【解】 (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 由 a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14, 得 ?

? a1 ? 4d ? 9, ? 2a1 ? 6d ? 14,

????2 分

解得 ?

? a1 ? 1, ? d ? 2,
????5 分
2 n ?1

所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? q

.

????7 分

1 3 5 2 n ?1 ①当 q ? 0且q ? 1 时, S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? q ? q ? q ? ? ? q

?

?

?n ?
2

q ?1 ? q 2 n ? 1 ? q2

;????10 分

② 当 q ? 1 时, bn ? 2n ,得 S n ? n(n ? 1) ;

?n ? n ? 1? , ? q ? 1? ? 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? ? ????12 分 q ?1 ? q 2 n ? 2 , ? q ? 0且q ? 1? ?n ? 1 ? q2 ?
(文) (河南省郑州市 2012 届高三第一次质量预测文)已知等差数列 ?a n ? 满足: a5 ? 9, a 2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? a n ? 2 n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n .
a

【解】 (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , 则由 a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14, 得 ?

? a1 ? 4d ? 9, ????2 分 ? 2a1 ? 6d ? 14,
????4 分

解得 ?

? a1 ? 1, ? d ? 2.

所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 1. (II)由 an ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? 2

????6 分
2 n ?1

.

????8 分

Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 21 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n ?1 ? ?10 分

?n ?
2

2 ?1 ? 22 n ? 1 ? 22

22 n ?1 ? 2 ?n ? . 3
2

????12 分

21.(本小题满分 12 分) 【2012 高考江苏 17】如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长 度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物 (忽略其大小) 其飞行高度为 3.2 千米, , 试问它的横坐标 a 不超过多少时,

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线 20

炮弹可以击中它?请说明理由.

1 2 2 【解】 (1)令 y=0,得 kx- (1+k )x =0, 20 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 2= 1+k 1 2 k+

k

所以炮的最大射程为 10 km. 1 2 2 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k )a 成立 20 ?关于 k 的方程 a k -20ak+a +64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a) -4a (a +64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6 km 时,可击中目标.
2 2 2 2 2 2

22.(本小题满分 12 分) (理) 【2012 高考真题辽宁理 21】设 f(x)=ln(x+1)+ x+1+ax+b(a,b∈R,a,b 为常数),曲 线 y ? f ( x) 与直线 y ? (1)求 a, b 的值。 (2)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ?

3 x 在(0,0)点相切。 2

9x 。 x?6

【解】 (1)由 y=f(x)过(0,0)点,得 b=-1. 3 由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为 , 2

? ? 1 又 y′?x=0=?x+1+ ? ?

3 +a??x=0= +a,得 a=0. ?? 2 2 x+1 ?? 1

(2)(证法一)由均值不等式,当 x>0 时,2 ? 记 h(x)=f(x)-

x x+1? ·1<x+1+1=x+2,故 x+1< +1.
2 2+ x+1 54 = - 2? x+1? ? x+6?

9x 1 1 54 ,则 h′(x)= + - x+6 x+1 2 x+1 ? x+6?

2

2



x+6 54 - 4? x+1? ? x+6?
3

2



?

x+6? 3-216? x+1? . 2 4? x+1? ? x+6?
2

令 g(x)=(x+6) -216(x+1),则当 0<x<2 时,g′(x)=3(x+6) -216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数,又由 g(0)=0,得 g(x)<0,所以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(0,2)内是递减函数,又 h(0)=0,得 h(x)<0.于是当 0<x<2 时,f(x)< (证法二) 由(1)知 f(x)=ln(x+1)+ x+1-1. 由均值不等式,当 x>0 时,2 ? 9x . x+6

x x+1? ·1<x+1+1=x+2,故 x+1< +1.①
2 1 -x -1= <0, x+1 x+1

令 k(x)=ln(x+1)-x,则 k(0)=0,k′(x)= 故 k(x)<0,即 ln(x+1)<x.② 3 由①②得,当 x>0 时,f(x)< x. 2

记 h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当 0<x<2 时,h′(x)=f(x)+(x+6)f′(x)-9 1 ? 3 ? 1 < x+(x+6)?x+1+ ?-9 2 2 x+1? ? = < 1 [3x(x+1)+(x+6)(2+ x+1)-18(x+1)] 2? x+1?

1 ? x? [3x(x+1)+(x+6)?3+ ?-18(x+1)] 2? x+1? ? 2?



x
4? x+1?

(7x-18)<0.

因此 h(x)在(0,2)内单调递减,又 h(0)=0, 所以 h(x)<0,即 f(x)< 9x . x+6

(文) 【2013 高考真题福建卷]】已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. a 【解】函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- . x 2 (1)当 a=2 时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1- (x>0), x 因而 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.

a x-a (2)由 f′(x)=1- = ,x>0 知: x x ①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小 值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值.


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【新课标地区】2014届高三上学期数学月考(A卷)_数学_高中教育_教育专区。

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