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03 两角和与差的三角函数


§03 两角和与差的三角函数
【知识再现】 1.Sin15° = 解: ,cos15° = ,tan105° = .

6- 2 6+ 2 , ,-2- 3 4 4 ; ; ; ;

2.①sin72° cos18° +cos72° sin18° = ②cos72° cos12° +sin72° sin12° = ③sin75° cos30° -sin15° sin150° = ④ 1-tan15° = 1+tan15° .

1 2 3 解:①1;② ;③ ;④ 2 2 3 π π 3 化简 cos + 3sin = 12 12 解: 2 4.tanα,tanβ 是方程 2x2+x-6=0 的两个实根,则 tan (α+β) = 1 解:-8 5.在等式 tan95° -tan35° - 解:3 【典型例题】 例 1.求[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° )]· 2sin280° 的值. 解:原式=[ 2sin50° +sin10° × (1+ 3sin10° )]· 2sin80° cos10° tan35° 中,根号下的()表示的正整数是 ? ? = ? ? tan95° . . .

cos10° + 3sin10° =[ 2sin50° +sin10° × ( )]· 2sin80° cos10° 1 3 cos10° + sin10° 2 2 =[ 2sin50° +2sin10° × ( )]· 2cos10° cos10° =(2sin50° + 2sin10° sin40° )· 2cos10° cos10°



2sin60° · 2cos10° cos10° 3 = 6. 2

=2 2sin60° =2 2×

选题意图:对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数值;②化为正、负相消的项;③化分子分母出现公约数进行约分求 值. 变式 1 2cos10° -sin20° sin7° +cos15° sin8° 计算(1) ; (2) cos20° cos7° -sin15° sin8° 3

2cos(30° -20° )-sin20° 解 (1)原式= = cos20° (2)原式=

sin(15° -8° )+cos15° sin8° sin15° cos8° = =tan15° =tan(60° -45° )=2- 3 cos8° cos(15° -8° )-sin15° sin8° cos15°

3π 5 π 3π π π 3 例 2. 已知 α∈ (4, 4 ),β∈ (0,4), cos (α-4)=5,sin( 4 +β)=13,求 sin(α+β)的值. 1 π 3π π π 3π 解:∵α- 4+ 4 +β=α+β+2,α∈ (4, 4 ),β∈(0,-1≤3-sinx≤1), 3π 3π π π ∴α-4∈(0, 2), β+ 4 ∈( 4 ,π), 3π 12 π 4 ∴sin(α-4)=5,cos( 4 +β)=-13, π ∴sin(α+β)=-cos[2+(α+β)] 3π 56 π =-cos[(α-4)+( 4 +β)]=65. 选题意图:给值求值问题关键是寻求“已知角”与“待求角”之间的关系,用已知角表示待 求角:①已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差;②已知角为一个时,待求角 一般与已知角成倍的关系或互余、互补关系;③对于角还可以配凑,理解和角与差角的相对 性. 变式 2 π 4 1 已知 α、β∈(0, ) ,sinα= ,tan(α-β)=- ,求 cosβ 的值. 2 5 3

tanα-tan(α-β) 4 1 解:tanα= ,∴tanβ=tan[α-(α-β)]= =3∴cosβ= 3 1+tanαtan(α-β) 10 例3 1 1 已知 α、β∈(0,π) ,且 tan(α-β)= ,tanβ=- ,求 2α-β 的值. 7 2

1 解:tanα=tan[(α-β)+β]= ,∴tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=1, 3 π π ∵α、β∈(0,π)且 0<tanα<1,tanβ<0∴α∈(0, ) ,β∈( ,π) 4 2 3π ∴2α-β∈(-π,0)又∵tan(2α-β)=1,∴2α-β=- 4

选题意图:解决给值求角问题的一般步骤是: ①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③写出要求的角. 1 13 π 变式 3 已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求角 β. 7 14 2 π 4 3 π 3 3 解:∵0<β<α< ∴sinα= 又∴0<α-β< ∴sin(α-β)= 2 7 2 14 4 3 13 1 3 3 1 π π ∴sinβ=sin[α-(α-β)]= × - × = 且 0<β< ∴β= 7 14 7 14 2 2 6 π 补充例题:已知 α,β,γ∈(0, ),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,则 β-α=_______ 2
?sinγ=sinβ-sinα① 1 解:由已知得? ,①2+②2得 1=2-2cos(β-α)? cos(β-α)= ; 2 ?cosγ=cosα-cosβ②

π π 而 β-α∈(- , )且 sinγ=sinβ-sinα>0? sinβ>sinα?β>α; 2 2 π ∴β-α= . 3 【课后强化】 1.求值: sin163° sin223° +sin253° sin313° = π 3 2.已知 tan(α+ )= ,则 tanα= 4 5 . . .

π 3 π 3.已知 α∈( ,π),sinα= ,则 tan(α+ )= 2 5 4

1 3 4.若 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tanα· tanβ= . 5 5 π 5π 1 5.满足 sin cosx+sin sin x= 的锐角 x= . 12 12 2 asinα+bcosα π b 6.已知实数 a,b 均不为零, =tanβ,且 β-α= ,则 = 6 a acosα-bsinα π 7.已知锐角 α+ 的终边经过点 P(1,4 3),则 cosα= . 3 sinα+cosα 8.若 =3,tan(α-β)=2,求 tan(β-2α)的值. sinα-cosα 5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10 7 1 10.若 α,β∈(0,π),cosα=- ,tanβ=- ,求 α+2β 的值. 3 50 9.若 sinA= 11.已知函数 f ? x ? ? 2sin ? (1)求 f ? 0 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,



?? ?1 x ? ? , x?R. 6? ?3

? ? 10 6 ? ?? ? , f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? 2? ? ? , 求 sin ?? ? ? ? 的值. ? 2 ? 13 5 ? 2? ?

【参考答案】 课后强化: 1 1 1. ; 2.- ; 2 4 3 13 6. ; 7. ; 3 14

1 3. ; 7

1 4. ; 2

π 5. 12

4 8.tanα=2,tan(β-α)=-2,tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]= . 3 9.解:∵A、B 均为钝角且 sinA= ∴cosA=- 1-sin2A=- cosB=- 1-sin2B=- 5 10 ,sinB= , 5 10

2 2 5 =- , 5 5 3 3 10 =- , 10 10

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 2 5 3 10 5 10 2 =(- )× (- )- × = 5 10 5 10 2 π π 又∵ <A<π, <B<π, 2 2 ∴π<A+B<2π 7π 由①②知,A+B= . 4 10.解析:∵cosα=- 7 ,且 α∈(0,π), 50 1 1 ∴sinα= ,tanα=- , 7 50 1 2tanβ 3 又 tanβ=- ,∴tan2β= 2 =- , 3 4 1-tan β tanα+tan2β ∴tan(α+2β)= =-1 1-tanα· tan2β 1 π 由 α∈(0,π),tanα=- <0,得 <α<π 7 2 1 π 由 β∈(0,π),tanβ=- <0,得 β∈( ,π) 3 2 3 又 2β∈(π,2π),tan2β=- <0, 4 ∴ 3π 11 <2β<2π,因为 2π<α+2β<3π.∴α+2β= π. 2 4 ② ①

π 11. 解:(1) f(0)=2sin(- )=-1; 6 π 10 1 π π 10 5 3 (2) f(3α+ )= ,∴2sin[ (3α+ )- ]= ?sinα= ;同理可得 cosβ= 2 13 3 2 6 13 13 5 π 12 4 63 ∵α,β∈[0, ],∴cosα= ,sinβ= ;∴sin(α+β)= 2 13 5 65


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