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【数学理】广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学理试题


东山中学 2013 届高三下学期入学摸底考试

理科数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题;每小题 5 分,满分 40 分。) 1.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R} , N ? {x | y ? 3 ? x 2 } ,则 M ? N ? A. [?1,??) B. [?1, 3] C. [ 3, ??) D. ?

2.已知 p : x ? 2 ? x ? 3 ? 0 , q : x ? 3 ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.函数 f ( x) ? log 2 x ? A. ? 0, ?

1 的零点所在区间为 x

? ?

1? 2?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ?1, 2 ?

D. ? 2,3?

?y ? x ? 4.设变量 x 、 y 满足约束条件: ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ?| x ? 3 y | 的最大值为 ? x ? ?2 ?
A.10 5.已知 cos( x ? A. ? B.8 C.6 D.4

?
6

)??

? 3 ,则 cos x ? cos( x ? ) ? 3 3
B. ?

2 3 3

2 3 3

C. ? 1

D. ? 1

?x ? 1 ? 6.已知函数 f ( x) ? ? ? 1 ? x2 ?
A. 1 ?

(?1 ? x ? 0) (0 ? x ? 1)

,则

?
?
4

1 ?1

f ( x)dx ?

?
2

B.

1 ? ? 2 4

C. 1 ?

D.

1 ? ? 2 2

7. 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端, 3 位女生中有且有两位女 生相邻,则不同排法的种数是 A.360 B.288 C.216 D.96

8 . 在 某 学 校 组 织 的 数 学 竞 赛 中 , 学 生 的 竞 赛 成 绩 ? ~ N (95,? 2 ) , P (? ? 120) ? a ,

P(70 ? ? ? 95) ? b ,则直线 ax ? by ?
A.相离 B.相交

1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系是 2
C.相离或相切 D.相交或相切

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二.填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 9.复数 z ?

3 1 3 ? ai ( a ? R ),且 z 2 ? ? i ,则 a 的值为 2 2 2

10.若向量 a 、 b 满足 | a |?| b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? ,则 | a ? b |? 11. 按如图所示的程序框图运算.若输入 x ? 8 ,则输出 k ? 12.一个几何体的三视图如图所示,正视图 是正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形, 则其表面保积为 13.如果在一次试验中,某事件 A 发生的概 率为 p ,那么在 n 次独立重复试验中,事件

A 发生偶数次的概率为
? x ? 1 ? cos ? 14.(坐标系与参数方程选做题)曲线 C1 : ? ( ? 为参 ? y ? sin ?
数)上的点到曲

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t ? 线 C2 : ? (为参数)上的点的最短距离为 1 ?y ?1? t ? 2 ?
15.(几何证明选讲选做题)如图,已知: ?ABC 内接于⊙ O , 点 D 在 OC 的延长线上, AD 是⊙ O 的切线,若 ?B ? 30? ,

AC ? 1 ,则 AD 的长为



三.解答题(共 6 小题,满分 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分) 已 知 函 数 f ( x) ? 2 A cos 2 ( ( x ? R , A ? 0 ,| ? |?

?
6

x ? ?) ? A

?
2

), y ? f (x) 的部

分图像如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) (1)求 f (x) 的最小正周期及 ? 的值; (2)若点 R 的坐标为 (1,0) , ?PRQ ? 17.(本小题满分 12 分) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为、 2 、…、 8 ,其中 ξ ? 5 为标 准 A , ξ ? 3 为标准 B ,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生 产该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准. (1)从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 3 5 4 3 8 3 5 8 3 5 8 5 3 6 4 3 3 4 4 6 4 3 7 4 5 7 6 5 7

2? ,求 ?PRQ 的面积 3

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数

3 ? ξ ? 5 的为三等品,试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率;
(2)已知该厂生产一件该产品的利润 y (单位:元)与产品的等级系数 ξ 的关系式为:

?1 ? y ? ?2 ?4 ?

3?? ?5 5 ? ? ? 7 ,从该厂生产的产品中任取一件,其利润记为 X ,用这

? ?7

个样本的频率分布估计总体分布, 将频率视为概率, X 的分布列和数学期望。 求 18、(本小题满分 14 分) 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中,AD // BC , ABC ? 90? , ?

P E A B D C

PD ? 平面 ABCD , AD ? 1 , AB ? 3 , BC ? 4
(1)求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; (2)设点 E 在棱 PC 上, PE ? ? PC ,若 DE // 平面 PAB ,求 ? 的值. 19. (本小题满分 14 分)己知斜率为的直线与双曲线 C : 交于

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ),相 a 2 b2

B 、 D 两点,且 BD 的中点为 M (1,3)
(1)求双曲线 C 的离心率; (2)设 C 的右顶点为 A ,右焦点为 F , | DF | ? | BF |? 17 ,证明:过 A 、 B 、 D 三点的圆 与 x 轴相切. 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ,曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程为 y ? g (x) (1)证明:对 ?x ? R , f ( x) ? g ( x) ;

(2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ?

ax 恒成立,求实数 a 的取值范围 1? x

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 bn ?1an ? bn an ?1 ? (?2) n ? 1 , bn ? (1)求 a2 , a3 的值; (2)设 cn ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 , n ? N * ,证明 ?cn ? 是等比数列; (3)设 S n 为 ?cn ? 的前 n 项和,证明:

3 ? (?1) n ?1 ( n ? N * ),且 a1 ? 2 2

S S S1 S 2 5 1 1 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? n ? ? ? n ( n ? N * 且 n ? 2 ) a1 a2 a2 n ?1 a2 n 12 3 4

参考答案
一、选择题:(本大题共 8 小题;每小题 5 分,满分 40 分。) BACB CBBD 二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。

1 1 n 9. ; 10.2 3 ; 11.3 ; 12.4 ? 3? ; 13. ?1 ? ?1 ? 2 p ? ? ; 14. 1; 15. 3 ;
2

2?

?

三.解答题(共 6 小题,满分 80 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16 、 解 : ( 1 )

f ( x) ? 2 A cos 2 ( x ? ? ) ? A ? A[2 cos 2 ( x ? ? ) ? 1] ? A cos( x ? 2? ) 6 6 3
由题意得, T ?

?

?

?

2?

?

?6

3
因为 P (1, A) 在 f ( x) ? A cos( 所以 cos(

?
3

x ? 2? ) 的图象上

?
3

? 2? ) ? 1

又因为 | ? |?

?
2

,所以 ? ? ?

?
6

………………6 分

(2)设点 Q 的坐标为 ( x0 ,? A) ,由题意可知

? ? ,得 x0 ? 4 ,所以 Q(4,? A) 3 3 连接 PQ , 则 PQ 2 ? (4 ? 1) 2 ? (? A ? A) 2 ? 9 ? 4 A 2 , x0 ?
又因为 RP ? A , RQ 2 ? (4 ? 1) 2 ? (? A ? 0) 2 ? 9 ? A 2 在 ?PRQ 中, ?PRQ ?

?

?

2? ,由余弦定理得 3 RP 2 ? RQ 2 ? PQ 2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? 4 A2 ) 1 cos ?PRQ ? ? ?? . 2 2 RP ? RQ 2 2A ? 9 ? A
又 A ? 0 ,所以 A ? 3 …………

解得 A 2 ? 3

S ?PRQ ?

1 2? 1 2? 1 3 3 3 RP ? RQ ? sin ? ? A ? 9 ? A 2 sin ? ? 3 ? 12 ? ? 2 3 2 3 2 2 2

…12 分 17、解:(1)由样本数据知,30 件产品中等级系数 ξ ? 7 有 6 件,即一等品有 6 件,二等 品有 9 件,三等品有 15 件 ∴样本中一等品的频率为 二等品的频率为

6 ? 0.2 ,故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 30

9 ? 0.3 ,故估计该厂生产的产品的二等品率为 0.3 30

三等品的频率为

15 ? 0.5 , 故 估 计 该 厂 生 产 的 产 品 的 三 等 品 的 频 率 为 30

0.5 ………………6 分 (2)∵ X 的可能取值为:1、2、4 用样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,由(1)可得 P( X ? 1) ? 0.5 , P ( X ? 2) ? 0.3 , P ( X ? 4) ? 0.2

∴可得 X 的分布列如右

X
P( X )

1 0.5

2 0.3

4 0.2 学 期 ………………12 分 望

其 数 EX ? 1 ? 0.5 ? 2 ? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 1.9 (元)

18、解 1:(1)∵ PD ? 平面 ABCD PD ? 面 PDC ∴平面 PDC ? 平面 ABCD 过 D 作 DF // AB 交 BC 于 F 过点 F 作 FG ? CD 交 CD 于 G , ∵平面 PDC ? 平面 ABCD ? CD ∴ FG ? 面 PDC ∴ ?FDG 为直线 AB 与平面 PDC 所成的角 在 Rt?DFC 中, ?DFC ? 90? , DF ? 3 , CF ? 3 ∴ tan ?FDG ? 3 , ∴ ?FDG ? 60? 即直线 AB 与平面 PDC 所成角为 60? ……………………6 分 (2)连结 EF ,∵ DF // AB , DF ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ∴ DF // 平面 PAB 又∵ DE // 平面 PAB 且 DE ? DF ? D ∴平面 DEF // 平面 PAB ∴ EF // AB 又∵ AD ? 1 , BC ? 4 , BF ? 1

P E A D B F
P E A D B F C

G C

1 PE BF 1 1 ? ? ∴ PE ? PC ,即 ? ? …………………14 分 PC BC 4 4 4 解 2:如图,在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF // AB ,交 BC 于 F ,分别以 DA 、 DF 、 DP 所在的直线为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系.
∴ 设 PD ? a ,则 D(0,0,0) 、 A(1,0,0) 、 B (1, 3 ,0) 、 C (?3, 3 ,0) 、 P (0,0, a ) (1)设面 PDC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ∵ DC ? (?3, 3 ,0) 、 DP ? (0,0, a )

z P E

? DC ? n ? 0 ? ?? 3 x ? 3 y ? 0 ? ∴由 ? 得? ?az ? 0 ? DP ? n ? 0 ? ?
∴ n ? (1, 3 ,0) ∵ AB ? (0, 3 ,0) ∴ cos ? AB, n ??

? ?y ? 3 令 x ? 1 可解得 ? ?z ? 0 ?

x B

A D yF

G C

AB ? n | AB | ? | n |

?

0?3?0 3?2

?

3 2

∴直线 AB 与平面 PDC 所成的角 ? ,则 sin ? ?| cos ? AB, n ?|? ∵ 0? ? ? ? 90? 分 (2)∵ PC ? (?3, 3 ,? a ) ∴ PE ? ? PC ? (?3? , 3? ,? a? )

3 2 ∴ ? ? 60? 即直线 AB 与平面 PDC 所成的角为 60?

………………6

∴ DE ? DP ? PE ? (0,0, a ) ? (?3? , 3? ,? a? ) ? (?3? , 3? , a ? a? ) 设面 PAB 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ∵ AB ? (0, 3 ,0) 、 PA ? (1,0,? a )

? AB ? m ? 0 ? 3y ? 0 ? ? ∴由 ? 得? ? x ? az ? 0 ? PA ? m ? 0 ? ?
∴ m ? (a,0,1)

?y ? 0 令 z ? 1 可解得 ? ?x ? a

若 DE // 平面 PAB ,则 DE ? m ? (?3? , 3? , a ? a? ) ? (a,0,1) ? ?3a? ? 0 ? a ? a? ? 0 而 a ? 0 , 所以 ? ?

1 …………………………14 分 4

19、解:(1)由题设知,直线的方程为 y ? x ? 2 代入双曲线 C 的方程,并化简得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 4a 2 x ? 4a 2 ? a 2b 2 ? 0

4a 2 4a 2 ? a 2b 2 , x1 ? x2 ? ① b2 ? a 2 b2 ? a 2 x ? x2 1 4a 2 ? 1 ,故 ? 2 由 M (1,3) 为 BD 的中点知: 1 ② ? 1 ,即 b 2 ? 3a 2 2 2 2 b ?a c c2 所以 c 2 ? a 2 ? 3a 2 ,即 2 ? 4 故 e ? ? 2 a a 所以双曲线 C 的离心率为 e ? 2 …………………………6 分 (注:本题也可用点差法解决) (2)由①、②知,双曲线 C 的方程为: 3 x 2 ? y 2 ? 3a 2
设 B ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

A(a,0) , F (2a,0) , x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? ?

4 ? 3a 2 ?0 2

| BF |? ( x1 ? 2a) 2 ? y12 ? x12 ? 4ax1 ? 4a 2 ? 3x12 ? 3a 2 ? 4 x12 ? 4ax1 ? a 2 ?| 2 x1 ? a |
同理 | DF |?| 2 x2 ? a |

| BF | ? | DF |?| (2 x1 ? a)(2 x2 ? a) |?| 4 x1 x2 ? 2a( x1 ? x2 ) ? a 2 |?| ?8 ? 6a 2 ? 4a ? a 2 |?| 5a 2 ? 4a ? 8 |
又因为 | DF | ? | BF |? 17 且 5a 2 ? 4a ? 8 ? 0 所以 5a 2 ? 4a ? 8 ? 17 解得: a ? 1 , a ? ? (舍去)

9 5

| BD |? 1 ? 12 | x1 ? x2 |? 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 ? 4 ? 2(4 ? 3a 2 ) ? 2 ? 18 ? 6
连结 MA ,则由 A(1,0) , M (1,3) 知 | MA |? 3 ,从而 | MA |?| MB |?| MD | ,且 MA ? x 轴, 因此以 M 为圆心, MA 为半径的圆经过 A 、 B 、 D 三点,且在点 A 处与 x 轴相切。 所以过 A 、 B 、 D 三点的圆与 x 轴相切 …………………………14 分 20、解:(1)由 f ( x) ? e x 得 f ?( x) ? e x 由题意知 g ( x) ? e x0 ( x ? x0 ) ? e x0 令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? e x0 ( x ? x0 ) ? e x0 ? e x ? e x0 ( x ? x0 ? 1) 则 h?( x) ? e x ? e x0 当 x ? x0 时, h?( x) ? 0 ,故 h(x) 在 (??, x0 ) 单调递减

当 x ? x0 时, h?( x) ? 0 ,故 h(x) 在 ( x0 ,??) 单调递增 所以 h( x) ? h( x0 ) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) …………………………6分 x (2)ⅰ)当 a ? 1 时,由(1)知,当 x0 ? 0 得 e ? x ? 1 ----7分

ax ax ax x( x ? 1 ? a) ? ex ?1 ? ?x? ? ?0 1? x 1? x 1? x 1? x ⅱ)当 a ? 1 时,令 H ( x) ? ( f ( x) ? 1)( x ? 1) ? ax ? (e x ? 1)( x ? 1) ? ax
故 f ( x) ? 1 ? 则 H ?( x) ? e x (2 ? x) ? 1 ? a 令 M ( x) ? H ?( x) ? e x (2 ? x) ? 1 ? a ,则 M ?( x) ? e x (3 ? x) ? 0 , 故 H ?(x) 在 [0,??) 上单调递增,而 H ?(0) ? e 0 (2 ? 0) ? 1 ? a ? 1 ? a ? 0 故存在区间 (0, x0 ) 使得 H ?( x) ? 0 ,即存在区间 (0, x0 ) 使 H (x) 单调递减, 所以存在区间 (0, x0 ) 使得 H ( x) ? H (0) ? 0 ,即 f ( x) ? 1 ? 这与 f ( x) ? 1 ? 综上可得 a ? 1 21、解:(1)由 bn ?

ax 1? x

ax 在 [0,??) 上恒成立矛盾 1? x …………………………14分

?2 n是奇数 3 ? (?1) n ?1 ,可得 bn ? ? , 而 bn ?1an ? bn an ?1 ? (?2) n ? 1 2 1 n是偶数 ? 3 当 n ? 1 时, a1 ? 2a2 ? ?1 ,由 a1 ? 2 ,得 a2 ? ? 2 当 n ? 2 时, 2a2 ? a3 ? 5 ,可得 a3 ? 8 …………………………3 分
(2)证明:对任意 n ? N * , a2 n ?1 ? 2a2 n ? ?22 n ?1 ? 1 --------①

2a2 n ? a2 n ?1 ? 22 n ? 1 ----------② c ②-①得: a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 3 ? 22 n ?1 ,即 cn ? 3 ? 22 n ?1 ,于是 n ?1 ? 4 ,所以 ?cn ? 是等比数 cn
列 ………7 分 (3)证明: a1 ? 2 ,由(2)知,当 k ? N * 且 k ? 2 时,

a2 k ?1 ? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?3 ) ? a1 ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? ck ?1

? 2 ? 3(2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 k ?3 ) ? 2 ? 3 ?
由①得 22 k ?1 ? 2a2 k ? ?22 k ?1 ? 1 ,所以 a2 k ?

2(1 ? 4k ?1 ) ? 2 2 k ?1 1? 4

1 ? 22 k ?1 , k ? N * , 2 k k ? 1 2 k ?1 ?2 因此, S 2 k ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ? ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ) ? ,于是 S 2 k ?1 ? S 2 k ? a2 k ? 2 2 3 S1 S 2 2 2 ? 2 1 ? 因为 ? ? ?1? a1 a2 2 ? 3 3 2 k ? 1 2 k ?1 k ?2 S 2 k ?1 S 2 k k ? 1 ? 22 k k 2 ? ? ? 2k k ? 2 时, ? 2 2 k ?1 ? 2k 1 a2 k ?1 a2 k 2 2 2 ?1 ? 22 k ?1 2 k 1 k 1 k 1 ? k ? k ?1? k ?1? k ? k k ?1? k 4 4 (4 ? 1) 4 4 (4 ? 1) 4

所以

S S S1 S 2 1 1 1 1 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? (1 ? ) ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 3 ) ? ? ? (1 ? n ) a1 a2 a2 n ?1 a2 n 1 4 4 4 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 1 4 4 ? n ? ? ( ? 2 ? 3 ??? n ) ? n ? ? 1 12 4 4 4 4 12 1? 4 1 1 1 n 5 1 1 n ………14 分 ? n ? ? [1 ? ( ) ] ? n ? ? ( ) 12 3 4 12 3 4


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