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高三数学简单的线性规划3


解线性规划应用问题的一般步骤:
1)理清题意,列出表格:

2)设好变元并列出不等式组和目标函数
3)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;

画出线性约束条件所表示的可行域,画图力保准确;
4)在可行域内求目标函数的最优解(注意整数解的调整) 法1:移-在线性目标函数所表示的一组平行线中,利用平移的 方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线; 法2:算-线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处 取得,也可能在边界处取得(当两顶点的目标函数值相等时最优 解落在一条边界线段上)。此法可弥补作图不准的局限。 5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)

应用1-有关二元一次代数式取值范围

?4 ? x ? y ? 6 例1.若实数x,y满足 ? ?2 ? x ? y ? 4
求2x+y的取值范围。

① ②

解:由①、②同向相加可得:
6 ? 2 x ? 10 即3 ? x ? 5



? 4 ? y ? x ? ?2 由 ④ ② 0 ? y ? 2 将上式与①同向相加得 得 ③+④得 6 ? 2 x ? y ? 12
以上解法正确吗?为什么?

?4 ? x ? y ? 6 首先:我们画出 ? ?2 ? x ? y ? 4 当x=3,y=0时,得出2x+y的 y 最小值为6,但此时x+y=3,点 6 (3,0)不在不等式组的所表 示的平面区域内,所以上述 5 4 解答明显错了. 3 从图中我们可以看出

表示的平面区域

x? y ?2 x? y ?4
D A C 3 4B 5 6 7 x

?3 ? x ? 5 没错 解得 ? ?0 ? y ? 2
但不等式 ?

2 1 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2

4? x? y ?6 ? ?2 ? x ? y ? 4
?3 ? x ? 5 ?0 ? y ? 2

与不等式 ?

x? y ?4

x? y ?6

所表示的平面区域却不同? (扩大了许多!)

-4

?4 ? x ? y ? 6 例1.若实数x,y满足 ? ?2 ? x ? y ? 4
求2x+y的取值范围。

① ②

通过分析,我们知道上述解法中,6 ? 2 x ? 10及0 ? y ? 2 是对的,但用x的最大(小)值及y的最大(小)值来 确定2x+y的最大(小)值却是不合理的。

怎么来解决这个问题和这一类问题呢?这就 是我们今天要学习的线性规划问题。

要求z的范围,现在就 转化为求这一组平行线 x ? y ? 4 6

我们设我们设z=2x+y方程变形为y=-2x+z,等式表示斜率为-2, 纵截距为z的直线,把z看成参数 ,方程表示的是一组平行线. y
x? y ?6
5 4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 ? 1 2 A 3 4B 5 D C 6 7 x

中,与阴影区域有交点, 且在y轴上的截距达到 最大和最小的直线.

x? y ?2 x? y ?4

z ? 2 ? 5 ? 1 ? 11 所以 z min ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 z max ? 2 ? 5 ? 1 ? 11

由图,我们不难看出,这 种直线的纵截距的最小值为 过A(3,1)的直线,纵截距最 大为过C(5,1)的直线。 过A(3,1)时,因为z=2x+y,所 以 z ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 -2 同理,过B(5,1)时,因为 z=2x+y,所以

l0

l1

l l 2

解:作线形约束条件所表 示的平面区域,即如图所 示四边形ABCD。 x? y ?4 求得 A(3,1) B(4,0) C(5,1) D(4,2) 作直线 l0: 2x ? y ? 0,

?4 ? x ? y ? 6 例1.若实数x,y满足 ? 求2x+y的取值范围 ?2 ? x ? y ? 4
y 6 5 4 3 D

x? y ?6

x? y ?2 x? y ?4

将直线 l 0平移,平移到过A点 2 与 l 0 的平行线 l1 重合时,可使 1 z ? 2 x ? y 达到最小值, -1 0 当 l 平移过C点时,与 l -2 0 0 的平行线 l 2 重合时,可使 z ? 2 x ? y 达到最大值。 所以,z min ? 2 ? 3 ? 1 ? 7
-2 -3

A
1 ? 2 3 4B 5

C 6 7 x

-1

z max ? 2 ? 5 ? 1 ? 11

-4

l0

l1

l2

?4 ? x ? y ? 6 例1.若实数x,y满足 ? 求2x+y的取值范围 ?2 ? x ? y ? 4
解法2:由待定系数法: 设 2x+y=m(x+y)+n(x-y) =(m+n)x+(m-n)y ∴m+n=2,m-n=1 m=3/2 ,n=1/2

∴ 2x+y=3/2×(x+y)+ 1/2 ×(x-y)
∵4≤x+y≤6,2≤x-y≤4

∴7≤2x+y≤11

应用2-有关利润最高、效益最大等问题
例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消
耗 A种矿石 10t 、 B种矿石 5t 、煤 4t ;生产乙种产品 1吨需消 耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600 元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的 计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过 200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精 确到0.1t),能使利润总额达到最大? 列表:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
消耗量 产品 资源

甲产品 (1t)

乙产品 (1t)

资源限额 ( t)

A种矿石(t) B种矿石(t)

煤(t)
利润(元)

10 5 4 600

4 4 9 1000

300

200 360

例题分析
列表: 资源

消耗量 产品

甲产品 xt (1t)

乙产品 (1t)

yt

资源限额 ( t)

A种矿石(t)
B种矿石(t)

煤(t)
利润(元)

10 5 4 600

4 4 9 1000

300
200 360

把题中限制条件进行转化:
? 10x+4y≤300 ? 5x+4y≤200 ? ? ? 4x+9y≤360 ? x≥0 ? ? ? y ≥0

设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元

约束条件

目标函数:

z=600x+1000y.

例题分析
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 10x+4y≤300 那么 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 t、yt,利润总额为z=600x+1000y. 元,

{

y

75

z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的可行域
l l

作 出 一 组 平 行 直 线

50 40

M (12.4,34.4) 4x+9y=360

600x+1000y=t,
经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大.
10

此时z=600x+1000y取得最大值. 0 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)

{

10 20 30 40 5x+4y=200

90

x

10x+4y=300 600x+1000y=0

答:应生产甲产品约12.4吨,乙产品34.4吨,能使利润总额达到最大。

应用3-有关成本最低、运费最少等问题
【例3】营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供
0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食 物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费 28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白 质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食 要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
1 4 得点M的坐标为 x ? , y ? 7 7

? zmin ? 28x ? 21y ? 16

答:每天需要同时食用食物A约0.143 kg, 食物B约0.571 kg,能够满足日常饮食要求, 且花费最低16元.
幻灯片13 幻灯片14

解:设每天食用xkg食物A, ykg食物B,总花费为z元, 则目标函数为z=28x+21y且x、y满足约束条件
?0.105x? 0.105y? 0.075 ?7 x ? 7 y ? 5 ?0.07x? 0.14y? 0.06 ?7 x ? 1 4 y ? 6 ? ? ? ,整理为 ?1 4 x ? 7 y ? 6 0.14x ? 0.07y ? 0.06 ? ? ? ? ?x ? 0,y ? 0 ?x ? 0 , y ? 0

3 21 如图,作直线 l0 ,当直线 l0 : 28x ? 21y ? 0

作出约束条件所表示的可行域, 如右图所示 4 z ?目标函数可变形为 y ? ? x ? ,

平移经过可行域时,在 点M处达到 z y 轴上截距 21 的最小值,即此时 7x ? 7 y ? 5 z 有最小值.解方程组? ? ?14 x ? 7 y ? 6
返回幻灯片12

线性规划的应用练习:
? 1、已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取 解法1:由待定系数法 : 设 解法2:∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 值范围。
a+3b=m(a+b)+n(a-2 b) ∴-2≤2a+2 b≤2,

=(m+n)a+(m-2n)b
∴m+n=1,m-2n=3 m=5/3 ,n=-2/3 ∵-1≤a+b≤1,1≤a-2 b≤3 ∴-11/3≤a+3 b≤1

-3≤2 b-a≤-1
∴-1/3≤a≤5/3 -4/3≤b≤0

∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b) ∴-13/3≤a+3 b≤5/3

已知:-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求a+3b的取值 范围。
解法2 约束条件为:
?a ? b ? ?1 ?a ? b ? 1 ? ? ?a ? 2b ? 1 ? ?a ? 2b ? 3
b

D O A a

P
B

C

目标函数为:z=a+3b
由图形知:-11/3≤z≤1 即 -11/3≤a+3 b≤1

2.某家具厂有方木材 90m3,木工板 600m3 ,准备加工成书桌和书橱出售,已知 生产每张书桌需要方木料 0.1m3 、木工板 2m3 ;生产每个书橱需要方木料 0.2m3 , 木工板1m3,出售一张书桌可以获利80元,出售一张书橱可以获利120元;
(1)怎样安排生产可以获利最大? (2)若只生产书桌可以获利多少? (3)若只生产书橱可以获利多少?

求解:
600

y
A(100,400)

(1)设生产书桌x张,书橱y张,利 润为z元, 则约束条件为

{

0.1x+0.2y≤90 2x+y≤600 x,y∈N*

450

x+2y-900=0
300

Z=80x+120y 0 作出不等式表示的平面区域, 将直线z=80x+120y平移可知: 当生产 100 张书桌, 400 张书橱时利润最大为 z=80×100+120×400=56000元

x
900

2x+y-600=0

(2)若只生产书桌可以生产300张,用完木工板,可获利 24000元;
(3)若只生产书橱可以生产450张,用完方木料,可获利54000元。

3 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知 生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、 二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级 子棉1吨、二级子棉2吨,每1吨甲种棉 纱的利润是600元,每1吨乙种棉纱的 利润是900元,工厂在生产这两种棉纱 的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 产品 甲种棉纱 乙种棉纱 资源限额 吨、二级子棉不超过 250 吨 . 甲、乙两 (吨) x (吨) y (吨) 资源 种棉纱应各生产多少 ),能使 2 (精确到吨 1 300 一级子棉(吨) 利润总额最大? 1 2 250 二级子棉(吨)
利润(元) 600 900

? 解:设生产甲、乙 两种棉纱分别为x 吨、y吨,利润总 y 额为 300 2x ? y z ?元,则 300 ?
?x ? 2 y ? 250 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0 Z=600x+900y
2x+y=300 125 M( 150

解方程组 ?2x ? y ? 300 ? ?x ? 2 y ? 250 得点M的坐标 x=350/3≈117 y=200/3≈67

350 200 , ) 3 3 x+2y=250 250

O

作出可行域,可知直 线Z=600x+900y通过 点M时利润最大。

答:应生产甲、 乙两种棉纱分别 x 为117吨、67吨, 能使利润总额达 到最大。

4、咖啡馆配制两种饮料.甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡 4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g.已知 每天原料的使用限额为奶粉3600g ,咖啡2000g 糖3000g, 如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元, 每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,每天应配制两 种饮料各多少杯能获利最大? 解:将已知数据列为下表:
甲产品 产品 消耗量 (1 杯) 资源 奶粉(g) 9 咖啡(g) 糖(g) 利润(元) 乙产品(1 杯) 资源限额(g)

4 5 10 1.2

3600 2000 3000

4 3 0.7

设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则

作出可行域: 目标函数为:z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置 时, 直线经过可行域上的点C,且与原 点距离最大, 此时z =0.7x +1.2y取最大值 解方程组

?9 x ? 4 y ? 3600 ?4 x ? 5 y ? 2000 ? ? ?3 x ? 10 y ? 3000 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y _ 900 _

400 _ 300 _ 7 x + 12 y = 0 _ 0 _ 400 _ C ( 200 , 240 ) _ 3 x + 10 y = 3000 _
_ 0

1000 5 _00 _ 4 x + 5 y = 2000 _

x _

, ?4 x ? 5 y ? 2000 ? , ?3x ? 10y ? 3000

9 _ x + 4 y = 3600

得点C的坐标为(200,240)

应用3-有关成本最低、运费最少等问题

例2.已知甲、乙两煤矿每年的产量分别 为200万吨和300万吨,需经过东车站 和西车站两个车站运往外地.东车站每 年最多能运280万吨煤,西车站每年 最多能运360万吨煤,甲煤矿运往东 车站和西车站的运费价格分别为1元/ 吨和1.5 元/吨,乙煤矿运往东车站和 煤矿 甲煤矿 乙煤矿 运量 西车站的运费价格分别为 0.8 元/吨和 车站 (元/吨) (元 /吨) (万吨) 1 0.8 280 东车站 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制调运方案, 1.5 1.6 360 西车站 能使总运费最少 ?
产量(万吨) 200 300

解:设甲煤矿运往东车站x万吨,乙煤 矿运往东车站y万吨,则约束条件为: y 煤矿调运问题
?x ? 0 280 P ?y ? 0 ? ? ? x ? y ? 280 140 ? ?(200 ? x) ? (300 ? y ) ? 360
O P: (0.00, 280.00) z= 780-0.5?xP-0.8?yP = 556.00

140

280

x

目标函数为: z=[x+1.5(200-x)]+[0.8y+1.6(300-y)] 答案:当 x=0,y=280时,即甲煤矿运往东车站0 吨,西车站200吨;乙煤矿运往东车站280吨,西 =780-0.5x-0.8y ( 万元 ) 车站20吨.总运费最少 556万元。

复习回顾:
二元一次不等式 表示平面区域 直线定界, 特殊点定域 约束条件 目标函数 简单的线性规划 可行解 可行域 求解方法:画、 移、求、答 最优解

应 用

高二数学(上)教学课件

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加霜,厂子没钱也就不足为怪了。勉强又维持了一段时间,优等品麦芽没有了,囿于现实,华泰啤酒的王牌酒——华泰特供啤酒也只 得降低了原料等级,产品质量出现了波动(又是艺术的说法)。这正应了那句话:质量说起来是重要的,是第一位,做起来却是次要 的,是第二位的,忙起来质量是可要可不要,是末尾的。不过,厂里没有钱,也没办法,这也难怪吴明说:有了钱什么事不好办啊! 没钱也只好将就了。这种不好的原料持续了好一段时间。这期间,原酿造车间张钢铁主任调到了质量科当质管主任。马启明找吴明商 量一些生产上的事,事后走到隔壁张钢铁的办公室,跟他聊起了啤酒厂,话题便转到啤酒厂的从前,他伤感地回忆又把马启明带到了 往日的辉煌之中,又忆甜思苦起来:“如果把时钟拨回到八十年代,没有人会把华泰啤酒厂跟‘不景气’这个词挂上钩。那时啤酒供 不应求,很多人走后门、批条子才能拿到啤酒。有时候分管厂长像个小偷一样躲出去,害怕碰到熟人、关系户要啤酒。销售商整天哭 天喊地地要啤酒,一天到晚总有拉酒的车子在外面排队等候,大年三十都还在灌装。华泰啤酒不仅在江苏省内销售,还销售到周边的 省市,最远的地方有用船远销到福建的。以前的销售人员大多坐在家里搞销售,有的销售商不给送礼还拿不到啤酒呢!现在这种日子 是一去不回头了。”他说话时,刚开始声音还洪亮,渐渐地声音越来越小。最后,变成了用嗓子低声地咕哝了,圆珠笔在手指间不停 地转动,低着头望着脚下。他的语气里多了一点惆怅,一点无奈,更多的是伤心。马启明睁大了眼睛、吃惊道:“我刚来时就知道华 泰啤酒以前很热销,但还不知道,竟能销到福建!”张钢铁抬起头:“那可不。有一次我自己有点急事要办,好不容易批了两箱啤酒, 结果到第三天才拿到啤酒,差点误了事。你看我在厂里也是个经贸局任命的中层干部,啤酒又是我们生产的,还要等。你就想想啤酒 紧张到什么程度了吧!”马启明知道,原先啤酒厂中层干部以上的人员都是海涛州经贸局红头文件正式任命的。“那找原来的客户, 把我们的啤酒还销到福建去。”马启明一时冲动竞提了个十分幼稚的建议,说了句痴话。他心想现在本地啤酒竞争很激烈,比较难销, 外地总不该也如此吧!“现在福建当地也有啤酒厂了,当地啤酒竞争也很激烈。再说现在运费上涨了不少,运到福建成本太大了,能 把本地的市场做好、守得住就不错了。”张钢铁无奈地苦笑了一下。马启明暗自讥笑自己不知道那根神经出了问题、刚才的建议愚蠢 得透顶,简直是脑子让驴踢肿了,或者是叫家里的门给夹偏了。“为什么全国、全省的啤酒销量逐年都上升,而我们的啤酒销量却不 升反降,动不动就赔本?啤酒销售出去资金回笼,这本来是顺理成章、天经地义的


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