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空间向量与立体几何(整章教案)


空间向量与立体几何 一、知识网络:
空间向量的加减运算 空 间 向 量 及 其 运 算 空间向量的数乘运算 共线向量定理

共面向量定理

空 间 向 量 与 立 体 几 何

空间向量的数量积运算

空间向量基本定理

平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算

立 体 几 何 中 的 向 量 方 法

向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量

用空间向量证平行与垂直问题

求空间角 求空间距离

二.考纲要求: (1)空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程; ② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交 分解及其坐标表示; ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂 直。 (2)空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量; ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系; ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) ; ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几 何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心 内容,高考对本章的考查形式为:以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题 借助空间向量求夹角和距离。 预测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,尤其是求夹角、求距离,教

1

材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体 几何解答题,用向量法处理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标:1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解 空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角 的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意 义;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点:理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 三、教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资 P128 页,教师点评,增强目标和参与意识。 (二) 、知识梳理,方法定位。 (学生完成复资 P128 页填空题,教师准对问题讲评) 。 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法: 用有向线段表示, 并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明:①由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原来的向量 相等,用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移,而空间 向量研究的是空间的平移。 2.向量运算和运算率
? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

B

C

? OP ? ? a ( ? ? R )

? b
? ? ?

加法交换率: a ? b ? b ? a . 加法结合率: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ). 数乘分配率: ? ( a ? b ) ? ? a ? ? b .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

O

? a

A

说明:①引导学生利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的若干向量之和; ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, ? ? ? ? 则这些向量叫做共线向量或平行向量。 a 平行于 b 记作 a ∥ b 。 ? ? 注意:当我们说 a 、 b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同一直线,也可能是平 ? ? 行直线;当我们说 a 、 b 平行时,也具有同样的意义。 共线向量定理: 对空间任意两个向量 a ( a ≠ 0 ) b ,a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? 使 b = 、
? a
?

?

?

?

?

?

?

(1)对于确定的 ? 和 a , b = ? a 表示空间与 a 平行或共线,长度为 | ? a |,当 ? >0 时与
2

?

?

?

?

?

同向,当 ? <0 时与 a 反向的所有向量。 ? (3)若直线 l∥ a , A ? l ,P 为 l 上任一点,O 为空间任一点,下面根据上述定理来推导 OP 的表达式。 ? 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对任一点 O,点

? a

?

P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,满足等式
? 其中向量 a

OP ? OA ? t a

?



叫做直线 l 的方向向量。
?
OP ? (1 ? t ) OA ? t OB .
OP ? 1 2 ( OA ? OB ).

在 l 上取 AB ? a ,则①式可化为 当t
? 1 2

② ③

时,点 P 是线段 AB 的中点,则

①或②叫做空间直线的向量参数表示式,③是线段 AB 的中点公式。 注意:⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础,也是常用的直线参数方程的表 示形式;⑵推论的用途:解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。 ? ? 4.向量与平面平行:如果表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 ? 平行或 a 在 ? 平面 ? ? ? 内,我们就说向量 a 平行于平面 ? ,记作 a ∥ ? 。注意:向量 a ∥ ? 与直线 a∥ ? 的联系与 区别。 共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 共面向量定理 如果两个向量 a 、 b 不共线,则向量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是
? ? ?
?
?
?

?

?

存在实数对 x、y,使 p ? x a ? y b . ① 注:与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面。 推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y,使
MP ? x MA ? y MB , ④

或对空间任一定点 O,有 OP ? OM ? x MA ? y MB . ⑤ 在平面 MAB 内,点 P 对应的实数对(x, y)是唯一的。①式叫做平面 MAB 的向量表示 式。 又∵ MA ? OA ? OM ,. MB
? OB ? OM ,. 代入⑤,整理得

OP ? (1 ? x ? y ) OM ? x OA ? y OB .



由于对于空间任意一点 P,只要满足等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一 等式) ,点 P 就在平面 MAB 内;对于平面 MAB 内的任意一点 P,都满足等式④、⑤、⑥,所 以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量 MA 、 MB (或不共线三点 M、A、B)确定的空 间平面的向量参数方程,也是 M、A、B、P 四点共面的充要条件。 ? ? ? 5.空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量,存在 一个唯一的有序实数组 x,

y, z, 使

? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc .

说明:⑴由上述定理知,如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么所有空间向量所组成
3

?

?

?

的集合就是 ?p |
?

? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc , x、 y、 z ? R
?

? ? ?,这个集合可看作由向量 a 、 b 、 c 生成的,所

?

以我们把{ a , b , c }叫做空间的一个基底, a , b , c 都叫做基向量;⑵空间任意三个不 共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组,一个基向量是指 ? 基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的概念;⑷由于 0 可视为与任意非零向量共线。 ? 与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含着它们都不是 0 。 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的有序实数组
x、 y、 z

?

?

?

?

?

,使 OP ? x OA ? y OB ? z OC .
? ? a

6.数量积 ? ? (1)夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取一点 O,作 OA 角∠AOB
? ? 叫做向量 a 与 b
? ? 的夹角,记作 ? a , b ?

, OB

? ? b

,则

说明:⑴规定 0≤ ? a , b ? ≤ ? ,因而 ? a , b ? = ? b , a ? ; ⑵如果 ? a , b ? =
? ?

?

?

?

?

?

?

A
? a

?
2

, 则称 a 与 b 互相垂直, 记作 a ⊥
O
? a

?

?

?

? b



⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段 注意图(1)(2)中的两个向量的夹角不同, 、 图(1)中∠AOB= ? OA , OB ? ,

(1) A
? a

B
? a

的起点重合,

O

图(2)中∠AOB= ? ? ? AO , OB ? , 从而有 ?? OA , OB ? = ? OA , ? OB ? = ? ? ? OA , OB ? .

? a

(2)

B
? a

(2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 (3)向量的数量积: a b cos ? a , b ? 叫做向量 a 、 b 的数量积,记作 a ? b 。 即 a ? b = a b cos ? a , b ? , 向量 AB
? 在 e 方向上的正射影

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

B

:
A

? e
A?

B?
l

? ? ? ? a ? e ? | AB | cos ? a , e ? ? A ? B ?

(4)性质与运算率 ⑴a ?e
?
? ? ? ? ? cos ? a , e ?
?



⑴ (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ⑵a ? b =b ? a
?
? ? ? ?

?

?

? ?

⑵ a ⊥b ?
? ? ?

? ? a ?b

=0

⑶ | a |2 ? a ? a . (三) .典例解析 题型 1:空间向量的概念及性质

? ? ? ? ? ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

?

4

例 1、有以下命题:①如果向量 a , b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a , b 的 关系是不共线;② O , A , B , C 为空间四点,且向量 O A , O B , O C 不构成空间的一个基底,那么 点 O , A , B , C 一定共面;③已知向量 a , b , c 是空间的一个基底,则向量 a ? b , a ? b , c ,也是空 间的一个基底。其中正确的命题是(
( D ) ①②③
??? ??? ???? ? ?

? ?

? ?

? ? ?

?

? ?

? ?

) 。

( A ) ①②

( B ) ①③

( C ) ②③

解析:对于①“如果向量 a , b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a , b 的关 系一定共线” ;所以①错误。②③正确。 题型 2:空间向量的基本运算 例 2、 如图: 在平行六面体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中,
??? ? ? ???? ? ???? ? A B ? a , A D ? b , A A1 ? c , B 1 D 1 的交点。若
A1 D1 M B1 C1

? ?

? ?

M

为 A1 C 1 与

则下列向量
C

D

中与 BM 相等的向量是(
( A) ?


1 ? 1 ? ? a? b ?c 2 2
1 2

A

B

1 ? 1 ? ? a? b ?c 2 2

(B)

(C ) ?

1 ? 1 ? ? a? b ?c 2 2

1

(D )

a ?

1 2

b ? c

2

解析:显然 BM ? BB 1 ? B 1 M ?

( AD ? AB ) ? AA 1 ? ?

1 ? 1 ? ? a ? b ? c ;答案为 A。 2 2

点评:类比平面向量表达平面位置关系过程,掌握好空间向量的用途。用向量的方法 处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向 量的加法.考查学生的空间想象能力。 例 3、已知: a ? 3 m ? 2 n ? 4 p ? 0 , b ? ( x ? 1) m ? 8 n ? 2 y p , 且 m , n , p 不共面.若 a ∥ b ,求 x , y 的值. 解:? a ∥ b ,,且 a ? 0 ,? b ? ? a , 即 ( x ? 1) m ? 8 n ? 2 y p ? 3 ? m ? 2 ? n ? 4 ? p . 又? m , n , p 不共面,?
? ? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x ?1 3

?

8 ?2

?

2y ?4

,? x ? ? 13 , y ? 8 .

点评:空间向量在运算时,注意到如何实施空间向量共线定理。 例 4、底面为正三角形的斜棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 为 AC 的中点,求证:AB1∥平面 C1BD. 证明:记 AB ? a , AC
? b , AA 1 ? c ,


1 2 b ? c

AB 1 ? a ? c , DB ? AB ? AD ? a ?

1 2

b , DC 1 ? DC ? CC 1 ?

∴ DB

? DC 1 ? a ? c ? AB 1

,∴ AB 1 ,

DB , DC 1

共面.

∵B1 ? 平面 C1BD, AB1//平面 C1BD.

5

(四)强化巩固导练 1、已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 F 是侧面 CDD1C1 的中心,若 AF -y 的值. 解:易求得 x ? 2、
y ? 1 2 ,? x ? y ? 0

? AD ? x AB ? y AA 1

,求 x

在平行六面体 ABCD

? A1 B1 C 1 D 1

中,M 为 AC 与 BD 的交点,若 A1 B 1 ? a, A1 D 1 ? b, A1 A ? c,则 A )。

下列向量中与 B 1 M 相等的向量是 ( A.? 1 a+ 1 b+c
2 2

A
1

C B
1 1

B. 1 a+ 1 b+c
2 2

C. a? b+c
1 1 2 2

D.? a? b+c
1 1 2 2

A

D B

C

3、 (2009 四川卷理)如图,已知正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的各条棱长都相等,M 是侧 棱 C C 1 的中点,则异面直线 A B1和 B M 所成的角的大是 。
1 2

解析:不

妨设棱长为 2,选择基向量 { BA , BB 1 , BC } ,则 AB 1 ? BB 1 ? BA , BM ? BC ?
1 2 2 2? 5

BB

1

( BB cos ? AB 1 , BM ? ?

1

? BA ) ? ( BC ?

BB 1 ) ?

0? 2? 2? 0 2 2? 5

? 0

,故填写 90 o 。

(五) 、小结:1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于 垂直,一般是利用 a⊥b ? a?b=0 进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量 定理进行证明. 2.运用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对 向量,然后计算这个向量对应的模.而计算过程中只要运用好加法法则,就总能利用一个 一个的向量三角形, 将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来, 从而求得结果. 3. 利 用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角 转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式 cosθ =
a ?b a b

. 4.异

面直线间的距离的向量求法:已知异面直线 l1、l2,AB 为其公垂线段,C、D 分别为 l1、l2
n 上的任意一点, 为与 AB 共线的向量, 则| AB |= | CD
?n |

.5. 设平面 α 的一个法向量为 n ,

|n|

点 P 是平面 α 外一点,且 Po∈α ,则点 P 到平面 α 的距离是 d= | Po P ? n | .
|n|

6

第二课时 空间向量的坐标运算 一、复习目标:1、理解空间向量坐标的概念;2、掌握空间向量的坐标运算; 3.掌握用 直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式. 二、重难点:掌握空间向量的坐标运算;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌 握空间两点间的距离公式. 三:教学方法:探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、基础知识过关(学生完成下列填空题) 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫 单位正交基底,用 {i , j , k } 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单 位正交基底 {i , j , k } ,以点 O 为原点,分别以 i , j , k 的方向为正方 向建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称 建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz , O 叫原点, 点 向量 i , j , k 都
? ? ?
x k i O j y

? ? ?

z

? ? ?

? ? ?

A(x,y,z)

叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xO y 平面, yO z 平面, zO x 平面; 2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一 的有序实数组 ( x , y , z ) ,使 OA ? x i ? y j ? z k ,有序实数组 ( x , y , z ) 叫作向量 A 在空间直角 坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A ( x , y , z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标. 3、设 a= ( a 1 , a 2 , a 3 ) ,b= ( b1 , b 2 , b 3 ) (1) a±b= = (4) a∥b ? 。 . ;a ? b ? . (2)
?

a=

.(3) a?b

7

(5)模长公式:若 a ? ( a1 , a 2 , a 3 ) , 则 | a |?
? ? ? ? a ?b (6)夹角公式: co s a ? b ? ? ? ? | a |?|b |

?

?

? ? a ?a ?

a1 ? a 2 ? a 3

2

2

2

. .

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a1 ? a 2 ? a 3
2 2 2

b1 ? b 2 ? b 3
????

2

2

2

(7)两点间的距离公式:若 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 | AB |? (8) 设 A ? ( x 1 , y 1 , z 1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = ,
AB ?

???? 2 2 2 2 AB ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )

. . 。如何求直线的方向向量? 。如何求平面的法向量?

AB 的中点 M 的坐标为 4、直线的方向向量的定义为 5、平面的法向量的定义为 (二)典型题型探析 题型 1:空间向量的坐标

例 1、 (1)已知两个非零向量 a =(a1,a2,a3) b =(b1,b2,b3) , ,它们平行的充要条件是 ( ) A. a :| a |= b :| b | C.a1b1+a2b2+a3b3=0 B.a1?b1=a2?b2=a3?b3 D.存在非零实数 k,使 a =k b )

(2)已知向量 a =(2,4,x) b =(2,y,2) , ,若| a |=6,a ⊥ b ,则 x+y 的值是( A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1 (3)下列各组向量共面的是( ) A. a =(1,2,3), b =(3,0,2), c =(4,2,5) B. a =(1,0,0), b =(0,1,0), c =(0,0,1) C. a =(1,1,0), b =(1,0,1), c =(0,1,1) D. a =(1,1,1), b =(1,1,0), c =(1,0,1) 解析: (1)D;点拨:由共线向量定线易知; (2)A (3)A 点拨:由共面向量基本定理可得。 点评:空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
2 ? ? 4 ? 16 ? x ? 36 ? x ? 4, ? ? ?4 ? 4 y ? 2 x ? 0 ? ? y ? ?3 点拨:由题知 ?

? x ? ?4, ? 或 ? y ? 1. ;

例 2、已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值. 思维入门指导:本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的 结果. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2) ,C(-3,0,4), a = AB , b = AC , ∴ a =(1,1,0), b =(-1,0,2).

8

(1)cos ? =

a ?b | a ||b |

?1 ? 0 ? 0

10

10

=

2?

5

? - 10

,∴ a 和 b 的夹角为-

10



(2)∵k a + b =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2) , k a -2 b =(k+2,k,-4) ,且(k a + b )⊥(k a -2 b ) , ∴(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0。
5

则 k=- 2 或 k=2。 点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。 a + b )(k a -2 b )=k2 a 2-k a ? b - (
5

2 b =2k +k-10=0,解得 k=- 2 ,或 k=2。 题型 2:数量积 例 3、 (2008 上海文, 2) (1) 理 已知向量 a 和 b 的夹角为 120°, a |=2, b |=5, (2 a 且| | 则 - b ) a =_____. ? (2)设空间两个不同的单位向量 a =(x1,y1,0), b =(x2,y2,0)与向量 c =(1,1,1)的夹
?

2

2

角都等于 4 。(1)求 x1+y1 和 x1y1 的值;(2)求< a , b >的大小(其中 0<< a , b ><π ) 。 解析: 答案: 解析: (2 a - b ) a =2 a 2- b ?a =2| a |2-| a |? b |? (1) 13; ∵ ? | cos120° =2?4-2?5(-
1 2
? ?
2 2
1 ?1 ?1
2 2 2

)=13。 (2)解:(1)∵| a |=| b |=1,∴x 1 +y 1 =1,∴x 2 =y 2 =1.
6

2

2

2

2

又∵ a 与 c 的夹角为 4 ,∴ a ? c =| a || c |cos 4 =
6

=

2

.

又∵ a ? c =x1+y1,∴x1+y1=
2 1 2 1

2


6
1
2

1

另外 x +y =(x1+y1) -2x1y1=1,∴2x1y1=( (2)cos< a , b >=
a ?b | a ||b |
6
1

2

2

) -1= .∴x1y1= 4 。
2

6

1

=x1x2+y1y2,由(1)知,x1+y1=

2

,x1y1= 4 .

∴x1,y1 是方程 x -
? ? x1 ? ? ? ? y ? ? 1 ? 6 ? 4 6 ? 4 2 , 2 ,

2

2

x+ 4 =0 的解.
6 ? 4 6 ? 4 2 . 2 , ? ?x2 ? ? ? ? y ? ? 2 ? 6 ? 4 6 ? 4 2 , 2 , ? ?x2 ? ? ? ? y ? ? 2 ? 6 ? 4 6 ? 4 2 . 2 ,





? ? x1 ? ? ? ? y ? ? 1 ?

同理可得



9

∵ a ≠ b ,∴

? ? x1 ? y 2 ? ? ? ? x ? y1 ? ? 2 ?

6 ? 4 6 ? 4

2

,

2

,


2

? ? x1 ? y 2 ? ? ? ? x ? y1 ? ? 2 ?

6 ? 4 6 ? 4

2

,

2

.

6 ?

2

6 ?

6 ?

2

6 ?

2

1

1

1

∴cos< a , b >=

4

?

4

+
?

4

?

4

=4 +4 =2 .

∵0≤< a , b >≤π,∴< a , b >= 3 。评述:本题考查向量数量积的运算法则。 题型 3:空间向量的应用 例 4、 (1)已知 a、b、c 为正数,且 a+b+c=1,求证: 13 a ? 1 + 13 b ? 1 + 13 c ? 1 ≤4 3 。 (2)已知 F1=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若 F1,F2,F3 共同作用于同一物体上, 使物体从点 M1(1,-2,1)移到点 M2(3,1,2),求物体合力做的功。 解析: (1)设 m =( 则| m |=4,| n |= ∴m ?n =
1

13 a ? 1 3



13 b ? 1



13 c ? 1

), n =(1,1,1),

.
13 b ? 1
1

∵ m ? n ≤| m |?| n |,
13 a ? 1
1

+ =

+

13 c ? 1

≤| m |?| n |=4
1

3

.



13 a ? 1

=

13 b ? 1

13 c ? 1

时,即 a=b=c= 3 时,取“=”号。

(2)解:W=F?s=(F1+F2+F3)? M 1 M 2 =14。 点评:若 m =(x,y,z), n =(a,b,c),则由 m ? n ≤| m |?| n |,得(ax+by+cz)2≤ (a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查| a |?| b |≥ a ? b 的应用, 解题时要先根据题设条件构造向量 a , b ,然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数 量积对应做功问题。 (三) 、强化巩固训练 1、(07 天津理,4)设 a 、 b 、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①( a ? b ) c -( c ? a ) b = 0
b

②| a |-| b |<| a - b |

③( b ? c ) a -( c ? a ) )

不与 c 垂直

④(3 a +2 b ) a -2 b )=9| a |2-4| b |2 中,是真命题的有( (3

A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;答案:D ②由向量的减法运算可知| a |、| b |、| a - b |恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差 小于第三边” ,故②真; ③因为[ b ? c ) a -( c ? a ) b ] c =( b ? c ) a ? c -( c ? a ) b ? c =0,所以垂 ( ? 直.故③假;

10

④(3 a +2 b ) a -2 b )=9? a ? a -4 b ? b =9| a |2-4| b |2 成立.故④真. (3 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律。 2、已知 O 为原点,向量 O A ? ? 3, 0,1 ? , O B ? ? ? 1,1, 2 ? , O C ? O A , B C ∥ O A ,求 A C . 解:设 O C ? ? x , y , z ? , B C ? ? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? , ∵ O C ? O A , B C ∥ O A ,∴ O C ? O A ? 0 , B C ? ? O A ? ? ? R ? ,
? 3 x ? z ? 0, ? ? 3 x ? z ? 0, ? ? x ? 1 ? 3? , ∴? ,即 ? ? ? x ? 1, y ? 1, z ? 2 ? ? ? ? 3, 0,1 ? ? ? y ? 1 ? 0, ?z ? 2 ? ?. ?
???? ??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

??? ?

????

????

??? ?

??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

解此方程组,得 x ? ?

7 10

, y ? 1, z ?

21 10

,? ?

1 10



(四) 、小结: (1) 共线与共面问题;(2) 平行与垂直问题;(3) 夹角问题;(4) 距离问题; 运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势.用空间向量解题的关键步骤是把所求向量 用某个合适的基底表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐 标系,把向量用坐标表示,然后进行向量与向量的坐标运算,最后通过向量在数量上的关 系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决.在寻求向量间的数量关系时,一个 基本的思路是列方程,解方程.

第三课时 空间向量及其运算强化训练 一、复习目标:1、了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向 量的正交分解及其坐标表示;2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;3、 掌握空间 向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;4、通过本课强 化训练,使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法,提高学生的灵活和综合运用 能力。 二、重难点:空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳。 四、教学过程 (一) 、基础自测(分组训练、共同交流) 1.有 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a、b 共面;②若 p 与 a、b 共面,则 p=xa+yb;

11

③若 MP =x MA +y MB ,则 P、M、A、B 共面;④若 P、M、A、B 共面,则 MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是( B ) 。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。 A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等而方向相同或相反 C.若向量 AB , CD 满足| AB |>| CD |,且 AB 与 CD 同向,则 AB > CD D.若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB + CD =0,则 AB ∥ CD 3.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 a∥b,则 ( A.x=1,y=1 C.x= 1 ,y=- 3
6

C

) 。

B.x= 1 ,y=- 1
2 2

D.x=- 1 ,y= 3
6

2

2

4.已知 A(1,2,3) ,B(2,1,2) ,P(1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,当 QA ? QB 取 最小值时,点 Q 的坐标是 .
OC

答案

?4 4 8? ? , , ? ?3 3 3?

OA 5.在四面体 O-ABC 中, =a, OB =b,

=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, OE = 则
4

(用

a,b,c 表示). (二) 、典例探析

答案

1 2

a+ 1 b+ 1 c
4

例 1、 如图所示, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA 1 =a, 设
AB

=b, AD =c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,

试用 a,b,c 表示以下各向量: (1) AP ; (2) A1 N ; (3) MP + NC 1 . 解 (1)∵P 是 C1D1 的中点,∴ AP = AA 1 + A1 D 1 + D 1 P =a+ AD + 1 (2)∵N 是 BC 的中点,∴ A1 N = A1 A + AB + BN =-a+b+ 1 (3)∵M 是 AA1 的中点,∴ MP = MA + AP = 1
2 2

D1C 1

=a+c+ 1
2
AD

AB

=a+c+ 1 b.
2

BC

=-a+b+ 1
2

=-a+b+ 1 c.
2 1 2

2

A1 A

+ AP =- 1 a+(a+c+ 1 b)=
2 2
AD

a+ 1 b+c,
2 1 2


MP

NC 1

=

NC

+

CC 1

=

1 2

BC

+

AA 1

=

1 2

+

AA 1

=

c+a , ∴

+ NC 1 =( 1 a+ 1 b+c)+(a+ 1 c)= 3 a+ 1 b+ 3 c.
2 2 2 2 2 2

例 2、如图所示,已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a,点 M、N 分别是 AB、CD 的中点.

12

(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求 MN 的长; (3)求异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值. (1)证明 设 AB =p, AC =q, AD =r. 由题意可知:|p|=|q|=|r|=a,且 p、q、r 三向量两两夹角均为 60°.
MN

= AN - AM = 1 ( AC + AD )- 1
2 2

AB

= 1 (q+r-p) ,
2

∴ MN ? AB = 1 (q+r-p) ?p= 1 (q?p+r?p-p2)= 1 (a2?cos60°+a2?cos60°-a2)=0.
2 2 2

∴MN⊥AB,同理可证 MN⊥CD. (2)解 由(1)可知 MN = 1 (q+r-p)∴| MN |2= MN 2= 1 (q+r-p)2
2
2

4
2 2

= 1 [q2+r2+p2+2(q?r-p?q-r?p) 1 [a2+a2+a2+2( a - a - a )] ]=
4 4
2

2
2 2

2

2

= 1 ?2a2= a .
4

∴| MN |=

2 2

a,∴MN 的长为

a.

2

(3)解 设向量 AN 与 MC 的夹角为 ? . ∵ AN = 1 ( AC + AD )= 1 (q+r),
2 2
MC

= AC - AM =q- 1 p,
2

∴ AN ? MC = 1 (q+r)(q- 1 p)= 1 (q2- 1 q?p+r?q- 1 r?p) ?
2 2 2 2 2
2 2 2 2

= 1 (a2- 1 a2?cos60°+a2?cos60°- 1 a2?cos60°)= 1 (a2- a + a - a )= a .
2 2
3 2 a

2

2

4

2

4

2

又∵| AN |=| MC |=


3 2 a

∴ AN ? MC =| AN |?| MC |?cos ? =

?

3 2

a

?cos ? = a .
2

2

∴cos ? = 2 ,
3

∴向量 AN 与 MC 的夹角的余弦值为 2 ,从而异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值为 2 .
3 3

例 3、 (1)求与向量 a=(2,-1,2)共线且满足方程 a?x=-18 的向量 x 的坐标; (2)已知 A、B、C 三点坐标分别为(2,-1,2)(4,5,-1)(-2,2,3) , , ,求点 P 的 坐标使得 AP = 1 ( AB - AC ) ;
2

(3)已知 a=(3,5,-4) ,b=(2,1,8) ,求:①a?b;②a 与 b 夹角的余弦值; ③确定 ? , ? 的值使得 ? a+ ? b 与 z 轴垂直,且( ? a+ ? b)(a+b)=53. ? 解 (1)∵x 与 a 共线,故可设 x=ka, 由 a?x=-18 得 a?ka=k|a|2=k( 4 ? 1 ? 4 )2=9k,∴9k=-18,故 k=-2. ∴x=-2a=(-4,2,-4). (2)设 P(x,y,z) ,则 AP =(x-2,y+1,z-2) ,
AB

=(2,6,-3) AC =(-4,3,1) , ,∵ AP = 1 ( AB - AC ).
2

∴(x-2,y+1,z-2)= 1 [ (2,6,-3)-(-4,3,1) 1 (6,3,-4)=(3, 3 ,-2) ]=
2 2 2

13



?x ? 2 ? ? ? ?y ?1 ? ? ?z ? 2 ? ?

3 3 2 ?2

,解得

?x ? 5 ? 1 ? ?y ? 2 ? ?z ? 0 ?

∴P 点坐标为(5, 1 ,0).
2

(3)①a?b=(3,5,-4)(2,1,8)=3?2+5?1-4?8=-21. ? ②∵|a|=
3
2

?5

2

? (?4)

2

=5

2

, =- 7
69

|b|=
138 230

2

2

?1

2

?8

2

=

69

,
138 230

∴cos〈a,b〉=

a ?b a b

=

? 21 5 2 ?

.∴a 与 b 夹角的余弦值为- 7

.

③取 z 轴上的单位向量 n=(0,0,1) ,a+b=(5,6,4). 依题意 故?
? ?? a ? ? b ? ? a ? 0 ? ? ?? a ? ? b ? ? ?a ? b ? ? 53

? ?3 ? ? 2 ? , 5 ? ? ? , ? 4 ? ? 8 ? ? ? ?0 , 0 ,1 ? ? 0 即 ? ?3 ? ? 2 ? ,5 ? ? ? , ? 4 ? ? 8 ? ? ? ?5 , 6 , 4 ? ? 53 ?

??4? ? 8? ? 0 ? 29 ? ? 18 ? ? 53

解得 ? ?

?? ? 1 1 ?? ? 2 ?

.

(三) 、强化训练:如图所示,正四面体 V—ABC 的高 VD 的中点为 O,VC 的中点为 M. (1)求证:AO、BO、CO 两两垂直; (2)求〈 DM , AO 〉. (1)证明 设 VA =a, VB =b, VC =c,正四面体的棱长为 1, 则 VD = 1 (a+b+c), AO = 1 (b+c-5a),
3 6

BO

= 1 (a+c-5b),
6

CO

= 1 (a+b-5c)
6 1 36

∴ =
1 36

AO

?

BO

=

1 36

( b+c-5a ) ( a+c-5b ) = ?

(18a? b-9|a|2)

(18?1?1?cos60°-9)=0.∴ AO ⊥ BO ,∴AO⊥BO,同理 AO⊥CO,BO⊥CO,

∴AO、BO、CO 两两垂直. (2)解
DM

= DV + VM =- 1 (a+b+c)+ 1 c= 1 (-2a-2b+c).∴| DM |=
3

2

6

?1 ? ? ? ? 2 a ? 2 b ? c ?? 6 ? ?

2

=1 ,
2

| AO |=

?1 ? ? ? b ? c ? 5 a ?? ?6 ?

2

=
1

2 2

, DM ? AO = 1 (-2a-2b+c) 1 (b+c-5a)= 1 , ?
6 6 4

∴cos〈 DM , AO 〉=
1 2 ?

4 2 2

=

2 2

,∵〈 DM , AO 〉∈(0, ? ),∴〈 DM ,

AO

〉=45°.

(四) 、小结:本节主要有空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量,垂直 向量坐标之间的关系以及中点公式,要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空 间向量的坐标运算同平面向量类似, 具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式

14

不一样,实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间 具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样,但实质是一致 的,即对应坐标成比例,且比值为 ? ,对于中点公式要熟记。 (五) 、 补充:1、已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E、F 分别是 BC、AD 的 中点,则 AE ? AF 的值为( C )A.a2 B. 1 a
2
2

C. 1 a
4

2

D.

3 4

a

2

2、已知 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) 为线段 AB 上一点,且 AC = 1 ,则 C 点的坐标 ,C
AB 3

为(

C
2

) B.
( 8 3

A. ( 7 ,? 1 , 5 )
2 2

, ? 3,2 )

C. ( 10 ,? 1, 7 )
3 3

D.

(

5 2

,?

7 2

, )
2

3

3、如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1,且两 两夹角为 60°. (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. 解 记 AB =a, AD =b, AA 1 =c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a?b=b?c=c?a= 1 .
2

(1)| AC 1 |2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a?b+b?c+c?a)=1+1+1+2?( 1 + 1 + 1 )=6,
2 2 2

∴| AC 1 |=

6

,即 AC1 的长为

6

.
2

(2) BD 1 =b+c-a, AC =a+b,∴| BD 1 |=
BD 1

,| AC |=

3

,
BD 1 ? AC BD 1 AC

? AC =(b+c-a)(a+b)=b2-a2+a?c+b?c=1.∴cos〈 BD 1 , AC 〉= ?
6 6

=

6 6

.

∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为

.

立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离 一.考纲要求: 1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离; 2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几 何问题中的作用。 二.命题走向: 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容,高考对本节的考查主要有以下情况:

15

(1)空间的夹角; (2)空间的距离; (3)空间向量在求夹角和距离中的应用。 预测 2010 年高考对本节内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡 化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解,而是加大了向量在这方面内容应用的 讲解,因此作为立体几何的解答题,用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法,在复 习时应加大这方面的训练力度。 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查。 第一课时 空间夹角和距离 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离;2.能用向量方 法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一) 、谈最新考纲要求及新课程高考命题考查情况,促使积极参与。 学生阅读复资 132 页,教师讲解,增强目标与参与意识。 (二) 、知识梳理,方法定位(学生完成复资 P132 页填空题,教师准对问题讲评) 1.空间中各种角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 (1)异面直线所成的角的范围是 ( 0 , ] 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是
2

?

通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下: ①利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选择在特殊的位置上; ②证明作出的角即为所求的角; ③利用三角形来求角。 (2) 直线与平面所成的角的范围是 [ 0 , ] 。 求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
2

?

具体步骤如下: ①找过斜线上一点与平面垂直的直线; D ②连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影, 确定出所求 的角; ③把该角置于三角形中计算。 注:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何 一条直线所 成的一切角中的最小角,即若 θ 为线面角,α 为斜 线与平面内 A C 任何一条直线所成的角,则有 ? ? ? ; ? B (3)确定点的射影位置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影 在这个角的平分线上;如果一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一条直线在平 面上的射影在这个角的平分线上; ③两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面 的交线上; ④利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角
16

形的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等, 那么顶点落在底面上的 射影是底面三角形的内心(或旁心); c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直, 那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的垂心; (4)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指 ( 0 , ? ] ,解题时要注意图形的位置和 题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法

①棱上一点双垂线法:在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两 条射线所成的角,就是二面角的平面角; ②面上一点三垂线法:自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂 线得到棱上的点(即垂足) ,斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面 角的平面角; ③空间一点垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射 线所成的角就是二面角的平面角。 斜面面积和射影面积的关系公式:S ? ? S ? cos ? ( S 为原斜面面积, S ? 为射影面积, ? 为斜 面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角 的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式, 求出二面角的大小。 2.空间的距离 (1)点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长,常先找或 作直线 a 所在平面的垂线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线 定理可得线段PB即为点P到直线 a 的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。 点到平面的距离:点P到平面 ? 的距离为点P到平面 ? 的垂线段的长.常用求法①作 出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面 ? 的斜线上两点A,B到斜 足C的距离AB,AC的比为 m : n ,则点A,B到平面 ? 的距离之比也为 m : n .特别地, AB=AC时,点A,B到平面 ? 的距离相等;③体积法 (2)异面直线间的距离:异面直线 a , b 间的距离为 a , b 间的公垂线段的长.常有求法 ①先证线段AB为异面直线 a , b 的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出过 b 且 与 a 平行的平面,则直线 a 到平面的距离就是异面直线 a , b 间的距离.③找或作出分别过 a , b 且与 b , a 分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线 a , b 间的距离.④根据 异面直线间的距离公式求距离。 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面 间的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到

17

另一个平面的距离。 以上所说的所有距离:点线距,点面距,线线距,线面距,面面距都是对应图形上两 点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 3.空间向量的应用 (1)用法向量求异面直线间的距离 E 如右图所示,a、b 是两异面直线, n 是 a 和 b 点 E∈a,F∈b,则异面直线 a 与 b 之间的距离是
d ? EF ? n

a

的法向量,


n

(2)用法向量求点到平面的距离 如右图所示,已知 AB 是平面α 的 一条斜线,

b

F A
n

为平面

n
α 的法向量,则 A 到平面α 的距离为 d ?
AB ? n


n

C α

B

(3)用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平 面的距离问题。 (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距 离问题转化成点到平面的距离问题。 (5)用法向量求二面角 如图,有两个平面 α 与 β ,分别作这两个平面 的法向量 α
n1

与n2 , 则平面 α 与 β 所成的角跟法向量 n 1 与 n 2

n1
n2

所成的角相
β

等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝 (6)法向量求直线与平面所成的角 要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ , 先求这个平面 量 n 与直线 a 的夹角的余弦 cos n , a ,易知 θ = n , a 或者 (三) 、基础巩固导练 1、在平行六面体 ABCD— A ' B ' C ' D ' 中,设 AC ' ? A.
11 6

角。 α 的法向

?
2

? n, a



x AB ? 2 y BC ? 3 z CC ' ,则

x+y+z=(A )

B.

5 6

C.

2 3

D.

7 6

2、 在正方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1 中, 是棱 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, 为棱 A1B1 M 点 P 上任意一点,则异面直线 OP 与 AM 所成角的大小为( C )

18

A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D. 与 P 点位置无关

3、如图,正方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1 中,E、F 分别是 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角的余弦值为( B )

A.

3 3

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 6

4、 如图所示,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE。

(1)求证:AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B-AC-E 的大小; (3)求点 D 到平面 ACE 的距离。10、 (1)略(2) arcsin
6 3

(3)

2 3 3

(四) 、小结:本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中:1、线面角的求 法: 2、二面角的求法:①AB,CD 分别是二面角 ? 直线,则二面角的大小为 法向量,则 cos
n1,n 2 ?
AB , CD

— l — ? 的两个面内与棱

l 垂直的异面 的

。3、设 n 1 , n 2 分别是二面角 ?

— l — ? 的两个平面 ? , ?

n1 ? n 2 | n1 | ?| n 2 |

, n1,n 2

就是二面角的平面角或其补角。4、异面直线间距

离的求法: 5、点面距离的求法: 6、线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中 方法求解。



19

用向量法求空间夹角 ——热点考点题型探析 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角;2.能用向量方法解决 线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究 题型,掌握解法。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型,掌握解法。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一)热点考点题型探析 题型 1:异面直线所成的角 例 1、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余 弦 值 表 z 示) D1 C1 解析:建立坐标系如图, 则 A ? 2, 0, 0 ? 、 B ? 2, 2, 0 ? , C ? 0, 2, 0 ? ,
A1
A1 ? 2, 0, 2 ? , 1 ? 2, 2, 2 ? , 1 ? 0, 0, 2 ? , ? 2,1, 0 ? B D E
???? ? A1 C ? ? ? 2, 2, ? 2 ? , ???? ? D 1 E ? ? 2,1, ? 2 ?

第二课时

B1


D y C E B



??? ? A B ? ? 0, 2, 0 ?


x

A

???? ? B B1 ? ? 0, 0, 2 ? 。

不难证明 A1 C 为平面 BC1D 的法向量, ∵
???? ???? ? ? ???? ???? ? ? A1 C ?D 1 E 3 co s A1 C , D 1 E ? ???? ???? ? ? ? 9 A1 C D 1 E

???? ?



∴ D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为

3 9



反思归纳:将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型 2:直线与平面所成的角 例 2、 (09 年高考试题)如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB= 90?,侧棱 AA1=2,D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重 心 G。求 A1B 与平面 ABD 所成角的大 小(结果用 z 余弦值表示) ; C1 解析:如图所示,建立坐标系, 坐标原点为 A1 C,设 CA=2a,则 A(2a,0,0),B(0, 2a, D(0, 0), B1 0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1), D
D E
20

K G x A

C B y

G( 2 a , 2 a , 1 ) ,
3 3 3



??? ? a a 2 GE ? ? ,? ,? 3 3 3

?

?,

???? B D ? ? 0, ? 2 a ,1 ? ,

??? ???? ? 2 2 2 G E ?B D ? a ? ? 0 3 3



∴ a=1, G E

??? ?

? ?

?

1 1 2 ,? ,? 3 3 3

?,


???? ? A1 B ? ? ? 2, 2, ? 2 ?



???? GE

为平面 ABD

???? ??? ? ? ???? ??? ? ? A1 B ?G E 的法向量,且 co s A1 B , G E ? ???? ???? ? 2 ? 3 A1 B G E

∴ A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是

2 3



反思归纳:先处理平面的法向量,再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为 线面角。 题型 3:二面角 例 3、 (08 年高考)在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a,E 为 BC 中点。 (1) 求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的 切值表示);
E

为正方形,
O

大小(用正

(2) 求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的

F

大小。

解析:(1)延长 AB、DE 交于点 F,则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱,∵PA⊥平面 ABCD,∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面 BPA 于 A, 过 A 作 AO⊥PF 于 O, 连结 OD, 则∠AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。 易得 tan ? AOD ?
5 2

,故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为

5 2



(2)解法 1(面积法)如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A, ∴DA⊥平面 BPA 于 A, 同时,BC⊥平面 BPA 于 B,

21

∴△PBA 是△PCD 在平面 PBA 上的射影, 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 θ , cosθ =S△PAB/S△PCD= /2 θ =450。 即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45°。 解法 2(补形化为定义法) 如图:将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN, 于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。 在 Rt△PAD 中,PA=AD,则∠APD=45°。即平面 BAP 成二面角的大小为 45°。 (二) 、强化巩固训练 则 PQ⊥PA、 PD,

与平面 PDC 所

1、 (2007 年,北京卷高考题)如图 6,正三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的底面边长为 3,侧棱
AA 1 ? 3 2 3

,D 是 CB 延长线上一点,且 BD ? BC 。求二面角 B 1 ? AD ? B 的大小。 (略去了

该题的①,③问) 2、 (06 四川卷)已知球 O 的半径是 1, A 、 B 、 C 三点都在球面上, A 、 B 两点和 A 、 C
? ?

C 两点的球面距离都是 4 ,B 、 两点的球面距离是 3 , 则二面角 B ? O A ? C 的大小是 (



?

?

?

2?

(A) 4

(B) 3

(C) 2

(D)

3

1、解析: (1)取 BC 的中点 O,连 AO。 由题意:平面 ABC ? 平面 BCC 1 B 1 , AO ? BC ,∴ AO ? 平面 BCC 1 B 1 , 以 O 为原点, 建立如图 6 所示空间直角坐标系,
z


B1 (

A ( 0 ,0 ,

3 2

3)



B(

3 2

, 0 , 0)


9 2 3 2

D(

9 2 3 2

, 0 , 0)



A

A1

3 3 , 2 2

3 , 0)





AD ? (

,0 , ?

3)

C

C1


B D

O B1

y

B 1 D ? 3, ? (

3 2

3 , 0)



BB 1 ? 0 , (

3 , 0)


3 2 3 , 0)

x

由题意

BB 1 ?

平面 ABD, ∴

BB 1 ? 0 , (

为平面 ABD 的法向量。

22

设 平面 AB 1 D 的法向量为 n 2 ? ( x , y , z ) ,
3 ?9 x? 3z ? 0 ?2 2 ? 3 ? 3x ? 3y ? 0 2 ?
3 ? 3y ?x ? 2 ? ? z ? 3x ?

? n ? AD ? 2 ? ? n ? B1 D 则? 2





? n ? AD ? 0 ? 2 ? ? n 2 ? B1 D ? 0 ?





,即
3



∴ 不妨设

n2 ? (

3 2

,1,

3 2

cos ? BB 1 , n 2 ??
)

BB 1 ? n 2 | BB 1 | ? | n 2 |

3 ? 3?2

?

2 3 2

1 2

,由



? ? 得 ? BB 1 , n 2 ?? 60 。 故所求二面角 B 1 ? AD ? B 的大小为 60 。

评析: (1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲:“找 ——证——求”直接简化成了一步曲: “计算”, 这表面似乎谈化了学生的空间想象能力, 但实质不然, 向量法对学生的空间想象能力要求更高, 也更加注重对学生创新能力的培养, 体现了教育改革的精神; (2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取
n 2 ? (? 3 2 , ? 1, ? 3 2 )

时,会算得

cos ? BB 1 , n 2 ?? ?

1 2

,从而所求二面角为 120 ,但依题意只

?

为 60 。因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依 题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”。 2、解析:球 O 的半径是 R= 1 , A , B , C 三点都在球面上, A , B 两点和 A , C 两点的球面距离
?
?

?

?

?

都是 4 ,则∠AOB,∠AOC 都等于 4 ,AB=AC, B , C 两点的球面距离是 3 ,∠BOC= 3 ,BC=1, 过 B 做 BD⊥AO,垂足为 D,连接 CD,则 CD⊥AD,则∠BDC 是二面角 B ? O A ? C 的平面角,
2
?

?

BD=CD=

2

,∴∠BDC= 2 ,二面角 B ? O A ? C 的大小是 2 ,选 C。

(三) 、小结:本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中:1、线面角的求法: 2、二面角的求法:①AB,CD 分别是二面角 ? 则二面角的大小为 则 cos
n1,n 2 ?
AB , CD

— l — ? 的两个面内与棱

l 垂直的异面直线,

。 设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? 3、

— l — ? 的两个平面 ? , ? 的法向量,

n1 ? n 2 | n1 | ?| n 2 |

, n1,n 2

就是二面角的平面角或其补角。教师引导学生反思归纳回

23

顾,进一步深化理解。 (

用向量法求空间的距离 ——热点考点题型探析 一、复习目标:1.能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离;2.能用向量方法解决 线线、线面、面面的距离的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究 题型,掌握解法。 二、重难点:向量法在立体几何中求空间的距离应用。探究题型,掌握解法。 三、教学方法:讲练结合,探析归纳 四、教学过程 (一)热点考点题型探析 z 题型 1:异面直线间的距离 S 例 1、如图 2,正四棱锥 S ? A B C D 的高 S O ? 2 , 底边长 A B
? 2

第三课时

。求异面直线 B D 和 S C
D A
, 0)
x

之间的距离? 分析:建立如图所示的直角坐标系,则
A ( 2 2 ,? 2 2 , 0)

O 图2
??? ? CS ? (

C
y


D

B

(

2 2

,

2 2

B


???? ? DB ? ( 2,

C

(?

2 2

,

2 2

, 0)



(?

2 2

,?

2 2

, 0)

2 2



S

(0, 0, 2)



2 , 0)



,?

2 2

, 2)



令向量 n ? ( x , y ,1) ,且 n ?
? ???? ?n ? DB ? 0 ? ? ? ? ? ??? ? 则 ? n ?CS ? 0 ,

?

?

???? ? ??? ? DB, n ? CS


x? y ? 0 ? ? ? ? ,?x ? y ? 2 2 ? 0

? ( x , y ,1) ? ( 2 , 2 , 0 ) ? 0 ? ? 2 2 ,? , 2) ? 0 ? ( x , y ,1) ? ( ? 2 2

?x ? ? 2 ? ?? ? , ? y? 2

,? n ? ( ?

?

2,

2 ,1)



? 异面直线 B D

和 S C 之间的距离为:

24

2 2 ???? ? (? , , 0) ? (? 2 , OC ? n 2 2 ? d ? ? ( ? 2 , 2 ,1) n

2 ,1)
? 1?1? 0 (? 2 ) ? ( 2 ) ? 1
2 2 2

?

2 5 5

。 方形, 于A

题型 2:点面距离 例 2、如图,已知ABCD为边长是4的正 E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直 BCD所在的平面,且GC=2,求点B到 平面EFG的距离。 解 法 一 : 连 结 B F , B G ,
S ? BEF ? 1 2 BE ? FA ? 1 2 ?2?2 ? 2



D F E A

O?





E O E E B



又E,F分别是AB,AD的中点,
? EF ? 1 2 BD ? 2 2 , CH ? 3 4 AC ,

? GH ?

GC

2

? CH

2

?

2

2

?3 ? ?? 4 2? ?4 ?

2

?
1 3

22


2 3 11 h

S ? GEF ?

1 2

?2 2 ?

22 ? 2 11



V B ? EFG ?

? 2 11 ? h ?



V G ? BEF ?

1 3

?2?2



?h ?

2 11 11



解法二.? E,F分别是AB,AD的中点,? EF//BD,? B到平面GEF的距离 为BD上任一点到平面GEF的距离,BD ? AC于O,EF//BD,
? EF ? AC ,

又GC ? 平面ABCD,EF ? 平面ABCD,? EF ? GC,EF ? 平面G

EF,? 平面GEF ? 平面GCH,过O点作 O O ? ? HG,则 O O ? ? 平面GEF, O O ? 为 O到平面GCH的距离,即B到平面GEF的距离。
OH ? 1 4
OH GH OO ? GC

AC ?

2

由 解 法 一 知 : GH ?
2 11 11

22

, 由 ? HO O ? ∽ ? HCG



?

,OO ? ?



思维点拔:注意点距,线面距,面面距的转化,利用平面互相垂直作距离也是一种常用的 方法。 题型 6:线面距离

25

例 3、 已知正三棱柱 ABC 对角线 B 1 C
? 10

? A1 B 1 C 1

的底面边长为 8,

A1

C1

,D 是 AC 的中点。 (1)求点 B 1 到

B1

直线 AC 的距离。 (2)求直线 AB 1 到平面 C 1 BD 的 解析: (1)连结 BD,
B 1 D ? AC B1 D

距离。
A D B C

,由三垂线定理可得:

,所以 B 1 D 就是 B 1 点到直线 AC 的距
BB 1 ? ? B1 B
2

离。

在 Rt ? B 1 BD 中
? B1 D ? BD
2

B1C

2

? BC

2

?

10

2

?8

2

? 6 , BD ? 4 3



? 2 21


? BC 1 ? E

(2)因为 AC 与平面 BD

C1

交于AC的中点D,设 B 1 C
C1

,则 AB 1 //DE,所以 AB 1 // 的距离,等于C点到平面

平面 C 1 BD ,所以 AB 1 到平面 BD BD
C1

的距离等于A点到平面 BD

C1

的距离,也就等于三棱锥 C ? BDC 1 的高。
? VC

? V C ? BDC

1

1 ? BDC

, 3

?

1

hS

? BDC

?
1

1 3

S ? BDC CC 1



?h ?

12 13 13

所以,直线 AB 1 到平面 BD

C1

12 13

的距离是 13



思维点拔:求空间距离多用转化的思想。 例 4、如图,已知边长为 4
E
2

的正三角形 A B C 中,

P

、 F 分别为 B C 和 A C 的中点, P A ? 面 A B C ,且 P A ? 2 ,设平面 ? 过 P F 且与 A E 平行。 求 A E 与平 ? 间的距离?
??? ? 分析:设 A P ???? 、 AE

F A E B

C



???? 、 EC

的单位向量分别为 、

?? e1

?? ? e2

?? ? e3

,选取{ ,

?? e1

?? ? e2



?? ? e3

}作为空间向量的一组基底。 ,
??? ? ?? ??? ? ?? ???? ? ?? ? A P ? 2 e1 , A E ? 2 6 e 2 , E C ? 2 2 e 3 , ?? ? 6 e2 ? ?? ? 2 e3

易知

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? e1 ? e 2 ? e1 ? e 3 ? e 2 ? e 3 ? 0
??? 1 ???? ? PA ? AC 2 =

??? ? ??? ???? ? PF ? PA ? AF

??? 1 ???? ???? ? ?? PA ? ( AE ? EC ) ? 2 e1 ? 2 = =

, ,



? ?? ?? ?? ? ? n ? x e1 ? y e 2 ? e 3

是平面 ? 的一个法向量,则

? ??? ? ? ??? ? n ? AE , n ? PF

26

? ???? ?n ? AE ? 0 ? ? ? ? ???? ?n ? PF ? 0 ?

? ? ? ?? ? ? 2 x e1 ? ,即

?? ? 2 6 y e2
2

2

? 0 ? ?? ? 2 e3
2

?

?? ? 6 y e2

2

? y ? 0 ? ? ? 2 ? 0 ?x ? ? 2


?? 2 e1 ? ( ? 2 ?? ?? e1 ? e 3 ) 2
2

? ?n ?

? 2 ?? ?? e1 ? e 3 . 2 ? 直线 A E

与平面 ? 间的距离 d

?

??? ? ? Ap ? n ? n

?

2 3 3

.

=
?4

2 ?? e1 2

?? ? ? e3

2

(二) 、强化巩固训练 长方体 ABCD— A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB=4,AD=6, AA 1 ,M 是 A1C1 的中点,P 在线段 BC

上,且|CP|=2,Q 是 DD1 的中点,求: (1)异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值; (2)M 到直线 PQ 的距离; (3)M 到平面 AB1P 的距离。 解析: (1)方法一: 如图,建立空间直角坐标系 B—xyz,则 A(4,0,0) ,M(2,3,4) ,P(0,4,0) , Q(4,6,2) , ∴ AM
| PQ | ? 4
2

? ( ? 2 , 3 , 4 ) , PQ ? ( 4 , 2 , 2 )

?| AM |?

(?2)

2

?3

2

? 4

2

?

29

? 2

2

? 2

2

?

24

AM ? PQ ? ( ? 2 ) ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 6 ? cos AM , PQ ? AM ? PQ | AM || PQ | ? 174 58

故异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值为

174 58

方法二:
? AM ? AA
1

? A 1 M ? AA

1

?

1 2

A 1B1 ?

1 2

A 1D 1

, PQ

? PC ? CD ? DQ

∴ AM

? PQ

27

? ( AA ? ? 1 2 1 2

1

?

1 2

A 1B1 ? 1 2

1 2

A 1 D 1 )( PC ? CD ? DQ ) ? DQ
? cos AM , PQ ? AM ? PQ | AM | ? | PQ | ? 174 58

A 1 D 1 ? PC ? ?6?2? 4 4
2 2

A 1 B 1 ? CD ? AA

1

1 2

? 4 ? (?4) ? 4 ? 2 ? 6
2

?| AM | ? | PQ | ?

? 2
2

?3
2

2

? 24

29

? 2

? 2

?

故异面直线 AM 与 PQ 所成角的余弦值为 (2)∵ QM
? ( ? 2 , ? 3 , 2 ), QP ? ( ? 4 , ? 2 , ? 2 ) ,

174 58

∴ QM 在 QP 上的射影的模 ?

QM ? QP | QP |

?

( ? 2 ) ? ( ? 4 ) ? ( ? 3) ? ( ? 2 ) ? 2 ? ( ? 2 ) (?4)
2

? (?2)

2

? (?2)

2

?

10 24

?

5 6 6
25 6 462 6
AB 1 , n ? AP

故 M 到 PQ 的距离为

?5 6 | QM | ? ? ? 6 ?
2

? ? ? ?

2

?

17 ?

?

(3)设 n ? ( x , y , z ) 是平面 AB 1 P 的某一法向量,则 n ? ∵ AB 1
?? 4x ? 4z ? 0 ? ( ? 4 , 0 , 4 ), AP ? ( ? 4 , 4 , 0 ) ∴ ? ?? 4x ? 4 y ? 0



因此可取 n
d ? | MA ? n | |n |

? (1,1,1) ,由于 MA ? ( 2 , ? 3 , ? 4 )

,那么点 M 到平面 AB 1 P 的距离为 ,故 M 到平面 AB 1 P 的距离为
5 3 3

?

| 2 ? 1 ? ( ? 3) ? 1 ? ( ? 4 ) ? 1 | 3

?

5 3 3



(三) 、小结: 1.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组 成部分,学习时要深刻理解它们的含义,并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识 (特别是余弦定理)熟练解题。特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来, 这里要特别注意平面角的探求;2.把空间问题转化为平面问题,从解决平面问题而使空 间问题得以解决。求角的三个基本步骤:“作”、“证”、“算”。3.求空间中线面的 夹角或距离需注意以下几点: ①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离, 一般情况下, 力求明确所求角或距离的位置;②作线面角的方法除平移外,补形也是常用的方法之一; 求线面角的关键是寻找两“足” (斜足与垂足) ,而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定 理;③求二面角高考中每年必考,复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种: 根据定义或图形特征作;根据三垂线定理(或其逆定理)作,难点在于找到面的垂线。解 决办法,先找面面垂直,利用面面垂直的性质定理即可找到面的垂线;作棱的垂面。作二

28

S?

面角的平面角应把握先找后作的原则。此外在解答题中一般不用公式“cosθ = S ”求二 面角否则要适当扣分。④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法,利用直接法求距 离需找到点在面内的射影,此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质。而间 接法中常用的是等积法及转移法;⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平 面上的角与距离,然后将所求量置于一个三角形中,通过解三角形最终求得所需的角与距 离。4.注意数学中的转化思想的运用: (1)常用等角定理或平行移动直线及平面的方法 转化所求角的位置; (2)常用平行线间、平行线面间或平行平面间距离相等为依据转化所 求距离的位置; (3)常用割补法或等积(等面积或等体积)变换解决有关距离及体积问题。

29


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