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浙江省宁波市2014届高三上学期期末考试数学理试题


宁波市 2013 学年第一学期期末考试 高三数学(理科)试卷
第Ⅰ卷(选择题部分 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知复数 z1 ? 2 ? i, z 2 ? 1 ? i ,则 z1 ? z 2 在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(2)正三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 2, AA1 ? (A)1 (B)3

3 ,则三棱锥 C ? ABC1 的体积为

(C)

2 3 3

(D)

2 7 9

(3)已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(4)关于函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ,下列结论中不正确 的是 ... (A) f ( x) 在区间 ? 0,

? ?? ? 上单调递增 ? 4?

(B) f ( x) 的一个对称中心为 ?

?? ? ,? 3 ? ?6 ?

(C) f ( x) 的最小正周期为 ?

(D)当 x ? ?0,

? ?? ? 时, f ( x) 的值域为 ? 2 3 ,0 ? 2?

?

?

(5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积为 (A)9cm3 (B)10cm3 (C)11cm3 (D)

23 3 cm 2

( 6 ) 已 知 l , m, n 为 互 不 重 合 的 三 条 直 线 , 平 面

? ? 平面 ? ,

? ? ? ? l , m ? ? , n ? ? ,那么 m ? n 是 m ? ? 的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)下列四个图中,哪个可能是函数 y ?

10 ln x ? 1 x ?1

的图象

(8)已知 a, b 都是正实数,且满足 log 4 (2a ? b) ? log 2 (A)12 (B)10 (C)8

ab ,则 2a ? b 的最小值为
(D)6

? x2 ? y2 ? 1 ? (9)点 P( x, y ) 为不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上一点,则 x ? 2 y 取值范围为 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
(A) ? 5 , 5

?

?

(B) ? 2, 5

?

?

(C) ?? 1,2?

(D) ?? 2,2?

(10)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的两条渐近线为 l1 , l 2 ,过右焦点 F 作垂直 l1 的直线交 l1 , l 2 于 a2 b2

A, B 两点。若 OA , AB , OB 成等差数列,则双曲线的离心率为
(A)

5 2

(B) 5

(C) 3

(D) 3 ? 1

第Ⅱ 卷(非选择题部分 共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)已知 A ? y | y ? 3 , B ? ?x | y ? ln(2 ? x)? ,则 A ? B ?
x

?

?
.

.

2 2 ( 12 ) 直 线 ax ? y ? 3 ? 0 与 圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 相 交 于 A, B 两 点 , 且 AB ? 2 3 , 则

a?
5

(13)在 (1 ? x) ? (1 ? 2 x) 的展开式中, x 2 项的系数为_______________.
4

(14)执行如图所示的程序框图,则输出的 n 值是_________________. (15) 若 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 且 2ab cosC ? c 2 ,则 m 的值为________________. ( 16 ) 已 知 数 列

m 1 1 , ? ? tan C tan A tan B

?an ?, ?bn ?





a1 ? 2, b1 ? 1



3 1 ? ?a n ? 4 a n ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 (n ? 2, n ? N * ) , 则 (a3 ? b3 )( a 4 ? b4 ) 的 值 为 ? 1 3 ?bn ? a n ?1 ? bn ?1 ? 1 4 4 ?
_______________.
? ( 17 ) 已 知 O 为 ?ABC 的 外 心 , AB ? 4, AC ? 2, ?BAC ? 120 。 若 AO ? ?1 AB ? ? 2 AC , 则

?1 ? ?2 ? _____________.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18) (本题满分 14 分)

已知甲箱装有 a 个白球 2 个黑球,乙箱装有 2 个白球 1 个黑球,这些球除颜色外完全相同。现从甲箱中随 机摸两球,乙箱中随机摸一球,若恰好摸出三个黑球的概率为 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)记甲箱摸出 x 个黑球,乙箱摸出 y 个黑球, ? ? x ? y 。求 ? 的分布列及 E? 的值。 (19) (本题满分 14 分) 设 ?a n ?是等差数列, ?bn ?是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? 2, b1 ? 3 , a3 ? b5 ? 56, a5 ? b3 ? 26 。 (Ⅰ)求数列 ?a n ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)若 ? x ? 3x ?
2

1 。 18

2bn 对任意 n ? N * 恒成立,求实数 x 的取值范围。 2n ? 1

(20) (本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD中, E 为 AD 上一点, PE ? 平面 ABCD 。 AD // BC , AD ? CD , BC ? ED ? 2 AE ? 2 , ED ? 3 , F 为 PC 上一点,且 CF ? 2FP 。 (Ⅰ)求证: PA // 平面 BEF ; (Ⅱ)若二面角 F ? BE ? C 为 60 ? ,求 tan ?APD 的值。 (21) (本题满分 15 分) 已知曲线 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,曲线 C 2 : ? 2 ? 1(0 ? ? ? 1) 。曲线 C 2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦 4 4? 4? 4?

点。 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ) 设 P( x0 , y 0 ) 为曲线 C 2 上一点, 过点 P 作直线交曲线 C1 于 A, C 两点。直线 OP 交曲线 C1 于 B, D 两点。若 P 为 AC 中 点, ① 求证:直线 AC 的方程为 x0 x ? 2 y 0 y ? 2 ; ② 求四边形 ABCD 的面积。 (22) (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 2) e 。
2 x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)是否存在 ?a, b?(a ? b) ,使得 f ( x) 在该区间上的值域为 e a, e b ?若存在,求出 a, b 的值;若不
4 4

?

?

存在,说明理由。

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