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广东省广州市2011年普通高中毕业班综合测试(一)数学理(WORD版)


试卷类型:A 2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)



学 (理 科)

2011.3

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、 县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填 涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的, 答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 参考公式:

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) .

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3 2 球的表面积公式 S = 4π R , 其中 R 为球的半径.
锥体的体积公式 V =

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的. 目要求的. 1. 已知集合 A = x x ? 2 x ≤ 0} , B = x ?1 < x < 1} , 则 A I B =
2

{

{

A. x 0 ≤ x < 1} C. x ?1 < x < 1}

{

B. x ?1 < x ≤ 0} D. x ?1 < x ≤ 2}

{

{

{

2. 若复数 (1? i )(a + i ) 是实数 ( i 是虚数单位 ) ,则实数 a 的值为 A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

3. 已知向量 p = ( 2, ?3) , q = ( x, 6 ) ,且 p // q ,则 p + q 的值为 A. 5 4. 函数 y = B. 13 C. 5 D. 13

x 在区间 (1, +∞ ) 上 ln x
B.是增函数 D.有极大值

A.是减函数 C.有极小值

5. 阅读图 1 的程序框图. 若输入 n = 5 , 则输出 k 的值为. A. 2 C. 4
2

开始 输入 n

B. 3 D. 5

? a+b? 6. “ a > b ” 是“ ? ? > ab ”成立的 ? 2 ?
A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 k=k+1 否 7. 将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 所学校, 要求每校 至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A.96 C.128 B.114 D.136

k =0 n = 3n + 1

n > 150?
是 输出 k ,n

结束 图1

8. 如图 2 所示,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2, 长 为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD1 上运动, 另一端点 N 在正方形 ABCD 内运动, 则 MN 的中点的轨迹的面积为 A. 4π C. π B. 2π D.

D1 A1 M B1

C1

D N A
图2

C

π
2

B

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题(9~13 题) 必做题( 9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图 3 所示, 若月均用电量在 区间 [110,120 ) 上共有 150 户, 则月均用电 量在区间 [120,150 ) 上的居民共有 户.
频频 组组 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

0

100

110

120

130

140

150

月月月月月(度)

图3

10. 以抛物线 C : y = 8 x 上的一点 A 为圆心作圆,若该圆经过抛物线 C 的顶点和焦点,
2

那么该圆的方程为

. .

11. 已知数列 {an } 是等差数列, 若 a4 + 2a6 + a8 = 12 , 则该数列前 11 项的和为 12. △ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 c = 3, C = 则 b 的值为 .

π
3

, a = 2b ,

?2 x ? y ≥ 5, ? 13. 某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件 ? x ? y ≤ 2, ? x < 6. ?
则该校招聘的教师最多是 名.

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14~ 14. (几何证明选讲选做题 如图 4, CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 几何证明选讲选做题) 几何证明选讲选做题 点 A 、 B 在圆 O 上, BC = 1, ∠BCD = 30° ,则圆 O 的面积为 15. (坐标系与参数方程选讲选做题 在极坐标系中,若过点 (1, 0 ) 且与 坐标系与参数方程选讲选做题) 坐标系与参数方程选讲选做题 极轴垂直的直线交曲线 ρ = 4 cos θ 于 A 、 B 两点,则 AB = .
A C D B O

.

图4 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题 80 16.(本小题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x ) = 2sin x cos x + cos 2 x ( x ∈ R). (1) 当 x 取什么值时,函数 f ( x ) 取得最大值,并求其最大值; (2) 若 θ 为锐角,且 f ? θ +

? ?

π?

2 ,求 tan θ 的值. ?= 8? 3

17.(本小题满分 12 分) ( 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利润 (单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不同等级的概率如表 2. 若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9 元.

等级 利润

一等品

二等品

三等品

次品

等级

一等品

二等品

三等品

次品

6
表1

5

4

?1

P

0.6
表2

a

0.1

b

(1) 求 a, b 的值; (2) 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率.

18.(本小题满分 14 分) ( 如图 5,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC , AB ⊥ BC , D 为 AC 的中点,

A1 A = AB = 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 , 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值.
A1 A

D B1

B

C1

C

图5

19.(本小题满分 14 分) ( 已知直线 y = ?2 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足

OP ⊥ OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C .
(1) 求曲线 C 的方程; (2) 若直线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离最短时,求直线 l2 的方程.

20.(本小题满分 14 分) ( 已知函数 f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0 ) 满足 f ( 0 ) = 0 ,对于任意 x ∈ R 都有 f ( x ) ≥ x ,且
2

? 1 ? ? 1 ? f ? ? + x ? = f ? ? ? x ? ,令 g ( x ) = f ( x ) ? λ x ? 1 ( λ > 0 ) . ? 2 ? ? 2 ?
(1) 求函数 f ( x ) 的表达式; (2) 求函数 g ( x ) 的单调区间; (3) 研究函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上的零点个数.

21.(本小题满分 14 分) ( 已知函数 y = f ( x ) 的定义域为 R, 且对于任意 x1 , x2 ∈ R,存在正实数 L ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 都成立.
(1) 若 f ( x ) = 1 + x ,求 L 的取值范围;
2

(2) 当 0 < L < 1 时,数列 {an } 满足 an +1 = f ( an ) , n = 1, 2,L . ① 证明:

∑a
k =1

n

k

? ak +1 ≤

1 a1 ? a2 ; 1? L

② 令 Ak =

n a1 + a2 + L ak 1 k = 1, 2,3,L) ,证明: ∑ Ak ? Ak +1 ≤ a1 ? a2 . ( k 1? L k =1

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学( 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: .参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同, 如果考生的解法与参考答案不同, 可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 .对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时, 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分, 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. .解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. .只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 知识和基本运算 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 B 8 D

小题, 小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题是选做题,考生只能选做一题. 4 说明:第 10 小题写对一个答案给 3 分. 说明: 9. 325 14. 10.

( x ? 1)

2

+ y±2 2

(

)

2

=9

11. 33

12.

3

13. 10

π

15. 2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 80 16. 本小题满分 12 分) ( (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、 两倍角公式等知识, 想方法和运算求解能力) (1) 解: f ( x ) = 2sin x cos x + cos 2 x 考查化归与转化的数学思

= sin 2 x + cos 2 x

…… 1 分 …… 2 分

? 2 ? 2 = 2? sin 2 x + cos 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

π? ? = 2 sin ? 2 x + ? . 4? ?
∴当 2 x +

…… 3 分

π
4

= 2 kπ +

π
2

,即 x = kπ +

π
8

(k ∈ Z ) 时,函数 f ( x ) 取得最大值,其值为 2 .
…… 5 分

(2)解法 1: f ? θ + 解法 1:∵

? ?

π?

2 π? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2θ + ? = . ?= 8? 3 2? 3 ?

…… 6 分

∴ cos 2θ =

1 . 3

…… 7 分

∵ θ 为锐角,即 0 < θ <

π
2

,

∴ 0 < 2θ < π .

∴ sin 2θ = 1 ? cos 2θ =
2

2 2 . 3

…… 8 分

∴ tan 2θ = ∴

2 tan θ =2 2. 1 ? tan 2 θ
2

sin 2θ =2 2. cos 2θ

…… 9 分 …… 10 分

∴ 2 tan ∴

θ + tan θ ? 2 = 0 .

(

2 tan θ ? 1 tan θ + 2 = 0 . 2 或 tan θ = ? 2 (不合题意,舍去) 2 2 . 2
…… 11 分

)(

)

∴ tan θ =

∴ tan θ =

…… 12 分

解法 2: ∵ f ? θ +

? ?

π?

2 π? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2θ + ? = . ?= 8? 3 2? 3 ? 1 . 3 1 3
…… 7 分 …… 8 分

∴ cos 2θ = ∴ 2 cos
2

θ ?1 = . π
2
,

∵ θ 为锐角,即 0 < θ < ∴ cos θ =

6 . 3
2

…… 9 分

∴ sin θ = 1 ? cos

θ =

3 . 3

…… 10 分

∴ tan θ =

sin θ 2 = . cos θ 2 2 π? 2 ? , ∴ 2 sin ? 2θ + ? = . ?= 8? 3 2? 3 ? 1 . 3

…… 12 分

解法 3:∵ f ? θ +

? ?

π?

∴ cos 2θ =

…… 7 分

∵ θ 为锐角,即 0 < θ <

π
2

,

∴ 0 < 2θ < π .

∴ sin 2θ = 1 ? cos 2θ =
2

2 2 . 3

…… 8 分

∴ tan θ =

sin θ cos θ 2 sin θ cos θ = 2 cos 2 θ sin 2θ = 1 + cos 2θ = 2 . 2

…… 9 分 …… 10 分

…… 12 分

17.(本小题满分 12 分) ( (本小题主要考查数学期望、概率等知识, 解能力和应用意识)

考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求

(1)解:设 1 件产品的利润为随机变量 ξ ,依题意得 ξ 的分布列为: 解

ξ
P

6
0.6

5

4 0.1

?1

a

b
…… 2 分

∴ Eξ = 6 × 0.6 + 5a + 4 × 0.1 ? b = 4.9 ,即 5a ? b = 0.9 . ∵ 0.6 + a + 0.2 + 0.1 + b = 1 , 即 a + b = 0.3 , 解得 a = 0.2, b = 0.1 . ∴ a = 0.2, b = 0.1 .

…… 3 分 …… 4 分

…… 6 分

(2)解:为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元,则这 3 件产品可以有两种取法:3 件都 解 是一等品或 2 件一等品,1 件二等品. 故所求的概率 P = 0.6 + C 3 ×0.6 × 0.2 = 0.432 .
3

…… 8 分 …… 12 分

2

2

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数 学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , 证明: 证明 ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形,

∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线,
A1 A

E
∴ OD // AB1 . …… 2 分
D

∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 // 平面 BC1 D . (2)解: 依题意知, AB = BB1 = 2 , 解 ∵ AA1 ⊥ 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA1C1C ,
C1

…… 4 分

B1

B

G
O C

F

∴ 平面 ABC ⊥ 平面 AA1C1C ,且平面 ABC I 平面 AA1C1C = AC . 作 BE ⊥ AC ,垂足为 E ,则 BE ⊥ 平面 AA1C1C , 设 BC = a , 在 Rt△ ABC 中, AC = ……6 分

AB 2 + BC 2 = 4 + a 2 , BE =

AB BC 2a = , AC 4 + a2

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积 V =

1 1 × ( A1C1 + AD ) AA1 BE 3 2
…… 8 分

1 3 2a 4 + a2 × 2 × = × = a. 6 2 4 + a2
依题意得, a = 3 ,即 BC = 3 . 的正切值提供两种解法) (以下求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值提供两种解法) 以下求二面角

…… 9 分

解法 1:∵ AB ⊥ BC , AB ⊥ BB1 , BC I BB1 = B , BC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 平面 BB1C1C , ∴ AB ⊥ 平面 BB1C1C . 取 BC 的中点 F ,连接 DF ,则 DF // AB ,且 DF = ∴ DF ⊥ 平面 BB1C1C . 作 FG ⊥ BC1 ,垂足为 G ,连接 DG , 由于 DF ⊥ BC1 ,且 DF I FG = F ,

1 AB = 1 . 2

∴ BC1 ⊥ 平面 DFG . ∵ DG ? 平面 DFG , ∴ BC1 ⊥ DG . ∴ ∠DGF 为二面角 C ? BC1 ? D 的平面角. 由 Rt△ BGF ~Rt△ BCC1 ,得 …… 12 分

GF BF = , CC1 BC1

3 ×2 BF CC1 2 3 13 得 GF = = = , BC1 13 13
在 Rt△ DFG 中, tan ∠DGF =

DF 13 = . GF 3

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为

13 . 3

…… 14 分

解法 2: ∵ AB ⊥ BC , AB ⊥ BB1 , BC I BB1 = B , BC ? 平面 BB1C1C , BB1 ? 平面 BB1C1C , ∴ AB ⊥ 平面 BB1C1C . 以点 B1 为坐标原点,分别以 B1C1 , B1 B , B1 A1 所在直线为 x 轴,
z A1 A

y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B1 ? xyz .
则 B ( 0, 2, 0 ) , C1 ( 3,0, 0 ) , A ( 0, 2, 2 ) , D ?

?3 ? , 2,1? . ?2 ?
D

uuuu r uuu ? 3 r ? ∴ BC1 = ( 3, ?2, 0 ) , BD = ? , 0,1? ?2 ?
设平面 BC1 D 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,

B1 B y

?3 x ? 2 y = 0, uuuu r uuu r ? 由 n BC1 = 0 及 n BD = 0 ,得 ? 3 ? 2 x + z = 0. ?
令 x = 2 ,得 y = 3, z = ?3 . 故平面 BC1 D 的一个法向量为 n = ( 2,3, ?3) ,

O C

C1 x

…… 11 分

又平面 BC1C 的一个法向量为 AB = ( 0, 0, ?2 ) ,

uuu r

uuur uuu r n ? AB 2 × 0 + 0 × 3 + ( ?2 ) × ( ?3) 3 ∴ cos ?n , AB? = = . uuur = 2 × 22 22 n AB
2 uuu r ? 3 ? 13 ∴ sin ? n , AB? = 1 ? ? . ? = 22 ? 22 ?

…… 12 分

…… 13 分

∴ tan ?n , AB? =

uuu r

13 . 3 13 . 3
…… 14 分

∴二面角 C ? BC1 ? D 的正切值为 19.(本小题满分 14 分) (

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、 函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则点 Q 的坐标为 ( x, ?2 ) . ∵ OP ⊥ OQ , ∴ kOP kOQ = ?1 . 当 x ≠ 0 时,得

y ?2 = ?1 ,化简得 x 2 = 2 y . x x

…… 2 分

当 x = 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ≠ 0 . ∴曲线 C 的方程为 x 2 = 2 y ( x ≠ 0 ) . (2) 解法 1:∵ 直线 l2 与曲线 C 相切,∴直线 l2 的斜率存在. 设直线 l2 的方程为 y = kx + b , 由? …… 5 分 …… 4 分

? y = kx + b, 2 得 x ? 2kx ? 2b = 0 . 2 ? x = 2 y,

∵ 直线 l2 与曲线 C 相切,

k2 ∴ ? = 4k + 8b = 0 ,即 b = ? . 2
2

…… 6 分

点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离 d =

?2 + b

1 k2 + 4 = k2 +1 2 k2 +1

…… 7 分

=

1? 2 3 ? ? k +1 + ? ? 2? k2 +1 ? ?

…… 8 分



1 ×2 2

k2 +1

3 k2 +1

…… 9 分

= 3.
当且仅当 k + 1 =
2

…… 10 分 ……12 分

3 k +1
2

,即 k = ± 2 时,等号成立.此时 b = ?1 .

∴直线 l2 的方程为 2 x ? y ? 1 = 0 或 2 x + y + 1 = 0 .
2 ' 解法 2:由 x = 2 y ,得 y = x ,

…… 14 分 …… 5 分

∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,其中 y1 = 则直线 l2 的方程为: y ? y1 = x1 ( x ? x1 ) ,化简得 x1 x ? y ?

1 2 x1 , 2
…… 6 分

1 2 x1 = 0 . 2

点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离 d =

?2 ?

1 x12 + 4 = 2 x12 + 1 x12 + 1

1 2 x1 2

…… 7 分

= ≥

1? 2 ? x1 + 1 + 2? ? 1 ×2 2 x12 + 1

? ? ? x12 + 1 ?
3 3 x12 + 1

…… 8 分

…… 9 分

= 3.
当且仅当 x1 + 1 =
2

…… 10 分 ……12 分

3 x12 + 1

,即 x1 = ± 2 时,等号成立.

∴直线 l2 的方程为 2 x ? y ? 1 = 0 或 2 x + y + 1 = 0 .
2 ' 解法 3:由 x = 2 y ,得 y = x ,

…… 14 分 …… 5 分

∵直线 l2 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,其中 y1 =

1 2 x1 > 0 , 2
…… 6 分

则直线 l2 的方程为: y ? y1 = x1 ( x ? x1 ) ,化简得 x1 x ? y ? y1 = 0 .

点 ( 0, 2 ) 到直线 l2 的距离 d =

?2 ? y1 x12 + 1

=

y1 + 2 2 y1 + 1

…… 7 分

=

? 1? 3 ? 2 y1 + 1 + ? ? 2? 2 y1 + 1 ? ?

…… 8 分



1 ×2 2

2 y1 + 1

3 2 y1 + 1

…… 9 分

= 3.
当且仅当 2 y1 + 1 =

…… 10 分 ……12 分

3 2 y1 + 1

,即 y1 = 1 时,等号成立,此时 x1 = ± 2 .

∴直线 l2 的方程为 2 x ? y ? 1 = 0 或 2 x + y + 1 = 0 . 20.(本小题满分 14 分) (

…… 14 分

(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合 的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解:∵ f ( 0 ) = 0 ,∴ c = 0 . ∵对于任意 x ∈ R 都有 f ? ? …… 1 分

? 1 ? ? 1 ? + x? = f ?? ? x? , ? 2 ? ? 2 ?
1 b 1 ,即 ? = ? ,得 a = b . 2 2a 2
…… 2 分

∴函数 f ( x ) 的对称轴为 x = ?
2

又 f ( x ) ≥ x ,即 ax + ( b ? 1) x ≥ 0 对于任意 x ∈ R 都成立, ∴ a > 0 ,且 ? = ( b ? 1) ≤ 0 .
2

∵ ( b ? 1) ≥ 0 ,
2

∴ b = 1, a = 1 . …… 4 分

∴ f ( x) = x + x .
2

1 ? 2 ? x + (1 ? λ ) x + 1, x ≥ λ , ? (2) 解: g ( x ) = f ( x ) ? λ x ? 1 = ? ? x 2 + (1 + λ ) x ? 1, x < 1 . ? λ ?
① 当x≥ 若

…… 5 分

1

λ
1

时,函数 g ( x ) = x + (1 ? λ ) x + 1 的对称轴为 x =
2

λ ?1
2



λ ?1
2



λ

,即 0 < λ ≤ 2 ,函数 g ( x ) 在 ?

?1 ? , +∞ ? 上单调递增; ?λ ?

…… 6 分



λ ?1
2

>

1

λ

,即 λ > 2 ,函数 g ( x ) 在 ?

? λ ?1 ? ? 1 λ ?1 ? , +∞ ? 上单调递增,在 ? , ? 上单调递减. ? 2 ? ?λ 2 ?
…… 7 分

② 当x <

1

λ

时,函数 g ( x ) = x + (1 + λ ) x ? 1 的对称轴为 x = ?
2

1+ λ 1 < , 2 λ
…… 8 分

则函数 g ( x ) 在 ? ?

1+ λ ? ? 1+ λ 1 ? ? , ? 上单调递增,在 ? ?∞, ? ? 上单调递减. 2 λ? 2 ? ? ?

综上所述,当 0 < λ ≤ 2 时,函数 g ( x ) 单调递增区间为 ? ?

? 1+ λ ? , +∞ ? ,单调递减区间为 2 ? ?
…… 9 分

1+ λ ? ? ? ?∞, ? ?; 2 ? ?
当 λ > 2 时,函数 g ( x ) 单调递增区间为 ? ?

? 1 + λ 1 ? ? λ ?1 ? , ? 和? , +∞ ? ,单调递减区间为 2 λ? ? 2 ? ?
…… 10 分

1+ λ ? ? 1 λ ?1 ? ? ? ?∞, ? ? 和? , ?. 2 ? ?λ 2 ? ?
(3)解:① 当 0 < λ ≤ 2 时,由(2)知函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上单调递增, 解 又 g ( 0 ) = ?1 < 0, g (1) = 2 ?

λ ?1 > 0 ,
…… 11 分

故函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上只有一个零点. ② 当 λ > 2 时,则

1

λ

<

1 ?1? 1 1 < 1 ,而 g ( 0 ) = ?1 < 0, g ? ? = 2 + > 0 , 2 λ ?λ ? λ

g (1) = 2 ? λ ? 1 ,
(ⅰ)若 2 < λ ≤ 3 ,由于
2

1

λ

<

λ ?1
2

≤1,
2

( λ ? 1) λ ?1 ? λ ?1? ? λ ?1? 且g? +1 = ? +1 ≥ 0 , ?=? ? + (1 ? λ ) 4 2 ? 2 ? ? 2 ?
此时,函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上只有一个零点; (ⅱ)若 λ > 3 ,由于 …… 12 分

λ ?1
2

> 1 且 g (1) = 2 ? λ ? 1 < 0 ,此时,函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1)
…… 13 分

上有两个不同的零点. 综上所述,当 0 < λ ≤ 3 时,函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上只有一个零点;

当 λ > 3 时,函数 g ( x ) 在区间 ( 0,1) 上有两个不同的零点. 21.(本小题满分 14 分) ( (本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明:对任意 x1 , x2 ∈ R,有 证明:
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 1 + x12 ? 1 + x2

…… 14 分

考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概

=

2 x12 ? x2 2 1 + x12 + 1 + x2

=

x1 ? x2 x1 + x2 1+ x + 1+ x
2 1 2 2

.

…… 2 分

由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 ,即

x1 ? x2 x1 + x2
2 1 + x12 + 1 + x2

≤ L x1 ? x2 .

当 x1 ≠ x2 时,得 L ≥

x1 + x2
2 1 + x12 + 1 + x2

.

2 Q 1 + x12 > x1 , 1 + x2 > x2 , 且 x1 + x2 ≥ x1 + x2 ,



x1 + x2
2 1 + x12 + 1 + x2

<

x1 + x2 x1 + x2

≤ 1.

…… 4 分

∴要使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 对任意 x1 , x2 ∈ R 都成立,只要 L ≥ 1 . 当 x1 = x2 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ L x1 ? x2 恒成立.
…… 5 分

∴ L 的取值范围是 [1, +∞ ) . (2) 证明:①∵ an +1 = f ( an ) , n = 1, 2,L , 证明: 故当 n ≥ 2 时, an ? an +1 = f ( an ?1 ) ? f ( an ) ≤ L an ?1 ? an

= L f ( an ? 2 ) ? f ( an ?1 ) ≤ L2 an ? 2 ? an ?1 ≤ L ≤ Ln ?1 a1 ? a2 .


…… 6 分

∑a
k =1

n

k

? ak +1 = a1 ? a2 + a2 ? a3 + a3 ? a4 + L + an ? an +1 ≤ (1 + L + L2 + L + Ln ?1 ) a1 ? a2
…… 7 分

=
∵0 < L < 1, ∴

1 ? Ln a1 ? a2 . 1? L

…… 8 分

∑a
k =1

n

k

? ak +1 ≤

1 a1 ? a2 ( 当 n = 1 时,不等式也成立 ) . 1? L

…… 9 分

②∵ Ak =

a1 + a2 + L ak , k a1 + a2 + L + ak a1 + a2 + L + ak +1 ? k k +1

∴ Ak ? Ak +1 =

=

1 ( a1 + a2 + L + ak ? kak +1 ) k ( k + 1)

=

1 ( a1 ? a2 ) + 2 ( a2 ? a3 ) + 3 ( a3 ? a4 ) + L + k ( ak ? ak +1 ) k ( k + 1) 1 ( a1 ? a2 + 2 a2 ? a3 + 3 a3 ? a4 + L + k ak ? ak +1 ) . k ( k + 1)
…… 11 分





∑A
k =1

n

k

? Ak +1 = A1 ? A2 + A2 ? A3 + L + An ? An +1 ? 1 ? 1 1 ≤ a1 ? a2 ? + +L+ ? + 2 a2 ? a3 ? 1× 2 2 × 3 ? n ( n + 1) ? ? ? 1 ? 1 1 + +L + ? ? ? ? n ( n + 1) ? ? 2 × 3 3× 4

? 1 ? 1 1 1 +3 a3 ? a4 ? + +L + ? + L + n an ? an +1 × ? 3× 4 4 × 5 ? n ( n + 1) ? n ( n + 1) ? 1 ? ? = a1 ? a2 ? 1 ? ? + a2 ? a3 ? n +1? 2 ? ? ?1 ? ? + L + an ? an +1 ? n +1 ? n ? ? ?1 ? ? ? n +1?

≤ a1 ? a2 + a2 ? a3 + L + an ? an +1 ≤
1 a1 ? a2 . 1? L
……14 分


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