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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点


一、等差等比数列基础知识点 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 {an } 称等差数列; 2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 {an }满足

an?1 , 则 {an } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : ? q (常数) an

an ? a1q n?1 ? ak q n?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ?
2.简单性质:

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. 1? q 1? q

①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?

a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质: 1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2……组成公差为 n2d 的等差数列; 2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2……组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1, n 为偶数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列,则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比 数列. ⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数, 则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 ,
2
2

而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

nd . 2

[例 1]解答下述问题:

1 1 1 , , 成等差数列,求证: a b c b?c c?a a?b b b b , , (1) 成等差数列; (2) a ? ,? , c ? 成等比数列. a b c 2 2 2
(Ⅰ)已知 (Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为 128 2 ,求项数 n. ( Ⅲ ) 等 差 数 列 {an} 中 , 公 差 d ≠ 0 , 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 :

ak1 , ak2 ,?, akn 恰为等比数列 , 其中k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17, 求数列 {k n }的前n项和.
[例 2]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去 4,又成等比数列, 求原来的三数. (Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数. 二、等差等比数列练习题 一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 ( ) (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 2.、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 ?an ? 的通项公式为 (A) an ? 3n ? 1 (B) an ? n ? 3 (C) an ? 3n ? 1或 an ? 4 ( (D) an ? n ? 3 或 an ? 4 ( ) )

3、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c ? 的值为 x y

(A)

1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定
2 2

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, y 是 b,c 的等比中项,那么 x , b , y 三个数 (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 (B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( (D) an ? n 2 ? n ( ) )

2

5、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S 2n?1 ? 4n 2 ? 2n ,则此数列的通项公式为 (A) an ? 2n ? 2
2

(B) an ? 8n ? 2

(C) an ? 2 n?1

6、已知 ( z ? x) ? 4( x ? y)( y ? z) ,则 (A) x, y , z 成等差数列 (B) x, y , z 成等比数列 (C)

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a n ? 1 ,则关于数列 ?an ? 的下列说法中,正确的个数有

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ③可能是等比数列, 也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 8、数列 1

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A) n ? n ? 1 (B) n ? n ?1 ? 2 2 2

( (C) n ? n ?
2



1 ?1 2n

(D) n ? n ?
2

1 2
n ?1

?

1 2

9、 若两个等差数列 ?an ? 、 且满足 ?bn ?的前 n 项和分别为 An 、Bn , (A)

An 4n ? 2 a ? a13 , 则 5 的值为 ? Bn 5n ? 5 b5 ? b13
7 8





7 9

(B)

8 7

(C)

19 20

(D)

10、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? 5n ? 2 ,则数列 an 的前 10 项和为 (A)56 (B)58 (C)62 (D)60

? ?





11、已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?an ? 中依次取出第 3,9,27,…3n, …项,按原来的顺序排成一个 新的数列,则此数列的前 n 项和为 (A) ( (C) )

n(3 n ? 13) 2

(B) 3 ? 5
n

3 n ? 10n ? 3 2

(D)

3 n ?1 ? 10n ? 3 2
( )

12、下列命题中是真命题的是 A.数列 ?an ? 是等差数列的充要条件是 an ? pn ? q ( p ? 0 )

B.已知一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? an2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 C.数列 ?an ? 是等比数列的充要条件 an ? abn?1 D . 如 果一 个 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 S n ? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) , 则 此 数 列是 等 比 数列 的 充 要 条 件是

a?c ?0
二、填空题 13、各项都是正数的等比数列 ?an ? ,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q = 14、已知等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则 15、已知数列 ?an ? 满足 S n ? 1 ?

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

1 a n ,则 an = 4

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项 为 二、解答题 17、已知数列 ?an ? 是公差 d 不为零的等差数列,数列 abn 是公比为 q 的等比数列, b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46 ,求 公比 q 及 bn 。 18 、 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 与 等 比 数 列 ?bn ? 的 公 比 相 等 , 且 都 等 于 d (d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1 ,

? ?

a3 ? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。
19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。 20、已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

21、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1?

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn 22、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?1.4b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;

数列综合题 一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D

1? 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1· 4n-1=3d· 4n-1,a1+(bn-1)d=3d· 4n-1

∴bn=3· 4n-1-2 18.∴ a3=3b3 , ? a1+2d=3a1d2 , ? a1(1-3d2)=-2d ? a5=5b5, ? a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d
4

① ② bn=a1dn-1=- 5 · (

② 1 1 ? 5d 5 5 ,得 =2, ∴ d2=1 或 d2= ,由题意, d= ,a1=- 5 。 ∴an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d 19.设这四个数为

5 n-1 ) 5

a , a, aq,2aq ? a q

?a ? ·a ? aq ? 216 则 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a) ? 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


由①,得 a3=216,a=6 ③


∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 1 1 - 18 - + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, 当 q1= , a1=18.所以 an=18× ( )n 1= n-1 = 2× 33 n. q 3 3 3 3 3 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× 3n 3. 9 9

当 q=3 时, a1=

21.解:(I)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1
故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9

由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?

2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

22(I) :? an?1 ? 2an ? ( 1 n ?,)N *

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ).

(II)证法一:? 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③ ④

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。


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