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【新课教学过程(二)】 3.1.1空间向量及其线性运算


3.1.1

空间向量及其加减与数乘运算(教学过程 2)

教学要求:理解空间向量的概念,掌握其表示方法;会用图形说明空间向量加法、减法、数 乘向量及它们的运算律;能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律. 教学难点:由平面向量类比学习空间向量. 教学过程: 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识:什么叫做向量?向量是怎样表示的呢? ? ? 既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:用有向线段表示;用字母 a 、 b 等表 示; 用有向线段的起点与终点字母: AB .长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算: 向量的加法: 向量的减法: 实数与向量的积: ? ? ? 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,其长度和方向规定如下:|λ a |= ? ? ? ? ? |λ || a | (2)当 λ >0 时,λ a 与 a 同向; 当 λ <0 时,λ a 与 a 反向; 当 λ =0 时, ? ? λ a =0 . ? ? ? ? 3. 向量的运算运算律:加法交换律: a + b = b + a 4. 三个力都是 200N,相互间夹角为 60°,能否提起一块重 500N 的钢板? 二、新课讲授 1. 定义:我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或 模. → 举例? 表示? (用有向线段表示)记法? → 零向量? 单位向量? 相反向量? → 讨论:相等向量? 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. → 讨论:空间任意两个向量是否共面? 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样: ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OB ? OA ? AB = a + b , ??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA (指向被减向量) ,

????

???? ? ? OP ? λ a (? ? R ) (请学生说说数乘运算的定义?) 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律. ? ? ? ? ⑴加法交换律: a + b = b + a ; ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ); ? ? ? ? ⑶数乘分配律:λ ( a + b ) =λ a +λ b ; ? ? ⑶数乘结合律:λ (u a ) =(λ u) a . ????? ????? ????? ? ? ??????? ????? 4. 推广:⑴ A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An ; ????? ????? ????? ? ? ??????? ????? ? ⑵ A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0 ;⑶空间平行四边形法则. 5. 出 示 例 : 例 1 已 知 平 行 六 面 体 ( 底 面 是 平 行 四 边 形 的 四 棱 柱 ) A B C D? A B C D ' ' ' (如图) 化简下列向量表达式, ' , 并标出化简结果的向量: ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ⑵AB ? AD ? AA '; ⑴ AB ? BC; ????? ????? 1 ????? ? ? ? 1 ???? ???? ???? (3) AB ? AD ? CC ' ; ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2 3 师生共练 → 变式训练

例 2.如图,在长方体 OADB ? CA/ D / B / 中, OA ? 3, OB ? 4, OC ? 2, OI ? OJ ? OK ? 1 ,点 E,F 分别是 DB, D / B / 的中点,设 OI ? i, OJ ? j, OK ? k ,试用向量 i, j , k 表示 OE 和 OF

解: OE ?

3 i ?4j 2
A/

C D/ O E A D

B/ F B

3 OF ? i ? 4 j ? 2k 2

6. 练习:课本 P73 7. 小结:概念、运算、思想(由平面向量类比学习空间向量) 三、巩固练习: 作业:P85 1、2 题. 四、布置作业 五、教学反思


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