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2018版高中数学(人教A版)选修1-1同步教师用书:第三章 3.3.2 函数的极值与导数


3.3.2 函数的极值与导数 1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系.(难点) 2.掌握利用导数求函数极值的步骤,能熟练地求函数的极值.(重点) 3.会根据函数的极值求参数的值.(难点) [基础· 初探] 教材整理 函数的极值与导数 阅读教材 P93 函数的极值与导数~P94 例 4 以上部分,P95 思考~P96 练习以上 部分,完成下列问题. 函数的极值与导数 1.极值点与极值 (1)极大值点与极大值 在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都不大于 x0 点的函数值,称点 x0 为函数 y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为函数的极大值. (2)极小值点与极小值 在包含 x0 的一个区间(a,b)内,函数 y=f(x)在任何一点的函数值都不小于 x0 点的函数值.称点 x0 为函数 y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数的极小值. (3)极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为函数的极值. 2.求可导函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点.( (2)函数的极大值一定大于极小值.( ) ) (3)在可导函数的极值点处,切线与 x 轴平行或重合.( 1 (4)函数 f(x)= x 有极值.( 【答案】 (1)× (2)× (3)√ ) (4)× ) [小组合作型] 求函数的极值 (1)对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确命题的个数有( A.1 个 C.3 个 【自主解答】 f′(x)=3x2-6x. ) B.2 个 D.4 个 令 f′(x)=3x2-6x>0,得 x>2 或 x<0; 令 f′(x)=3x2-6x<0,得 0<x<2. ∴函数 f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减. 当 x=0 和 x=2 时,函数分别取得极大值 0 和极小值-4. 故①②错,③④对. 【答案】 B (2)求下列函数的极值: 8 3 ①f(x)=2x+x ;②f(x)= x+3ln x. 【导学号:97792046】 【自主解答】 8 ①∵f(x)=2x+ x , ∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}, 8 f′(x)=2-x2, 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,- 2) + -2 0 极大值-8 (-2,0) - ↘ (0,2) - ↘ 2 0 极小值 8 (2, +∞) + ↗ ↗ 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值-8; 当 x=2 时,f(x)有极小值 8. 3 ②函数 f(x)= x+3ln x 的定义域为(0,+∞), 3 3 3?x-1? f′(x)=-x2+x = x2 , 令 f′(x)=0,得 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表

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