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2018版高中数学苏教版选修2-1学案:3.1.1 空间向量及其线性运算-3.1.2 共面向量定理


3.1.1 空间向量及其线性运算 3.1.2 共面向量定理 学习目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的 线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.了解共面向量的定义,并能从平面向量中两向量 共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用. 知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念,给出空间向量的概念. 梳理 (1)在空间,把具有________和________的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的 ________或________. 空间向量也用有向线段表示,有向线段的________表示向量的模,向量 a 的起点是 A,终点 → 是 B,则向量 a 也可记作AB,其模记为________. (2)几类特殊的空间向量 名称 零向量 单位向量 相反向量 定义及表示 规定长度为 0 的向量叫做____________,记为 0 ________的向量称为单位向量 与向量 a 长度________而方向________的向量,称为 a 的相反向量, 记为-a 相等向量 方 向 ________ 且 模 ________ 的 向 量 称 为 相 等 向 量 , ________ 且 ________的有向线段表示同一向量或相等向量 知识点二 空间向量及其线性运算 1.空间向量的线性运算 → → → 已知空间向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA=a,OB=b,AB=c,与平面向量的运算一 样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为: → → → OB=OA+AB=________; → → → BA=OA-OB=________=________. → 若 P 在直线 OA 上,则OP=________(λ∈R). 2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律: ①a+b=________; ②(a+b)+c=____________; ③λ(a+b)=________(λ∈R). 知识点三 共线向量(或平行向量) 1.定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________,那么这些向量 叫做共线向量或平行向量.若向量 a 与 b 平行,记作________,规定____________与任意向量 共线. 2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(a≠0),b 与 a 共线的充要条件是存在实数 λ,使 ________. 知识点四 共面向量及共面向量定理 思考 1 当 a,b 共线时,共面向量定理的理论一定成立吗? 思考 2 向量 a,b,c 共面,表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗? 梳理 共面向量及共面向量定理 共面向量 共面向量定理 能平移到同一平面内的向量叫做共面向量 如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充 要条件是存在有序实数组(x,y),使得____________ 类型一 空间向量的概念及应用 例 1 如图所示,以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中: → (1)试写出与AB相等的所有向量; → (2)试写出AA1的相反向量; → (3)若 AB=AD=2,AA1=1,求向量AC1的模. 引申探究 如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=3,AD=2,AA′=1,则分别以长方体的 顶点为起点和终点的向量中: ①单位向量共有多少个? ②试写出模为 5的所有向量; → ③试写出与向量AB相等的所有向量;

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