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浙江省台州市路桥区蓬街私立中学2016-2017学年高二下学期数学学案:函数中的对称性问题 精品

函数中的对称性问题 高二数学组 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性, 是函数性质的重要方面, 它包括自身对称和两个 函数图象之间的对称,理解掌握函数对称性,对数学问题的解决有很大的帮助,对也是数形 结合思想的重要体现。 1.自身对称函数,函数图象本身具有对称轴或是对称中心,该函数的图象是轴对称图 形或是中心对称图形, 奇函数与偶函数是最典型的两类函数, 其它自身对称的函数都可以由 奇偶函数平移得到; 2.两个函数图象的对称,是指两个图形之间的关系,它们之间存在某种关联,即它们 关于某一点对称或是关于某一条直线对称, 研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特 点(互为反函数的两个函数图象) 。 二、举例分析 例 1. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, (1)若对任意 x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 成立,则函数 f ? x ? 的图象关于直线 班级______姓名________组号

x?

a?b 对称; 2

(2)若对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 2b ,则函数 f ? x ? 的图象关于点 ? a, b ? 成中心对称。 选题目的:通过此题的学习,让学生明白一个道理,函数 f ? x ? 的图象是轴对称或是中 心对称,函数解析式 f ? x ? 应满足一关系式是什么,并能通过奇偶函数的平移获得理解这种 关系式的钥匙。 思路分析: ( 1 ) 要 证 明 f ? x ? 图 象 上 任 意 一 点 P ? x0 , y0 ? 关 于 直 线 x ?

a?b 对称的点 2

Q ? a ? b ? x0 , y0 ? 也在 f ? x ? 的图象上。
f 事 实 上 , y0 ? f ? x ?? ? 0 ? a ? ? a ?? x ? ? b 0 ? ? ? f? ? ? a ? 0 ? ? x ?? f ?a? 0, ?b 即 x 得点

Q ? a ? b ? x0 , y0 ? 也在 f ? x ? 的图象上。

特别地,当 a , b 都为 0 时,就是偶函数的特征了。 ( 2 ) 要 证 明 f ? x ? 图 象 上 任 意 一 点 A? x0 , y0 ? 关 于 点 ? a, b ? 的 对 称 点

B ? 2a ? x0 ,2b ? y0 ? 也 在 f ? x ? 的 图 象 上 。 事 实 上 , 由 A? x0 , y0 ? 在 的 图 象 上 及 f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 2b 可 得 , y0 ? f ? x0 ? 及 f ? x0 ? ? f ? 2a ? x0 ? ? 2b , 则 有 2b ? y0 ? 2b ? f ? x0 ? ? f ? 2a ? x0 ? ,从而得到 B ? 2a ? x0 ,2b ? y0 ? 也在 f ? x ? 的图象上。
特别地,当 a , b 都为 0 时,就是奇函数的特征了。 例 2.对于定义在 R 上的函数 f ? x ? 有下列命题: (1)若 f ? x ? 是奇函数,则函数 f ? x ?1? 的图象关于点 ?1,0 ? 对称; (2)若函数 f ? x ?1? 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f ? x ? 是偶函数; (3)若对任意 x ? R ,都有 f ? 2 ? x ? ? 2 ? f ? x ? ,则 f ? x ? 图象关于直线 x ? 1 对称; (4)函数 y ? f ? x ?1? 与 y ? f ?1 ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称。 其中正确命题的个数是--------------------------------------------------( A.1 B.2 C.3 D.4 )

选题目的:学生通过此题学习,加深理解图象具有对称性函数的特征,掌握图象平移后 的形状保持不变, 所变的是对称位置; 另外要清楚是函数图象本身的对称特征还是两个函数 图象的对称关系。 思路分析: (1) 、 (2)两小题较为简单,就是平移后图象问题; (3)是函数 f ? x ? 自身的对称问题,函数 f ? x ? 满足关系: f ? 2 ? x ? ? f ? x ? ? 2 ,由 例 1 中的结论知, 函数 f ? x ? 图象关于点 ?1,1? 成中心对称。 也可以从对应点的关系中获取,设图象上任意点 P x, f ? x ? ,则图象上必存在与之对应的 点 Q 2 ? x,2 ? f ? x ? ,则 P、Q 的中点为定点 ?1,1? ,即为对称中心。 (4)首先要清楚这是两个函数图象的对称问题,它们都是由函数 y ? f ? x ? 图象变换得

?

?

?

?

? y ? f ? x ?1? 的图象; 到的; y ? f ? x ? 图象 ??
?

? ? ? y ? f ? ?x ? ?? ? y ? f ?1 ? x ? y ? f ? x ? 图象 ??

例 3.如图,正比例函数和反比例函数的图象相交于 A、B 两 点。分别以 A、B 两点为圆心,画出与 y 轴相切的两个圆。 若点 A 的坐标为(1,2) ,则图中两个阴影部分面积的和是 ___________。 选题目的:充分运用正比例函数和反比例函数的图象都是 关于坐标原点成中心对称的特点,注重图形的割补法来求解; 思路分析:分别求两个阴影部分面积显然不可行。由于正比例函数与反比例函数图象 都关于原点对称,可知 A、B 两点关于原点对称。从而⊙A 与⊙B 也关于原点对称,故阴影部 分面积和等于⊙A(或⊙B)的面积。⊙A 与 y 轴相切,则⊙A 的半径为 1,故阴影部分的面
2 积和等于 ? ? 1 ? ? 。

例 4.曲线 C 的方程是 y ? x3 ? x ,将 C 沿 X 轴、Y 轴的正向分别平移 t , s 个单位长度后得到 曲线 C1 ,求证:曲线 C 与 C1 关于点 A ?

?t s? , ? 对称。 ?2 2?

选题目的:学会证明两曲线的对称的方法,培养运算能力; 思路分析:两条曲线的对称问题证明必须是双向的,即曲线 C 上的任意一点关于点 A 的对称点在曲线 C1 上;曲线 C1 上的任意一点关于点 A 的对称点也在曲线 C 上。 三、巩固练习 1.已知函数 f ? x ? ? A. ?4

a?x 图象的对称中心为 ? 3, ?1? ,则 a 的值为 x ? a ?1
B. ?2 C.2 D.3

2.二次函数 f ? x ? 满足: f ? 2 ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,且 f ? 2? ?1 , f0 ? 有最小值 1,最大值 3,则 m 的取值范围是 A. 0 ? m ? 2 B. m ? 2 C. m ? 0

3 ??

。若在区间 ?0, m? 上

D. 2 ? m ? 4

3.定义在 R 上的非常数函数 f ? x ? 满足: f ?10 ? x ? 是偶函数,且 f ?5 ? x ? ? f ?5 ? x ? , 则 f ? x ? 一定 A.是偶函数且是周期函数 C.是奇函数且是周期函数 B.是偶函数但不是周期函数 D.是奇函数但不是周期函数

4. f ? x ? 是 R 上的函数,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是奇函数,则 f ? x ? 3? 的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 5.函数 f ? x ? 满足: f ? 根的和等于
x

?1 ? ?3 ? ? x ? ? f ? ? x ? ,且方程 f ? x ? ? 0 有三个不同的根,则这三个 ?4 ? ?4 ?
; ;

6.设方程 3 ? 5 ? x 的根为 x1 ,方程 log3 x ? 5 ? x 的根为 x2 ,则 x1 ? x2 的值为

7.定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足:对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成立, 则 f (9) ? .

8.直线 y=kx(k>0)与双曲线 值等于__________。

y?

4 x 交于 A( x 1 , y1 ) 、 B(x 2 , y 2 ) 两点,则 2x 1 y 2 ? 7 x 2 y1 的

9.已知定义在 R 函数 f ? x ? 满足 f (4 ? x) ? ? f ( x) ? 2 。当 x ? 2 时, f ? x ? ? log2 x ? 2 ; 又函数 g ? x ? 与 f ? x ? 图象关于 Y 轴对称,求 g ? x ? 的表达式。

10.研究函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? 的对称性。
3 2

(1) f ? x ? ? x ? 3x ;
3

(2) f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 3
3 2

上述两个函数的对称性给我们什么启示,能否得出 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? 对称 性的一般结论吗?若能,请给出证明。

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