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淄博市2014年高一数学期末考试题


高一数学期末试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,本试卷总分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷 选择题
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的, 地请把正确地选项填在题后的括号内. 1、 已知全集 I ? {0,1, 2,3, 4} , 集合 M ? {1, 2,3} , 则 (?I M ) ? N 等于 N ? {0,3, 4} , A.{0,4} 2、设集合 M ? {x A.{0} B.{3,4} C.{1,2} D. ? ) ( )

x2 ? 6x ? 5 ? 0} , N ? {x x2 ? 5x ? 0} ,则 M ? N 等于 (
B.{0,5} ) C 8 ( C (1,0) ) D(3,0) D 6 C.{0,1,5}

D.{0,-1,-5}

3、计算: log29 ? log38 = ( A 12 B 10

4、函数 y ? a x ? 2(a ? 0且a ? 1) 图象一定过点 A (0,1) B (0,3)

5.已知奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时 f ( x) ? x ? A.1 B.2 C.-1 D.-2

1 ,则 f (?1) = x

6.下列函数中,在区间 (0,2) 上是增函数的是 A. y ? x 2 ? 4 x ? 5 B. y ?

x

C. y ? 2? x

D. y ? log 1 x
2

7.函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x > 0 时 f ( x) ? ? x ? 1 ,则当 x < 0 时, f ( x ) 的表达式为 A. f ( x ) ? x ? 1 B. f ( x ) ? x ? 1 C. f ( x) ? ? x ? 1 D. f ( x) ? ? x ? 1

8.已知过点 A (?2, m) 、B (m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 A. 0 B. -8 C. 2 D. 10

9. y ? sin x ? 3 cos x (0 ? x ? A.– 2

?
2

) ,则 y 的最小值为
C.1 D. 3





B.– 1

10.在下列区间中,是函数 y ? sin(x ? A. [ , ? ]

?
4

) 的一个递增区间的是
C. [?? ,0] D. [ , ]





?

4 2 11.把函数 y=x +4x+5 的图象按向量 a 经一次平移后得到 y=x 的图象,则 a 等于
2 2

2

B. [0, ]

?

? ?

4





A.(2,-1)

B.(-2,1)

C.(-2,-1)

D.(2,1) ( )

12.函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? B. ? ? C. ? ?

? ? ?
2 3 4

,? ? ,? ? ,? ?

? ? ?
4

6

4 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填写在题中的横线上,或按题目要求作答. 13、函数 y ? log 1 ( x 2 ? 4 x ? 5) 的递减区间为______
2

14.在空间直角坐标系中 o ? xyz ,点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的正射影, 则 OB 等于 .

15.等边三角形的边长为 2,它绕其一边所在的直线旋转一周,则所得旋转体的体 积是 .

16.在△ABC 中,A(-1,1) ,B(3,1) ,C(2,5) ,角 A 的内角平分线交对边于 D,则向量

AD 的坐标等于

.

三、解答题:共 70 分.要求写出必要的文字说明、重要演算步骤,有数值计算的要明确写出 数值和单位,只有最终结果的不得分. 17. (本小题满分 10 分)已知点 A?4,6?, B?? 2,4? ,求: (1) 直线 A B 的方程; (2) 以线段 AB 为直径的圆的方程.

18. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 2 .求: (1) f ( x ) 的值域; (2) f ( x ) 的零点; (3) f ( x) ? 0 时 x 的取值范围.

17、 (10 分)已知函数 f ( x) ? lg(2 ? x), g( x) ? lg(2 ? x), 设h( x) ? f ( x) ? g( x). (1)求函数 h( x) 的定义域 (2)判断函数 h( x) 的奇偶性,并说明理由.

18、 (12 分)已知函数 f ( x ) =

5x ?1 。 5x ? 1

(1)写出 f ( x ) 的定义域; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性;

6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? . cos 2 x
(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域和值域; (Ⅱ)判断它的奇偶性.

20. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a =(2cosx,1),b =(cosx, 3 sin2x),

x∈R.
(Ⅰ)若 f(x)=1- 3 且 x∈[-

? ? , ],求 x; 3 3

(Ⅱ)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c =(m,n)(|m|< 求实数 m、n 的值.

? )平移后得到函数 y=f(x)的图象, 2

21. (本题满分 12 分) 如图, 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 ? 方向上, 从城 A 出发有一条公路, 走向是南偏东 40 ? ,在 C 处测得距离 C 处 31 千米的公路上的 B 处有一辆正沿着公路向城 A 驶去,行驶了 20 千米后到达 D 处,测得 C、D 二处间距离为 21 千米,这时此车距城 A 多少千米?

22. (本题满分 12 分) 某港口水深 y (米) 是时间 t ( 0 ? t ? 24 , 单位: 小时)的函数, 记作 y ? f (t ) , 下面是某日水深的数据

t (小
时)

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 10.0

y (米)

经长期观察: y ? f (t ) 的曲线可近似看成函数 y ? A sin? t ? b 的图象(A > 0, ? ? 0 ) (I)求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (II) 一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的. 某 船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船希望在同一天内安全进出港, 请问:它至多能在港内停留多长时间?

一、选择题 1-5ACDBD 二、填空题 13: (5, ??) 三、解答题 17、⒘ 解:

6-10: BCBCB 14. 13

11.A 12.C 15. 2?

16. (

32 16 , ) 9 9

(1) 设直线上的点的坐标为 ? x, y ? 则有 y ? 6 ?

4?6 ( x ? 4) ?2?4

化简得 x ? 3 y ? 14 ? 0 (2) 由 AB ?

?? 2 ? 4?2 ? ?4 ? 6?2


? 2 10

所以圆的半径 r ? 10 圆心坐标为 ?

??2? 4 4?6? , ? ? ?1,5? 2 ? ? 2
2 2

所以圆的方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 5? ? 10 或
2

? 10 ?

2

2 4 ? 1? (? 2)( ? ? 1) 9 1 2 9 9 ?? , ⒙解: (1) f ( x) ? x ? x ? 2 ? ( x ? ) ? ? ? 或 f ( x)min = 2 4 4 4 ?1 4 9 得函数 f ( x ) 的值域[- ,+?) . 4

(2)令 x ? x ? 2 ? 0 ,得函数 f ( x ) 的零点-1,2
2

( ? 1, 2) (3)由图得 f ( x) ? 0 时 x 的取值范围是 .
19.解: (I)由 cos2x≠0 得 2 x ? k? ?

-1

2

?
2

,解得 x≠

{x x ? R 且 x≠

k? ? ? ,k ? Z } 2 4

k? ? ? , k ? Z ,所以 f(x)的定义域为 2 4

(II)∵f(x)的定义域关于原点对称且 f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (III)当 x≠ 因为 f ( x) ?

k? ? ? , k ? Z 时, 2 4

6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 (2 cos2 x ? 1)(3 cos2 x ? 1) ? ? 3 cos2 x ? 1 , cos 2 x cos 2 x
1 1 或者 ? y ≤2}. 2 2

所以 f(x)的值域为 {y ? 1 ≤ y ?
2

20.解: (Ⅰ)依题设,f(x)=2cos x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+

? ). 6

由 1+2sin(2x+

? ? 3 )=1- 3 ,得 sin(2x+ )=. 6 6 2

? ? ? ? 5? ? ? ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ ,∴2x+ =- , 3 3 2 6 6 3 6 ? 即 x=- . 4
∵(Ⅱ)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图象,即 函数 y=f(x)的图象. 由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+

? )+1. 12

∵|m|<

? ? ,∴m=,n=1. 2 12

21.解:在 ?BCD 中, CD ? 21 , BD ? 20 , BC ? 31 ,由余弦定理得

cos?BDC ?

212 ? 202 ? 312 1 ?? , 2 ? 21? 20 7
2

所以 sin ?BDC ? 1 ? cos ?BDC ? 在 ?ACD 中,CD=21,

4 7 . 7

?CAD ? 20? ? 40? ? 60?, sin ?ACD ? sin(?BDC ? 60?)
= sin ?BDC ? cos60? ? ?BDC ? sin 60? ?

5 3 . 14
5 3 14 ? 15 (千米) . 3 2

由正弦定理得 AD ?

CD ? sin ?ACD ? sin ?CAD

21?

所以此车距城 A 有 15 千米. 22.解: (I)由已知数据,易知 y ? f (t ) 的周期为 T = 12, ∴ ??

2? ? ? . T 6

由已知,振幅 ?

? A ? b ? 13, ? A ? 3, 得? ? A ? b ? 7, ?b ? 10.

∴ y ? 3 sin t ? 10 . 6 (II)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5 + 6.5 = 11.5(米), ∴ 3sin

?

?
6

t ? 10 ? 11.5, 即 sin
?

?t

1 ? . 6 2

5 ∴ 12k ? 1 ? t ? 12k ? 5 (k ? z ) . t ? 2k? ? ? . 6 6 6 故该船可在当日凌晨 1 时进港,17 时出港,它在港内至多停留 16 小时.
∴ 2k? ?

?

?


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