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【状元360】高考数学一轮复习 2.9 二次函数(二)课件 理_图文

二次函数的图象及其应用 研究一元二次方程的根的分布问题,一般情况下需要考虑三 个方面: 判别式 ; (1)一元二次方程根的________ 函数值的符号 ; (2)相应二次函数区间端点______________ b x=-2a 端点 的位置关 (3) 相应二次函数图象的对称轴 _________ 与 ______ 系. 设 x1,x2 是实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两根, 则 x1,x2 的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示. 根的 分布 x1<x2<k k<x1<x2 x1<k<x2 图象 等价 条件 f(k)<0 根的 分布 x1,x2∈(k1,k2) k1<x1<k2< x2<k3 在区间(k1,k2)内 有且仅有一个根 图象 f(k1)f(k2)<0 或 Δ=0 b 且-2a∈(k1,k2) 等价 条件 考点 二次函数的图象及其应用 示范1 已知函数 f(x)=x2+2bx+c(c<b<1), f(1)=0 且方程 f(x) +1=0 有实根, (1)求证:c≤-1,b≥0; (2)若 m 是方程 f(x)+1=0 的一个实根, 判断 f(m-4)的正负 并加以证明. 分析 (1)题中条件涉及不等关系的有 c<b<1 和方程 f(x)+1 =0 有实根及一个等式 f(1)=0,通过适当代换及不等式性质可 解得;(2)本小题只要判断 f(m-4)的符号,因而只要研究出 m- 4 的范围即可定出 f(m-4)的符号. c+1 解析 (1)证明: 由 f(1)=0, 得 1+2b+c=0, 解得 b=- , 2 c+1 1 又 c<b<1,1>- >c,解得-3<c<- .又由于方程 f(x)+ 1=0 2 3 有实根,即 x2+2bx+c+1=0 有实根,故 Δ=4b2-4(c+1)≥0 即(c+1)2-4(c+1)≥0 解得 c≥3 或 c≤-1. c+1 ∴-3<c≤-1,由 b=- ,得 b≥0. 2 (2)f(x)=x2+2bx+c=x2-(c+1)x+c=(x-c)(x-1), ∵f(m)=-1<0,∴c<m<1(如上图) ∴c-4<m-4<-3<c∴f(m-4)的符号为正. 【点评】二次函数值的符号,可以求出其值判断,也可以 灵活运用二次函数的图象及性质解题. 展示1 ( 已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则 B.f(p+1)<0 D.f(p+1)的符号不确定 ) A.f(p+1)>0 C.f(p+1)=0 【答案】A 【解析】 ∵f(0)=c>0,函数 f(x)的图象的对称 1 轴为x=- , 如图 2 ∵f(p)<0,∴-1<p<0. ∴p+1>0. ∴f(p+1)>f(0)>0. 示范2 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 在原点右侧至少 有一个零点,求实数 m 的取值范围. 分析 二次函数的零点分布问题,经常要结合其图象进行求解. 解析 注意到 x=0 时, f(x)=1, ∴f(x)的图象恒过定点(0,1). 当 m=0 时, f(x)=-3x+1 在原点右侧有一零点, 当 m<0 时, f(x)的图象开口向下, 在原点右侧有一个零点, 当 m>0 时, f(x)的图象开口向上,如下图所示. ?Δ=?m-3?2-4m≥0, ? ∴? 3-m ? 2m >0, ? 解得0<m≤1. 综上所述知所求m的取值范围是m≤1. 【点评】本题的主要解法是数形结合法,分类讨论法.注意 挖掘隐含条件:图象过定点?0,1?.注意不要遗漏 m=0 的情形. 展示2 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)且 f(1)=- a 2,a>2c>b, (1)判断 a,b 的符号; (2)求证:函数 f(x)至少有一个零点在区间(0,2)内. 【解析】 a (1)∵f(1)=- , 2 ∴3a+2b+2c=0. ∵a>2c>b, ∴3a+2b+2c>3b+2b+b=6b. ∴a>0 且 b<0. 3 (2)由(1),知 b=-2a-C. 又 f(0)=c, f(2)=4a+2b+c=a-c, a 当 c≤0 时,∵a>0,∴f(1)=-2<0 且 f(2)=a-c>0. ∴函数 f(x)在区间(0,2)内有一个零点. a 当 c>0 时,∵a>0∴f(0)=c>0 且 f(1)=-2<0. ∴函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点. 综上,函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. 方法点拨:二次函数的图象是一条抛物线,对称轴为直线 x b =- ,当 a>0 时,开口向上;当 a<0 时,开口向下.利用二 2a 次函数图象可以研究二次函数的零点问题、二次方程根的分布 问题. 本课主要是利用二次函数图象解决问题,重点突出数形结 合法.讨论二次方程的区间根的分布情况一般要结合二次函数 图象求解,注意从三方面考虑:(1)判别式;(2)区间端点的函数 值的符号;(3)对称轴与区间的相对位置. 与二次函数、二次方程相关的综合问题要充分利用二次函 数性质、图象特点、二次方程根与系数的关系及方程与函数之 间的联系综合应用处理问题. (2010 天津)对实数 a 与 b,定义新运算“?”: ? ?a,a-b≤1, a?b=? ? ?b,a-b>1, 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2)(x∈R), 若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则实数 c 的取 值范围是( ) ? 3? A.(-∞,-2]∪?-1,2? ? ? ? 3? B.(-∞,-2]∪?-1,4? ? ? ? ? 1? ?1 C.?-∞,4?∪?4,+∞? ? ? ? ? ? ? 3? ?1 D.?-1,4?∪?4,+∞? ? ? ? ? 【答案】B 【解析】 3 ? 2 2 2 2 ?x -2,-1≤x