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2019年高考题源探究——直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质 【考点梳理】 1.直线与平面垂直 图形 条件 a⊥b, b?α(b 为 α 内的任意直线) a⊥m,a⊥n,m、n?α,m∩n =O a∥b,a⊥α 结论 a⊥α 判定 a⊥α b⊥α a⊥α,b?α 性质 a⊥α,b⊥α 2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 判 定 定 理 如果一个平面经过 另一个平面的一条 垂线, 那么这两个平 面互相垂直 图形语言 a⊥b a∥b 符号语言 l?β? ??α⊥β l⊥α? 3.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面垂直, 性质 定理 那么在一个平面内 垂直于它们交线的 直线垂直于另一个 平面 图形语言 符号语言 α⊥β α∩β=a l?β l⊥a ?l⊥α ? ? ? 4.直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这 个平面所成的角. π? ? (2)线面角 θ 的范围:θ∈?0,2?. ? ? 5.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:过二面角棱上的一点,在两个半平面内分别作与棱垂直的 射线,则两射线所成的角叫做二面角的平面角. 【教材改编】 1.(必修 2 P65 例 1、P72 例 4 改编)设 m、n 表示直线,α、β 表示平面,下列命 题为真命题的是( ) A.若 m⊥α,α⊥β,则 m∥β B.m∥α,m⊥β,则 α⊥β C.若 m⊥n,m⊥α,则 n∥α D.m∥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n [答案] [解析] B 对于 A,m 可以在 β 内,故 A 错;对于 C,n 可以在 α 内,故 C 错; 对于 D,m 与 n 可以平行,故 D 错. 2.(必修 2 P66 内文改编)线段 AB 的长等于它在平面 α 内的射影长的 2 倍,则 AB 所在直线与平面 α 所成的角为( A.30° C.60° [答案] C [解析] 1 如图,AC⊥α,AB∩α=B,则 BC 是 AB 在平面 α 内的射影,则 BC=2 ) B.45° D.120° AB,所以∠ABC=60° ,它是 AB 与平面 α 所成的角. 3.(必修 2 P67 练习 T2 改编)已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA,PB,PC 两两垂直,有下列结论:①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.其中正确 的是( ) B.①②④ D.①②③④ A.①②③ C.②③④ [答案] [解析] A 如图,∵PA⊥PB,PA⊥PC, PB∩PC=P,且 PB?平面 PBC, PC?平面 PBC, ∴PA⊥平面 PBC, 又 BC?平面 PBC,∴PA⊥BC. 同理可得 PB⊥AC,PC⊥AB. 故①②③正确. 4.(必修 2 P79B 组 T1 改编)将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使 得平面 ADC⊥平面 ABC,在折起后形成的三棱锥 DABC 中,给出下列三个命题: 2 ①△DBC 是等边三角形;②AC⊥BD;③V 三棱锥 DABC= 12 . 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 [答案] D ) B.1 D.3 [解析] 如图,取 AC 的中点 E,连接 DE,EB,则 DE⊥AC,BE⊥AC. ∵平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC, ∴DE⊥平面 ABC,∴DE⊥EB, 则 DB= 2DE=1. ∴BC=CD=BD=1, ∴△DBC 是等边三角形,故①正确; 由 AC⊥平面 DBE,易知 AC⊥BD,故②正确. ∵DE 为三棱锥 DABC 的高, 1 ∴V 三棱锥 DDE ABC= S△ABC· 3 1 1 2 2 =3×2×1×1× 2 = 12 ,故③正确. 5.(必修 2 P73 练习 T1,2 改编)已知 m,n 表示不同的直线,α,β 表示不同的平 面,下列命题为真的是( ) A.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α B.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β C.若 m∥n,n∥α,则 m∥α D.若 α∥β,m∥n,m⊥α,则 n⊥β [答案] [解析] D 当 m∥α,m⊥n 时,n 与 α 的位置关系有 n?α,或 n∥α 或 n 与 α 相交, 故 A 不正确. 当 m∥α,α⊥β 时,m 与 β 的位置关系有 m?β 或 m∥β 或 m 与 β 相交,故 B 不正 确. 当 m∥n,n∥α 时,有 m?α 或 m∥α,故 C 不正确. 当 α∥β,m∥n,m⊥α 时,必有 n⊥β,故 D 正确. 6.(必修 2 P78A 组 T7 改编)正四棱锥的三视图如图,则它的外接球的面积为 ( ) A.25π 25 C. 3 π [答案] C [解析] 25 B. 2 π 25 D. 4 π 由三视图画出直观图与其外接球示意图,且设 O1 是底面中心. 由三视图知,O1A= 2,O1P= 3,∴正四棱锥 PABCD 的外接球的球心 O 在 线段 O1P 上. 设球 O 的半径为 R. 由 O1O2+O1A2=OA2 得( 3-R)2+( 2)2=R2. ∴R= 5 2 3 . ? 5 ?2 25 ? = π. 则外接球的面积为 S=4πR2=4π·? 3 ?2 3? 7.(必修 2 P79B 组 T1 改编)如图,E、F 分别是边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 与 BC 的中点,将△AED,△CFD,△BEF 分别沿 DE、DF、EF 折起,使得 A、 B、C 三点重合于点 P,则下列结论错误的是( ) A.PD⊥EF 3 B.P 到平面 DEF 的距离为2 C.四面体 PDFE 的四个面中有三个面是直角三角形 D.四面体 PDFE 外接球的表面积为 6π [答案] [解析] B A 项,∵折叠前 DA⊥AE,DC⊥CF, ∴折叠后 DP⊥PE,DP⊥PF,又 PE∩PF=P, ∴D

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