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江西省南昌市三校南昌一中南昌十中南铁一中2017届高三数学12月联考试题文


南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)高三第三次联考试卷 数学(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分 ,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确 答案填入答题卷中。) 1.已知复数 z 满足(z+1) ·i =1-i, 则 z=( A. -2+i B. 2+i ) B. a ? b ? 0 的充要条件是 C. -2-i ) D. 2-i

2.下列命题中,真命题是( A..存在 x ? R, e x ? 0 C.任意 x ? R, 2x ? x2

a ? ?1 b

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1的充分条件 )

3.在各项都为正数的等差数列{an}中,若 a1+a2+?+a10=30,则 a5·a6 的最大值等于( A.3 B.6 C.9 D.36 )

4.设 m= 6 ? 5 ,n= 7 ? 6 , p ? 8 ? 7 , 则 m, n, p 的大小顺序为( A. m>p>n B. p>n>m C. n>m>p D. m>n>p )

5.在△ABC 中,有如下命题,其中正确的是(

→ → → → → → → → → → ①AB-AC=BC;②AB+BC+CA=0;③若(AB+AC)·(AB-AC)=0,则△ABC 为等腰三角形;④ → → 若AB·BC>0,则△ABC 为锐角三角形. A.①② B.①④ C.②③ D.②③④ )

6.“-3<m<5”是“方程

=1 表示椭圆”的( 5-m m+3

x2



y2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

7.一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(

1

A.21+ 3

B.18+ 3

C.21

D.18

π 8.已知函数 y=Asin(ω x+φ )+m 的最大值为 4,最小值为 0.两个对称轴间最短距离为 ,直线 x 2 = π 是其图像的一条对称轴,则符合条件的解析式为( 6 π A.y=4sin(2x+ ) 6 π C.y=-2sin(x+ ) 3 )

π B.y=-2sin(2x+ )+2 6 π D.y=2sin(2x+ )+2 3

9.已知 a,b,c 为三条不同的直线,且 a? 平面 M,b? 平面 N,M∩N=c.①若 a 与 b 是异面直线, 则 c 至少与 a, b 中的一条相交;②若 a 不垂直于 c, 则 a 与 b 一定不垂直; ③若 a∥b, 则必有 a∥c; ④若 a⊥b,a⊥c,则必有 M⊥N.其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

10.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:

1? ? ①函数 y=f(x)在区间?-3,- ?内单调递增; 2? ?

? 1 ? ②函数 y=f(x)在区间?- ,3?内单调递减; ? 2 ?
③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 则上述判断中正确的是( )
2

A.①②
2

B.②③

C.③④⑤

D.③

y → → 2 11.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1·PF2的最小值 3
为( ) A.-2 81 B.- 16 C.1 D.0

12.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 AB 的 中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( A. + =1 45 36 C. + =1 27 18 ) B. D. + =1 36 27 + =1 18 9

x2 y2 a b

x2 x2

y2 y2

x2 x2

y2

y2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填入 答题卷中。)

y≤x, ? ? 13. 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4, ? ?y≥k,

且 z=2x+y 的最小值为-6,则 k =______

14.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-a) =4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等边 三角形,则实数 a=________. 15.已知数列{an}的通项公式为 an=log2 数 n 最小值=________ 16. 曲线 f ( x) ?
f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x 2 在点(1,f(1))处的切线方程为 e 2

2

2

n+1 (n∈N+),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的自然 n+2

三、解答题(本大题 6 个小题,共 70 分,要求在答题卷中写出解答过程) 17. (本题 10 分) 已知: A、 B、 C 是 ?ABC 的内角,a, b, c 分别是其对边长, 向量 m ?

? 3, cos A ?1?,

n ? ?sin A,?1? , m ? n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2, cos B ?

3 , 求 b 的长. 3

18. (本题 12 分)已知等比数列{an}满足 an+1+an=9·2

n-1

,n∈N+.

3

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N+恒成立, 求实数 k 的取值范围.

? 1? 19. (本题 12 分)设函数 f(x)=?1- ?(x>0). ?
x?
(1). 写出函数的单调区间和极值。 1 1 (2). 当 0<a<b,且 f(a)=f(b)时,求 + 的值;

a b

20. (本题 12 分)如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,AD∥BC,AD⊥AB,CD⊥平面 SAD,SA=AD=2,

AB=1,SB= 5,SD=2 2,M,N 分别为 AB,SC 的中点.

(1)证明:AB∥CD; (2)证明:平面 SMC⊥平面 SCD.

21. (本题 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切.

x2 y2 a b

3 ,以原 2

4

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1),Q(0,2).设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交 于点 T.求证:点 T 在椭圆 C 上.

22. (本题 12 分)已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若过点 A(1,m)(m≠-2),可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围.

3

2

5

南昌市三校(南昌一中。南昌十中。南铁一中)高三第三次联考 数学答案(文科) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分 ,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意, 请将正确 答案填入答题卷中。) 1. C 7. A 2. D 8. B 3. C 4. D 5.C 6. B

9. C 10. D 11. A 12. D

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填入 答题卷中。) 13.k=-2 14. a=4± 15 15. 63 16. 错误!未找到引用源。

三、解答题(本大题 6 个小题,共 70 分,要求在答题卷中写出解答过程) 17.(本题 10 分) 解:(Ⅰ)? m ? n

?m ? n ?

? 3, cos A ? 1?? ?sin A,?1? ?

3 sin A ? ?cos A ? 1?? ?? 1? ? 0

? 3 sin A ? cos A ? 1 ??4 分

?? 1 ? ? sin? A ? ? ? ??6 分 6? 2 ?
∵ 0 ? A ? ? ,? ?

?
6

? A?

?
6

?

5? ? ? ,? A ? ? , ??7 分 6 6 6

?A?

?
3

.??8 分

(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ?

?
3

, a ? 2 , cos B ?

3 3

? sin B ? 1 ? cos2 B ? 1 ?
由正弦定理知:

1 6 ? ??9 分 3 3

a b ? , ??10 分 sin A sin B

a sin B =? ?b ? sin A

2?

6 3 ? 4 2 .? b ? 4 2 ??12 分 3 3 3 2
,n∈N+,∴a2+a1=9,a3+a2=18,

18.解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵an+1+an=9·2 ∴q=
n-1

a3+a2 18 = =2,∴2a1+a1=9,∴a1=3. a2+a1 9
n-1

∴an=3·2

,n∈N+................(5 分)
6

a1?1-qn? 3?1-2n? n (2)由(1)知 Sn= = =3(2 -1), 1-q 1-2
∴不等式化为 3(2 -1)>k·3·2
n n-1

-2,

1 即 k<2- n-1对一切 n∈N+恒成立. 3·2 1 令 f(n)=2- n-1,易知 f(n)随 n 的增大而增大, 3·2 1 5 5 ∴f(n)min=f(1)=2- = ,∴k< . 3 3 3 5 ∴实数 k 的取值范围为(-∞, ).????..(12 分) 3 19. (本题 12 分) 解析:(1) f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数, 当 x=1 时有极小值 0??????.(6 分) (2)由 f(x)在(0,1]上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,由 0<a<b 且 f(a)=f(b), 1 1 取 0<a<1<b,且 -1=1- ,

a

b

1 1 ∴ + =2??.(12 分)

a b

20. (本题 12 分)

证明:(1)由 SA +AD =2 +2 =8=SD ,SA +AB =2 +1 =5=SB ,得 SA⊥AB, 又 AB⊥AD,AD∩SA=A,所以 AB⊥平面 SAD. 又 CD⊥平面 SAD,所以 AB∥CD. (2)取 SD 的中点 E,连接 AE,NE,如图所示.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

7

1 易知 NE= CD=AM,NE∥CD∥AM,所 以四边形 AMNE 为平行四边形. 2 所以 MN∥AE. 又因为 CD⊥平面 SAD.AE∈平面 SAD 所以 CD⊥AE. 由(1)知△SAD 为等腰直角三角形. 所以 AE⊥SD. 又 SD∩CD=D,所以 AE⊥平面 SCD. 因为 MN∥AE,所以 MN⊥平面 SCD. 又 MN∈平面 SMC,所以平面 SMC⊥平面 SCD. 21. (本题 12 分) 解析:(1)由题意知,b= 2 = 2. 2

因为离心率 e= = 所以 =

c a

3 , 2

b a

c 2 1 1-? ? = . a 2

所以 a=2 2. 所以椭圆 C 的方程为 + =1?????.5 分 8 2 (2)证明:由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0),则直线 PM 的方程为 y= +1,① 直线 QN 的方程为 y=

x2 y2

y0-1 x x0

y0-2 x+2.② -x0 x0 3y0-4 ,y= , 2y0-3 2y0-3
8

法一:联立①②解得 x=

x0 3y0-4 x2 y2 0 0 2 2 即 T( , ).由 + =1,可得 x0=8-4y0. 2y0-3 2y0-3 8 2
1 x0 1 3y0-4 2 x0+4?3y0-4? 2 因为 ( )+ ( )= 2 8 2y0-3 2 2y0-3 8?2y0-3? 8-4y0+4?3y0-4? = 2 8?2y0-3?
2 2 2 2 2

32y0-96y0+72 8?2y0-3? = 2 = 2=1, 8?2y0-3? 8?2y0-3? 所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.????..12 分 法二:设 T(x,y),联立①②解得 x0=

2

x 3y-4 ,y0= . 2y-3 2y-3

1 x 2 1 3y-4 2 因为 + =1,所以 ( )+ ( ) =1. 8 2 8 2y-3 2 2y-3

x2 y2 0 0
2

x ?3y-4? 2 整理得 + =(2y-3) , 8 2 x 9y x y 2 所以 + -12y+8=4y -12y+9,即 + =1. 8 2 8 2
所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 22. (本题 12 分)
?3a+2b-3=0, ? 2 解析:(1)f′(x)=3ax +2bx-3, 依题意,f′(1)=f′(-1)=0,即? ?3a-2b-3=0, ?
2 2 2 2

2



得 a=1,b=0. ∴f(x)=x -3x?????..4 分 (2)由(1)知 f′(x)=3x -3=3(x+1)(x-1), ∵曲线方程为 y=x -3x, ∴点 A(1,m)(m≠-2)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x0-3x0. ∵f′(x0)=3(x0-1),
2 3 3 2 3

x3 0-3x0-m ∴切线的斜率为 3(x -1)= ,????8 分 x0-1
2 0

整理得 2x0-3x0+m+3=0. ∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴关于 x0 的方程 2x0-3x0+m+3=0 有三个实根. 设 g(x0)=2x0-3x0+m+3,则 g′(x0)=6x0-6x0, 由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 1. ∴g(x0)在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. ∴函数 g(x0)=2x0-3x0+m+3 的极值点为 x0=0 和 1.
9
3 2 3 2 2 3 2

3

2

∴关于 x0 的方程 2x0-3x0+m+3=0 有三个实根的充要条件是? 故所求实数 m 的取值范围是(-3,-2).????..12 分

3

2

? ?g?0?>0, ?g?1?<0, ?

解得-3<m<-2.

10


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