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课堂设计2015_2016学年高中数学3.3.2双曲线的简单性质课后作业北师大版选修2_1

3.2 2 2 双曲线的简单性质 1.双曲线 2x -y =8 的实轴长是( ) A.2 B.2 C.4 D.4 2 解析:双曲线方程可变形为=1,所以 a =4,a=2,2a=4,故选 C. 答案:C 2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程 3x±2y=0,则 a 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:双曲线=1 的渐近线方程为 3x±ay=0,与已知方程比较系数得 a=2. 答案:C 3.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( ) A. C. B. D. 解析:,∴e=. 答案:D 2 2 4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x +y -6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的 圆心,则该双曲线的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bx±ay=0,根据已知得=2,即=2,解 2 得 b=2,则 a =5,故所求的双曲线方程是=1.故选 A. 答案:A 5.设 P 是双曲线=1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点. 若|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.1 或 5 B.6 C.7 D.9 解析:由渐近线的方程为 y=x,b=3,得 a=2. 由双曲线的定义,有||PF2|-|PF1||=4. ∴|PF2|=7 或|PF2|=-1(舍去). 答案:C 6.设 F1,F2 分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|, 且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 解析: 如图所示,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M 中,|PF2| =|F2M| +|PM| ,而|PM|=|PF1|.又∵ 2 2 2 2 |PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2| =(2c) =(2a) +(a+c) . 2 2 2 又 c =a +b ,∴, ∴渐近线方程为 y=±x,即 4x±3y=0. 答案:C 7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5∶4,则双曲线的标 准方程是 . 解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x 轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之比为 5∶4,即 c∶b=5∶4. 2 2 2 又 c =a +b ,解得 c=5,b=4, 2 2 2 1 所以双曲线的标准方程是=1. 答案:=1 8.若双曲线的渐近线方程为 y=±3x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的方程是 . 解析:由题意,得 c==3, 2 由此解得 b=3,a=1,故所求双曲线的方程是 x -=1. 2 答案:x -=1 9.已知双曲线=1 的离心率为 2,焦点与椭圆=1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐 近线方程为 . 解析:椭圆=1 的焦点坐标为(-4,0),(4,0), ∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线=1 中,c=4,e=2,∴a=2.∴b=2.∴渐近线方程为 x±y=0. 答案:(±4,0) x±y=0 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)虚轴长为 12,离心率为; (2)两顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y=±x; 2 2 (3)求与双曲线 x -2y =2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程. 解:(1)设双曲线的标准方程为=1 或=1(a>0,b>0). 2 2 2 由题意,知 2b=12,,且 c =a +b , ∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为=1 或=1. (2)设以 y=±x 为渐近线的双曲线方程为=λ (λ ≠0). 2 当 λ >0 时,a =4λ ,∴2a=2=6.∴λ =. 2 当 λ <0 时,a =-9λ , ∴2a=2=6.∴λ =-1. ∴双曲线的方程为=1 或=1. 2 2 (3)设与双曲线-y =1 有公共渐近线的双曲线方程为-y =k(k≠0). 2 将点 M(2,-2)的坐标代入,得 k=-(-2) =-2. ∴双曲线的标准方程为=1. 11.设双曲线=1 的焦点分别为 F1,F2,离心率为 2. (1)求此双曲线的渐近线 l1,l2 的方程; (2)设 A,B 分别为 l1,l2 上的动点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是 什么曲线. 2 2 解:(1)由双曲线的离心率 e==2,解得 a =1,所以双曲线的方程为 y -=1,所以双曲线的渐近线方程为 x±y=0. (2)因为|F1F2|=2=4,2|AB|=5|F1F2|, 所以|AB|=10.又因为 A,B 分别为 l1,l2 上的动点,设 A(y1,y1),B(-y2,y2),所以|AB|==10①. 设 AB 的中点为 M(x,y),则 x=,y=.所以 y1-y2=x,y1+y2=2y. 2 2 代入①,得 12y +x =100,即=1 为中点 M 的轨迹方程.中点 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上 的椭圆. 12.过双曲线=1 的右焦点 F2 且倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,F1 为左焦点. (1)求|AB|; (2)求△AOB 的面积; (3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|. (1)解:由双曲线的方程得 a=,b=,∴c==3,F1(-3,0),F2(3,0),直线 AB 的方程为 y=(x-3). 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由得 5x +6x-27=