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四川省成都市第七中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题

成都七中2015-2016 学年度上期半期考试 高三年级数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分

一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分,在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.已知集合A ?? { x | x ?? 1 ?? 0}, B ?? { x | x ( A) { x | 0 ?? x ?? 2}
2

?? x ?? 2 ?? 0}

,则A ?? B ?? (



(B){ x | 1 ?? x ?? 2}

(C) {1,2 }

(D)?? 2.式子2 lg 5 ?? lg 12 ?? lg 3 ?? ( (A)0 (B)1 ) (C)2 (D)?? 2

3.已知向量a ?? (1, ??) ,b ?? ( ??,4 ) ,若a // b ,则实数??

?? (

) (B)?? 2

(A)0

(C)?? 2

(D)2 4.函数 f ( x ) ?? e (A)奇函数 5.函数 f ( x ) ?? sin (A)4??
x

?? e

?? x

( x ?? R )

的奇偶性是(

) (D)既是奇函数也是偶函数

(B)偶函数
2

(C)非奇非偶函数 )

x ?? 1

的周期为(

(B)2??
x

(C)?

(D)

??

6.函数 f ( x ) 2?? log

2 x ??

?? 3 的零点所在区间为( 3



(A)( 0 ,1)

(B)(1, 2 )

C.( 2 ,3 )

(D)( 3,4 ) 7.已知a , b , c , d ?? R , “ a ?? c ?? b ?? d ”是“ a ?? c , b ?? d ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 8.已知tan(
??
1



(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

4

?? ?? ) ??? 2 ,则sin 2 ?? 1

?? (


3 3

(A)?

(B)

3 3

(C)?

5

(D)
?
x

5

9.下列命题成立的是( (A )??x 0


x ?? 1

??

?? ( 0 ,

) ,使得sin 4

cos

0

0

2

(B)??x ?? [ 0 ,

] ,都有sin 4

x ?? cos

x ?

2 ?? (

(C )??x 0

??
2

, ?? ) ,使得sin

? cos

?? 1

x0

x0

(D)??x ?? [

3 ?? 4

,

5??? ] ,都有sin 4

2

x ?? cos

2

x

10.在??ABC

中,cos

A ?

2 5

5

, cos

B ??

3

10 10

,最长的边长为

5

,则最短的边长为(


5 2

(A)2

(B)

(C )1

(D)

3 2

11 .已知公差不为零的等差数列 { ?? n

}

的 前n 项 和 为S , S

?? 4 ??

,函数 f ( x ) ?? c os x ( 2 s in x ??1) ,则
f ( ??? ) ??

n

8

1

f (? ?

) ?? ?? ??

f ( ??

)

的值为( 2



8

(A)0

(B)4??

n

(C)8??

(D)与??? 有关

12. 已知数列 {a n

}

的前n 项和为S

, 满足a

???tan ?? , ( 0 ?? ??? ?

, ??

??
1

1

?

??

) , a

n n ??1

??

a

??
n

3

( n ?? N

*

) . 关

于下列命题:
3

①若 ??? ?

??
3

,则a

?? 0



2

6

1?

3a

②对任意满足条件的角??? ,均有a

* n ??3

?? a

( n ?? N

)



③存在 ?? 0
??

?? ( 0 ,

??
6

??

n

??
) ?? ( 6

,

??
2

) ,使得S

3n

?? 0

; ④当
6 ?? ??? ??

时,S
3

3n

?? 0

. 其中正确的命题有( (A)1 个

) (C)3 个 (D)4 个

(B)2 个

二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分) 13.已知a ?? ( 2 ,??1), b ?? (1,3) ,则( 2 a ?? b ) ??a ? 14.已知角??? ,???,?? 构成公差为 .
?? 3

的等差数列.若c o s ??? ? ??

,则co s ?? ??? c o s ???? ?
3

2

.

15.已知公比q ?? 1 的正项等比数列 {a n

3

}

,a

?? 1

,函数 f ( x ) ?? 1 ?? ln

x ,则

1

f (a

) ??

f (a

) ?? ?? ??

f (a

) ?

2

. 5
????a , b ??, 有

16. 函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上有定义, 若对任意 x ,x 1 2

? x

f(

1

2

) ??

x

2

1 2

[ f ( x ) ??

1

f (x

)] , 则称 f ( x )

2

在[ a , b ] 上具有性质P.设 f ( x ) 在? 1, 2 0 1 5 ??上具有性质P.现给出如下命题: ① f ( x ) 在? 1, 2 0 1 5 ??上不可能为一次函数; ②若 f (1008

) ?? 1008

,则 f ( x ) ??

f ( 2016

?? x ) ?? 2016



③对任意 x ,x 1 2

,x

,x

3

4

?? [1,2015

] ,有 f (

1

x

2

? x

? x 4

?? x

3

4

) ??

1 4

[ f ( x ) ??

1

f (x

) ??

2

f (x

) ??

3

f (x

4

)] ;

④函数 f x ? ??

2

在?1, 2 0 1 5 ?? 上具有性质P.
? ??

其中真命题的序号是

.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题10 分)已知集合A ?? { x | x
2

?? 3 x ?? 2 ?? 0}

2 ,函数 f ( x ) ??

x

?? 2 ax

?? 1 .
2 (1)当a ?? 0 时,解关于x 的不等式 f ( x ) ?? 3 a ?? 1 ;

(2)对任意x ?? A ,均有 f ( x ) ?? 0 ,求实数a 的取值范围.

18. (本小题12 分) 已知函数 f ( x ) ?? 2 x ?? 3 x

3

2 / /

??

f

( 0 ) x ?? c (c ?? R

, ) 其中 f

(0)

为函数 f ( x ) 在x ?? 0

处的导数. (1)求函数 f ( x ) 的递减区间; (2)若函数 f ( x ) 的极大值和极小值互为相反数,求函数 f ( x ) 的解析式.

19. (本小题12 分) 已知向量a ??(sin

x ?? cos x ,

2 cos x ) ,b ?? (cos

x ?? sin

x,

2 sin

x) ,

x ?? [ ??

??
8

,0 ] .

(1)求| a | 的取值范围; (2)若a ??b ?? 1 ,求x 的值.

20. (本小题12 分)已知数列 {a n ??1
n

?? 2 a

} ( n ?? N

)

是公比为2 的等比数列,其中a

?? 1, a

?? 4 .

* 1 2

(Ⅰ)证明:数列{

a 2

n

} 是等差数列;
n

(Ⅱ)求数列 {a n

n

}

的前n 项和S



21. (本小题 12 分) ??ABC

的三内角A , B , C 所对边长分别为a , b , c , a

2

?? b

2

??? bc ,AD 为角 A 的平分

线,且??ACD

与??ABD

面积之比为1:2. (1)求角A 的大小; (2)若AD ??

3 ,求??ABC

的面积.
??
2 2

22.(本小题 12 分)已知函数 f ( x ) ?? ??e 然对数底数.

x

?? x , g ( x ) ?? ??x

2

2

??

x ?

15 2

( ??

?? 0 ) ,其中e ?? 2 .71828

?????? 是自

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x ,x 1 2

,证明:0 ?? ????


e

(Ⅱ) 当?? =1 时, 求使不等式 f ( x ) ??? g ( x ) 在一切实数上恒成立的最大正整数??(参考数据: . 7 ?? e
2

?? 7 .5 )

成都七中 2015-2016 学年度上期半期考试 高三年级数学试卷(文科参考答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.B 2.A 3.B 7.B 8.D 9 .D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.11 14. ? 4.A 10.C 5.C 11.A 16.②③ 6.D 12.D

2 3

15. 5

三、解答题(共 70 分) 17.解:(1)不等式 f ( x) ? 3a 2 ? 1 整理得 x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0 ,即 ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0 , 若 a ? 0 ,则解集为 [?a,3a ] , 若 a ? 0 ,则解集为 [?3a, a ] . (2) A ? {x | 1 ? x ? 2} , 对任意的 x ? [1,2] ,均有 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 成立,???????6 分 即 2a ? ???????2 分 ???????4 分

1 x2 ? 1 1 ? x ? ,只需 2a ? ( x ? ) min , x x x

???????8 分 ???????10 分

当 x ? 1 时, ( x ?

1 ) min ? 2 ,所以 2a ? 2 ,即 a ? 1 . x

18.解:(1) f / ( x) ? 6x 2 ? 6x ? f / (0) , 令 x ? 0 得 f / (0) ? 0 ? f / (0) ? f / (0) ? 0 , 令 f / ( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 1 , 所以函数 f ( x ) 的递减区间为 (0,1) , ???????6 分 ???????3 分

(2)函数 f ( x ) 在 ( ??,0) 上递增,在 (0,1) 上递减,在 (1,??) 上递增, 所以 f ( x)极小值 ? f (1) ? 2 ? 3 ? c , f ( x)极大值 ? f (0) ? c ,???????10 分

?2 ? 3 ? c ? c ? 0 ,

解得 c ?

1 . 2

???????12 分

2 2 19.解:(1) | a |? (sin x ? cos x ) ? 2 cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

?

2 sin(2 x ?

?
4

)?2

???????2 分

因为 x ? [ ?

?
8

,0] ,所以 0 ? 2 x ?

?
4

?

?
4

,即 0 ? sin(2 x ?

?
4

)?

2 ,??????4 分 2

所以 | a | 的取值范围是 [ 2 , 3] , (2) a ? b ? cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ,

???????6 分

? a ? b ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ,???????8 分

?a ? b ? 1 ,

? 2 , ?sin(2 x ? ) ? 4 2
因为 x ? [ ?

???????10 分

?
8

,0] ,所以 0 ? 2 x ?

?
4

?

?
4
???????12 分

所以当 a ? b ? 1时, x ? 0 .

20.解(1)由已知得 an?1 ? 2an ? (a2 ? 2a1 ) ? 2n?1 ? 2n ,

???????2 分

a n ?1 a n 1 ? ? , 2 n ?1 2 n 2 a 1 1 } 是以首项为 ,公差为 的等差数列, 所以数列 { n n 2 2 2 a 1 ? n ,所以 an ? n ? 2n?1 , (2)由(1)知 n n 2 2
两端同除 2 n ?1 得: 分

???????4 分 ???????6

Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ? ? n ? 2n?1 ,
则 2Sn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n , 相减得: ? Sn ? 1? 20 ? 21 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n , 所以 ? Sn ?

1 ? 2n ? n ? 2n , 1? 2

???????10 分

即 Sn ? (n ? 1)2n ? 1.

???????12 分

21. 解(1)由 a 2 ? b 2 ? bc 得 由正弦及余弦定理得: cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 bc ? c 2 ? , 2ac 2ac

A

sin B ? sin C ,???????2 分 2 sin A

C

D

B

? 2 sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) ,
整理得 sin(A ? B) ? sin B ,即 A ? 2 B , ???????4 分

因为 AD 为角 A 的平分线,且 S?ACD : S?ABD ? 1 : 2 , 所以 c ? 2b, a ? 3b , 所以 sin A ? 3 sin B , ???????6 分

? sin 2 B ? 3 sin B ? cos B ?
B?

3 即 2
???????8 分

?
6

,A?

?
3

(2)? AD ? 3 所以 AD ? BD ? 3, CD ?

3 3 , AC ? , 2 2

???????10 分

? S ?ABC ?

1 3 3 3 9 3 ? ? ? . 2 2 2 8

???????12 分

22.解(1) f / ( x) ? ?e x ? 2 x , 据题意得 f / ( x) ? ?e x ? 2 x ? 0 有两个不同的根 x1 , x2 , 当 ? ? 0 时, f / ( x) ? ?e x ? 2 x 在 R 上递减,不合题意, 所以 ? ? 0 , 又 f // ( x) ? ?e x ? 2 ,令 f // ( x) ? 0 得 x ? ln

2

?



所以函数 f / ( x) ? ?e x ? 2 x 在 ( ?? , ln 增,???????4 分

2

?

) 上递减,在 (ln
2

2

?

,?? ) 上递

所以 f / ( x) ? ?e x ? 2 x ? 0 有两个不同的根,则 f / (ln 即? ?

?

) ? 0,

2

?

? 2 ln

2

?

? 0 , ln

2

?

?1,
???????6 分

即0 ? ? ?

2 , e

(2)不等式 e x ? 令 h( x ) ? e x ?

?
2

x?

?
2

15 对任意 x 恒成立, 2

x?

? h / ( x) ? e x ?

?
2

15 , 2

,令 h / ( x) ? 0 得 x ? ln

?
2



所以函数 h( x ) 在 ( ?? , ln 所以 h( x ) min ? h(ln 整理得 ? ? ? ln

?
2

) 上递减,在 (ln ?

?
2

,?? ) 上递增,

?
2

)?

?
2

?
2

ln

?
2

?

?
2

15 ?0, 2
???????9 分

? 15 ? 0 ,

令 ? ( ? ) ? ? ? ? ln

?
2

? 15 ,易得 ? ( ? ) 在 ( 2,??) 上递减,

当 ? ? 2e2 ? (14,15) , ? (2e2 ) ? 15 ? 2e2 ? 0 , 当 ? ? 15, ? (15) ? 2 ? ln

15 ?0, 2
???????12 分

所以满足条件的最大整数 ? ? 14 .


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