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(典型题)高考数学二轮复习 知识点总结 统计与统计案例


统计与统计案例
1.该部分常考内容: 样本数字特征的计算、 各种统计图表、 线性回归方程、 独立性检验等; 有时也会在知识交汇点处命题,如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看,大部分为选择 题、填空题,重在考查基础知识、基本技能,有时在知识交汇点处命题,也会出现解答题, 都属于中低档题.

1. 随机抽样 (1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取,适用范围:总体中的个体较少. (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分中抽取,适用范 围:总体中的个体数较多. (3)分层抽样特点是将总体分成几层,分层进行抽取,适用范围:总体由差异明显的几 部分组成. 2. 常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积=组距× 频率 =频率; 组距

②各小长方形的面积之和等于 1; 频率 1 ③小长方形的高= ,所有小长方形的高的和为 . 组距 组距 (2)茎叶图 在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好. 3. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 众数 样本数据 出现次数最多的数据 将数据按大小依次排列,处在最 中位数 中间位置的一个数据 ( 或最中间 两个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数 频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点的横坐标 把频率分布直方图划分左右两个面积 相等的分界线与 x 轴交点的横坐标 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中 点的横坐标之和

1 2 2 2 2 (2)方差:s = [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ].

n

标准差:

s=

1 2 2 2 [?x1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ].

n

4. 变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数. (2)最小二乘法:对于给定的一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),通过求 Q = ? (yi-a-bxi) 最小时,得到线性回归方程y=bx+a的方法叫做最小二乘法.
2

n

^

^

^

i=1

5. 独立性检验 对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量 X 和 Y,其样本频数列联表是:

y1 x1 x2
总计
2

y2 b d b+d

总计

a c a+c

a+b c+d n

n?ad-bc?2 则K= ( 其中 n=a+b+c+d 为样本容量). ?a+b??c+d??a+c??b+d?

考点一 抽样方法 例 1 (2012·山东)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机 编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到 的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A, 编号落入区间[451,750]的人做问卷 B, 其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 A.7 答案 C 解析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为 960 = 30 , 抽 取 的 号 码 依 次 为 32 B.9 C.10 D.15 ( )

9,39,69,?, 939.落入区间[451,750]的有 459,489,?,729, 这些数构成首项为 459, 公差为 30 的等差数列,设有 n 项,显然有 729=459+(n-1)×30,解得 n=10.所以做 问卷 B 的有 10 人. 在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需要分 成几个组,则分段间隔即为 (N 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号码

N n

数, 再从后面的每组中按规则抽取每个个体. 解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的, 都等于样本容量和总体容量的比值. (1)(2013·江西)总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成,利用 下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开 始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为 ( ) 7816 3204 A.08 6572 9234 B.07 0802 4935 C.02 6314 8200 0702 3623 D.01 4369 4869 9728 6938 0198 7481

(2)某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示, 现要从中抽取 40 名职工作样本. 用系 统抽样法, 将全体职工随机按 1~200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号, 6~ 10 号,?,196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 ________.若用分层抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取________人.

答案 (1)D (2)37 20 解析 (1)从第 1 行第 5 列、第 6 列组成的数 65 开始由左到右依次选出的数为:

08,02,14,07,01,所以第 5 个个体编号为 01. (2)由分组可 知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,即第 n 组抽取的号 码为 5n-3, 所以第 8 组抽出的号码为 37; 40 岁以下年龄段的职工数为 200×0.5=100, 40 则应抽取的人数为 ×100=20 人. 200 考点二 用样本估计总体 例 2 (1)(2013·四川)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得 数据的茎叶图如图所示, 以组距为 5 将数据分组成[0,5), [5,10), ?, [30,35), [35,40] 时,所作的频率分布直方图是 ( )

(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如 下: 运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 答案 (1)A (2)2 解析 (1)由于频率分布直方图的组距为 5,去掉 C、D,又[0,5),[5,10)两组各一人, 去掉 B,应选 A. 1 (2) x 甲= (87+91+90+89+93)=90, 5

x 乙= (89+90+91+88+92)=90,
2 2 2 2 2 s2 甲= [(87-90) +(91-90) +(90-90) +(89-90) +(93- 90) ]=4,

1 5

1 5 1 5

2 2 2 2 2 s2 乙= [(89-90) +(90-90) +(91-90) +(88-90) +(92-90) ]=2.

(1)反映样本数据分布的主要方式有:频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频 率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率,其高低能够描述频率的大小, 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识, 同时考查借助频率分布直方图估计总体的 概率分布和总体的特征数, 具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、 众数和中位数、 方差等. (2)由样本数据估计总体时,样本方差越小,数据越稳定,波动越小. 在“2012 魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中,参赛选手成绩的茎叶图和频率 分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如图,据此回答以下问题:

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高,并完成直方图; (2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析,在抽取的结果中,求至少有一份分 数在[90,100]之间的概率. 解 (1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为 2.

由频率分布直方图知,分数在[50,60)之间的频率为 0.008×10=0.08. 2 所以参赛总人数为 =25(人). 0.08 分数在[80,90)之间的人数为 25-2-7-10-2=4(人), 分数在[80,90)之间的频率为 4 =0.16, 25

0.16 得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为 =0.016. 10

完成直方图,如图.

(2)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4; [90,100]之间的 2 个分数编号为 5 和 6. 则在[80,100]之间任取两份的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3), (2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个, 其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 9 个. 9 3 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 = . 15 5 考点三 统计案例 例 3 (2013·重庆)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千 元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=1 84,?x
i=1 i=1 i=1 i=1
2 10 10 10 10

i

=720.

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

?xiyi-n x y
i=1

n

附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

,a= y -b x ,其中 x , y 为

x2 i-n ?x2
i=1
^ ^ ^

n

样本平均值,线性回归方程也可写为y=bx+a. 解 (1)由题意知 n=10, x = 1

xi= =8, n? 10
i=1

n

80

y=

1

yi= =2, n? 10
i=1 n

n

20

又 lxx= ?xi-n x =720-10×8 =80,
2 2 2

i=1

lxy= ?xiyi-n x
i=1

n

y =184-10×8×2=24,

由此得 b=

lxy 24 = =0.3, lxx 80

a= y -b x =2-0.3×8=-0.4,
故所求线性回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0), 故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y=0.3×7-0.4=1.7(千元).
^

(1)对具有线性相关关系的两个变量 可以用最小二乘法求线性回归方程,求b是关键,

?
^

n

?xi- x ??yi- y ? =
n

?xiyi-n x y
i=1

n

i=1

其中b=

.

?
i=1

?xi- x ?
2 2

2

?xi-n x
2

n

2

i=1

(2)在利用统计变量 K (χ )进行独立性检验时,应该注意数值的准确代入和正确计算, 最后把计算的结果与有关临界值相比较. (1)通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n?ad-bc? 2 2 由 K (χ )= 算得, ?a+b??c+d??a+c??b+d?
110×?40×30-20×20? K (χ )= ≈7.8. 60×50×60×50
2 2 2

附表:

P(K2(χ 2)≥k) k
参照附表,得到的正确结论是

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828 ( )

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” (2)已知 x、y 取值如下表:

x y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1
^

6 7.4

8 9.3
^ ^

从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则a等于 A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80

(

)

答案 (1)C (2)B 解析 (1)根据独立性检验的定义,由 K (χ )≈7.8>6.635 可知我们有 99%以上的把握 认为“爱好该项运动与性别有关”,故选 C. 1 (2)依题意得, x = ×(0+1+4+5+6+8)=4, 6
2 2

y = (1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)=5.25;
^ ^

1 6

又直线y=0.95x+a必过样本点中心( x , y ),即点(4,5.25),于是有 5.25=0.95×4
^ ^

+a,由此解得a=1.45.

1. 用样本估计总体 (1)在频率分布直方图中,各小长方形的面积表示相应的频率,各小长方形的面积的和 为 1. (2)众数、中位数及平均数的异同 众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量. (3)当总体的个体数较少时,可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布;当 总体容量很大时, 通常从总体中抽取一个样本, 分析它的频率分布, 以此估计总体分布. 1n ①总体期望的估计,计算样本平均值 x = i ∑ xi. =1

n

②总体方差(标准差)的估计: 1n 2 方差= i ∑ (xi- x ) ,标准差= 方差, =1

n

方差(标准差)较小者较稳定.
^ ^ ^

2. 线性回归方程y =b x+a 过样本点中心( x , y ), 这为求线性回归方程带来很多方便. 3. 独立性检验 (1)作出 2×2 列联表. (2)计算随机变量 K (χ )的值. (3)查临界值,检验作答.
2 2

1. 经问卷调查,某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中 持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多 12 人, 按分层抽样的方法(抽样过程中 不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈.若抽样得出的 9 位同学中 有 5 位持“喜欢”态度的同学,1 位持“不喜欢”态度的同学和 3 位持“一般”态度的 同学,则全班持“喜欢”态度的同学人数为 A.6 答案 C 解析 由题意设全班学生为 x 人, 持“喜欢”、 “不喜欢”和“一般”态度的学生分别 5 1 1 1 1 占全班人数的 、 、 ,所以 x( - )=12,解得 x=54,所以全班持“喜欢”态度的人 9 9 3 3 9 5 数为 54× =30.故选 C. 9 2. 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数) 分成六段[40,50),[50,60),?,[90,100]后得到如图的频率分布直方图,请你根据频 率分布直方图中的信息,估计出本次考试数学成绩的平均分为________. B.18 C.30 D.54 ( )

答案 71 解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为 0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05, 又由 频率分布直方图,得每一组数据的中点值依次为 45,55,65,75,85,95. 所以本次考试数学成绩的平均分为 x =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+ 85×0.25+95×0.05=71. 故填 71. 3. 随机抽取某中学甲、 乙两班各 10 名同学, 测量他们的身高(单 位:cm),获得身高数据的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率. 解 (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 cm~179 cm 之间,而乙班身高集中于 170

cm~180 cm 之间,因此乙班平均身高高于甲班,其中

x 甲=

158+162+163+168+168+170+171+179+179+182 10

=170,

x 乙=

159+162+165+168+170+173+176+178+179+181 10

=171.1. (2) 甲班的样本方差为
2

1 2 2 2 2 [(158 - 170) + (162 - 170) + (163 - 170) + (168 - 170) + 10
2 2 2 2 2

(168-170) +(170-170) +(171-170) +(179-170) +(179-170) +(182-170) ] =57.2. (3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A. 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低于 173 cm 的同学有:(181,173)、(181,176)、 (181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、 (176,173),共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件, 4 2 ∴P(A)= = . 10 5

(推荐时间:60 分钟) 一、选择题 1. 要完成下列两项调查:①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取 1 000 根火腿肠进行“瘦 肉精”检测;②从某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 人调查学习负担情况.适合采用 的抽样方法依次为 ( )

A.①用分层抽样,②用简单随机抽样 B.① 用系统抽样,②用简单随机抽样 C.①②都用系统抽样 D.①②都用简单随机抽样 答案 B 解析 ①中总体容量较大,且火腿肠之间没有明显差异,故适合采用系统抽样;②中总 体容量偏小,故适合采用简单随机抽样. 2. (2012·四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其中

甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( A.101 答案 B 解析 101, 12 101 故有 = ,解得 N=808. 96 N 3. (2013·福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生 ,将他们的模块测试成绩分成 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图 所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不 少于 60 分的学生人数为 ( ) 12 由题意知抽样比为 ,而四个社区一共抽取的驾驶员人数为 12+21+25+43= 96 ) B.808 C.1 212 D.2 012

A.588 答案 B

B.480

C.450

D.120

解析 少于 60 分的学生人数 600×(0.05+0.15)=120(人), ∴不少于 60 分的学生人数为 480 人. 4. 甲、乙两位运动员在 5 场比赛的得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别 为 x 甲, x 乙,则下列判断正确的是 ( )

A. x 甲> x 乙;甲比乙成绩稳定 B. x 甲> x 乙;乙比甲成绩稳定 C. x 甲< x 乙;甲比乙成绩稳定 D. x 甲< x 乙;乙比甲成绩稳定 答案 D 解析 由茎叶图可知

x 甲=

17+16+28+30+34 =25, 5

x 乙=

15+28+26+28+33 =26, 5
乙.

∴ x 甲< x

1 2 2 2 2 2 2 又 s甲= [ (17-25) +(16-25) +(28-25) +(30-25) +(34-25) ]=52, 5
2 2 2 2 2 s2 乙= [(15-26) +(28-26) +(26-26) +(28-26) +(33-26) ]=35.6,

1 5

∴乙比甲成绩稳定. 5. 一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an},若 a3=8, 且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是 A.13,12 答案 B 解析 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),a3=8,a1a7=a3=64,(8-2d)(8+4d)=64, (4 - d)(2 + d) = 8,2d - d = 0 , 又 d≠0 , 故 d = 2 , 故 样 本 数 据 为 ?4+22?×5 12+14 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22, 样本的平均数为 =13, 中位数为 = 10 2 13,故选 B. 6. 2011 年 6 月,台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件,令世人震惊.我国某研究所为 此开发了一种用来检测塑化剂的新试剂, 把 500 组添加了该试剂的食品与另外 500 组未 添加该试剂的食品作比较,提出假设 H0:“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”, 并计算出 P(K ≥6.635)≈0.01.对此,四名同学做出了以下的判断:
2 2 2

(

)

B.13,13

C.12,13

D.13,14

p :有 99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化的作用”; q:随意抽出一组食品,它有 99%的可能性添加了塑化剂; r:这种试剂能检测出塑化剂的有效率为 99%; s:这种试剂能检测出塑化剂的有效率为 1%.
则下列命题中为真命题的是 A.p∧q C.(綈 p∧綈 q)∧(r∨s) 答案 D 解析 提 出 假 设 H0“ 这 种 试 剂 不 能 起 到 检 测 出 塑 化 剂 的 作 用 ” , 并 计 算 出 B.綈 p∧q D.(p∨綈 r)∧(綈 q∨s) ( )

P(K2≥6.635)≈0.01,因此,在一定程度上说明假设不合理,我们就有 99%的把握拒绝
假设.由题设可知命题 p,r 为真命题,q,s 为假命题,依据复合命题的真值表可知 D 为真命题. 二、填空题

7. (2013·湖北)从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查, 发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方图如图所示. (1)直方图中 x 的值为 __________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为________.

答案 (1)0.004 4 (2)70 解析 (1)(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1, ∴x=0.004 4. (2)(0.003 6+0.004 4+0.006 0)×50×100=70. 8. 下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产 A 产品过程中记录的 产量 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨)的几组对应数据:

x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5
^

t

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35,那么表中 t 的 值为________. 答案 3 解析 ∴ 11+t? ? ∵样本点中心为?4.5, ?, 4 ? ?

11+t =0.7×4.5+0.35,解得 t=3. 4

9. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时,五位评委给分如下: 9.0 9.1 8.9 9.2 8.8 则五位评委给分的方差为________. 答案 0.02 解析 评委给分的平均数为 1 ×(9.0+9.1+8.9+9.2+8.8)=9.0, 5 1 2 2 2 2 2 方差为 ×[(9.0- 9.0) +(9.1- 9.0) +(8.9 -9.0) + (9.2 -9.0) +(8.8 - 9.0) ] = 5 0.1 =0.02. 5 10.某校开展“爱我海西、爱我家乡 ”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分

后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中 的 x)无法看清,若 记分员计算无误,则数字 x 应该是__________. 答案 1 89+89+92+93+92+91+94 640 解析 当 x≥4 时, = ≠91, 7 7 89+89+92+93+92+91+x+90 ∴x<4,∴ =91, 7 ∴x=1. 三、解答题 11.(2013·陕西)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决 定歌手名次,根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下: 组别 人数

A
50

B
100

C
150

D
150

E
50

(1)为了调查评委对 7 位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从 B 组中抽取了 6 人.请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 人数 抽取人数

A
50

B
100 6

C
150

D
150

E
50

(2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到 的评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率. 解 (1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽取的人数如下表: 组别 人数 抽取人数

A
50 3

B
100 6

C
150 9

D
150 9

E
50 3

(2)记从 A 组抽到的 3 位评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 位评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,

b3,b4,b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为:

由以上树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 4 2 共 4 种,故所求概率 P= = . 18 9 12. (2012·辽宁)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该

体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中 有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表, 并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”, 已知“超级体育 迷”中有 2 名女性, 若从“超级体育迷”中任意选取 2 人, 求至少有 1 名女性观众的概 率. 附: 体育迷 合计

P(K2≥k) k


0.05 3.841

0.01 6.635

(1)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人, 从而完成 2×2

列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 100×?30×10-45×15? K= 75×25×45×55
2 2



100 ≈3.030. 33

因为 3.030<3.841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切可能结果所组成的基本 事件空间为 Ω ={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,

b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2.
Ω 由 10 个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件,则

A={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},事件 A
7 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= . 10


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