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2016哈尔滨职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 哈尔滨职业技术学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题 (1)设集合 M={4,5,6,8},集合 N={3,5,7,8}那么 M∪N= (A){3,4,5,6,7,8} (D){4,5,6,8} (B){5,8} (C){3,5,7,8}

(2)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是 (3)某商场买来一车苹果,从中随机抽取了 10 个苹果,其重量(单位:克)分别为: 150,152,153, 149,148,146,151,150,152,147,由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150.2 克 (D)147.8 克 (4)如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是 .. (A)BD∥平面 CB1D1 (C)AC1⊥平面 CB1D1 (5)如果双曲线 距离是 (A)
4 6 3

(B)149.8 克

(C)149.4 克

(B)AC1⊥BD (D)异面直线 AD 与 CB 所成的角为 60°

x2 y2 ? =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的 4 2

(B) (D) 2 3

2 6 3

(C) 2 6

(6)设球 O 的半径是 1,A、B、C 是球面上三点,已知 A 到 B、C 两点的

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球面距离都是

? ? ,且二面角 B-OA-C 的大小是 ,则从 A 点沿球面经 B、C 2 3

两点再回到 A 点的最短距离是 (A)
7? 6

(B)

5? 4

(C)

4? 3

(D)

3? 2

(7)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其降 n 项和 Sn=100,则 n= (A)9 (D)12 (B)10 (C)11

(8)设 A(a,1),B(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为 A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12

(9)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20 000 大的五位偶数共有 A.48 个 B.36 个 C.24 个 D.18 个

(10)已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

(11)某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小 于对项目乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万 3

元可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确 提财投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为 A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元

(12)如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 与 l3 同的距离是 2, 正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长是 A.2 3 B.

4 6 3

C.

3? 7 4

D.

2 ? 21 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题横线上.

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(13). ? x ?

? ?

1? ? 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是. x?

n

三、解答题:本大题共 6 小题。共 74 分,解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤 (17)(本小题满分 12 分) 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家对一般产品致冷商家的,商家符合规定 拾取一定数量的产品做检验,以决定是否验收这些产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.3,从中任意取出 4 种进行检验, 求至少要 1 件是合格产品的概率. (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任 取 2 件,来进行检验,只有 2 件产品合格时才接收这些产品,否则拒收,分别求出该 商家计算出不合格产品为 1 件和 2 件的概率,并求该商家拒收这些产品的概率。

(18)(本小题满分 12 分) 已知 cosα=
1 π 13 ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 2 14

(Ⅰ)求 tan2α 的值; (Ⅱ)求 β.

(19) (本小题满分 12 分) 如图,平面 PCBM⊥平面 ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°,又 AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90° (Ⅰ)求证:AC⊥BM; (Ⅱ)求二面角 M-AB-C 的大小;

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(Ⅲ)求多面体 PMABC 的体积.

(20)(本小题满分 12 分)
设函数 f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y -7=0 垂直,导函数 f'(x)的最小值为-12. (Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在〔-1,3〕上的最大值和最小值.

(21)(本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 求 F1、F2 分别是横线 4 ???? 2 ???? ?2 5 (Ⅰ)若 r 是第一象限内该数轴上的一点, PF1 ? PF2 ? ? ,求点 P 的作标; 4
(Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B,且∠ADB 为锐角(其中 O 为作标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

(22)(本小题满分 14 分)
已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与 x 轴的交点为 (xn+1,u)(u,N +),其中为正实数. (Ⅰ)用 xx 表示 xn+1; x ?2 (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg n ,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式; xn ? 2 (Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

(含详细解析)

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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1、设集合 M ? {4,5,6,8} ,集合 N ? {3,5, 7,8} ,那么 M ? N ? ( (A) {3, 4,5,6,7,8} (D) M ? {4,5,6,8} 解析:选 A. 2、函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2? x?1 在同一直角坐标系下的图象大致是( ) (B) {5,8} )

(C) {3,5,7,8}

解析:选 C. 3、某商场买来一车苹果,从中随机抽取了 10 个苹果,其重量(单位:克)分别为: 150,152,153,149,148,146,151,150,152,147,由此估计这车苹果单个重 量的期望值是( (A)150.2 克 147.8 克 解析:选B. 4、如图, ABCD ? A 的是( 1B 1C1D 1 为正方体,下面结论错误 .. (A) BD // 平面 CB1D1 (B) AC1 ? BD (C) AC1 ? 平面 CB1D1 (D)异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 解析:选D. ) ) (B)149.8 克 (C)149.4 克 (D)

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5、如果双曲线 离是( (A) )

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距 4 2

4 6 3

(B)

2 6 3

(C) 2 6

(D) 2 3

解析:选 A.由点 P 到双曲线右焦点 ( 6, 0) 的距离是 2 知 P 在双曲线右支上.又由双 曲线的第二定义知点 P 到双曲线右准线的距离是

2 6 ,双曲线的右准线方程是 3

x?

2 6 4 6 ,故点 P 到 y 轴的距离是 . 3 3

6、设球 O 的半径是 1, A 、 B 、 C 是球面上三点,已知 A 到 B 、 C 两点的球面距离 都是

? ? ,且二面角 B ? OA ? C 的大小是 ,则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再 2 3
) (B) (D)

回到 A 点的最短距离是( (A) (C)

7? 6

5? 4

4? 3
2 3 2 3

3? 2

? ? CA ? ? ? ? ? ? ? ? 4? .本题考查球面距离. AB ? BC 解析:选 C. d ? ?
7、等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a3 ? a5 ? 14 ,其前 n 项和 Sn ? 100 ,则 n ? ( (A)9 解析:选B. 8、设 A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 (B)10 (C)11 (D)12 )

??? ?

??? ?

??? ? OC 方向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为(
(A) 4a ? 5b ? 3 (B) 5a ? 4b ? 3

) (D)

(C) 4a ? 5b ? 14

5a ? 4b ? 14
解析:选 A.由 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同,可得: OA ? OC ? OB ? OC 即

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

4a ? 5 ? 8 ? 5b , 4a ? 5b ? 3 .

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9、用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有 ( ) (A)48 个 (B)36 个 (C)24 个 (D)18 个

3 3 解析:选B.个位是 2 的有 3 A3 ? 18 个,个位是 4 的有 3 A3 ? 18 个,所以共有 36 个.

10、已知抛物线 y ? ? x2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、 B ,则 AB 等于( ) (B)4 (C) 3 2 (D) 4 2

(A)3

解析:选 C.设直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,由

? y ? ? x2 ? 3 ? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 ,进而可求出 AB 的中点 ? ?y ? x ?b
1 1 1 1 M ( ? , ? ? b) ,又由 M ( ? , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 b ? 1 ,∴ 2 2 2 2

x2 ? x ? 2 ? 0 ,由弦长公式可求出 AB ? 1 ? 12 12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .本题考查直线
与圆锥曲线的位置关系.自本题起运算量增大. 11、某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于 对项目乙投资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元 3
) (D)24 万元

可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规 划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( (A)36 万元 (B)31.2 万元

(C)30.4 万元

解析:选 B.对甲项目投资 24 万元,对乙项目投资 36 万元,可获最大利润 31.2 万 元.因为对乙项目投资获利较大,故在投资规划要求内(对项目甲的投资不小于对项 目乙投资的 乙投资的

2 倍)尽可能多地安排资金投资于乙项目,即对项目甲的投资等于对项目 3

2 倍时可获最大利润.这是最优解法.也可用线性规划的通法求解.注意线 3

性规划在高考中以应用题型的形式出现.

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12、如图, l1 、 l2 、 l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 、 l2 、 l3 上,则⊿ ABC 的边长是 ( ) (A)2 3 (B)

4 6 3 2 21 3

(C)

3 17 4

(D)

解析:选 D.过点C作 l2 的垂线 l4 ,以 l2 、 l4 为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系.设

A(a,1) 、 B(b, 0) 、 C (0, ?2) ,由 AB ? BC ? AC 知

(a ? b)2 ? 1 ? b2 ? 4 ? a2 ? 9 ? 边长2 ,检验 A: (a ? b)2 ? 1 ? b2 ? 4 ? a2 ? 9 ? 12 ,无 32 解;检验 B: (a ? b) 2 ? 1 ? b 2 ? 4 ? a 2 ? 9 ? ,无解;检验 D: 3 28 ( a ? b) 2 ? 1 ? b 2 ? 4 ? a 2 ? 9 ? ,正确.本题是把关题.在基础中考能力,在综合中 3
考能力,在应用中考能力,在新型题中考能力全占全了.是一道精彩的好题.可惜区 分度太小.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分;把答案填在题中的横线上.
n 13、 ( x ? ) 的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是.

1 x

解析: n ? 8 . 14、在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长为 1,则 BC1 与 侧面 ACC1 A1 所成的角是____________ 解析: BC1 ? 3 ,点 B 到平面 ACC1 A1 的距离为

1 3 ,∴ sin ? ? , ? ? 30? . 2 2

15、已知 ? O 的方程是 x2 ? y 2 ? 2 ? 0 , ? O ' 的方程是 x2 ? y 2 ? 8x ? 10 ? 0 ,由动点

P 向 ? O 和 ? O ' 所引的切线长相等,则运点 P 的轨迹方程是__________________
解析: ? O :圆心 O(0, 0) ,半径 r ? 2 ; ? O ' :圆心 O '(4,0) ,半径 r ' ? 6 .设

P( x, y) ,由切线长相等得

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x2 ? y2 ? 2 ? x2 ? y2 ? 8x ? 10 , x ?
16、下面有 5 个命题: ①函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? ; ②终边在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ?

3 . 2

k? , k ? Z}; 2

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? x 的图象有 3 个公共点; ④把函数 y ? 3sin(2 x ?

?
3

) 的图象向右平移

? 得到 y ? 3sin 2 x 的图象; 6

⑤角 ? 为第一象限角的充要条件是 sin ? ? 0 其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号) 解析:① y ? sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x ? cos2 x ? ?cos2x ,正确;②错误;③ y ? sin x ,

y ? tan x 和 y ? x 在第一象限无交点,错误;④正确;⑤错误.故选①④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 12 分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给 商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这些 产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出 4 种进行检验,求至 少要 1 件是合格产品的概率. (Ⅱ)若厂家发给商家 20 件产品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件,来进行检验,只有 2 件产品合格时才接收这些产品,否则拒收,分别求出该商家 计算出不合格产品为 1 件和 2 件的概率,并求该商家拒收这些产品的概率。 解析:本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考查运用所学知识与方法解 决实际问题的能力. (Ⅰ)记“厂家任取 4 件产品检验,其中至少有 1 件是合格品”为事件 A .用对立事 件 A 来算,有

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P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.24 ? 0.9984
(Ⅱ)记“商家任取 2 件产品检验,其中不合格产品数为 i 件” (i ? 1, 2) 为事件 Ai .
1 1 C17 C3 51 P( A1 ) ? 2 ? C20 190

P( A2 ) ?

C32 3 ? 2 C20 190

∴商家拒收这批产品的概率

P ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

51 3 27 ? ? . 190 190 95

故商家拒收这批产品的概率为

27 . 95

18、(本小题满分 12 分)已知 cos ? ? (Ⅰ)求 tan 2? 的值; (Ⅱ)求 ? .

1 13 π , cos(? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? . 7 14 2

解析:本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值 求角以及计算能力. (Ⅰ)由 cos ? ?

1 π 1 4 3 , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( )2 ? . 7 2 7 7

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 ? ? ?4 3. cos ? 7 1

于是 tan 2? ?

2 tan ? 2? 4 3 8 3 . ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? (4 3)2 47
π ? ,得 0 ? ? ? ? ? . 2 2
13 , 14

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ?

又∵ cos(? ? ? ) ?

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∴ sin(? ? ? ) ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? 1 ? ( 由 ? ? ? ? (? ? ? ) ,得

13 2 3 3 . ) ? 14 14

c o? s ?

c? o ? s? [ ? ?(

) ]

? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ? 7 14 7 14 2
∴? ?

π . 3

19、(本小题满分 12 分)如图,平面 PCBM ? 平面 ABC ,

?PCB ? 90? , PM // BC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°,又 AC ? 1 , BC ? 2 PM ? 2 , ?ACB ? 90? .
(Ⅰ)求证: AC ? BM ; (Ⅱ)求二面角 M ? AB ? C 的大小; (Ⅲ)求多面体 PMABC 的体积. 解析:本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、棱锥体积等有关 知识,考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化 能力和推理运算能力. (Ⅰ)∵平面 PCBM ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? 平面 ABC . ∴ AC ? 平面 PCBM 又∵ BM ? 平面 PCBM ∴ AC ? BM (Ⅱ)取 BC 的中点 N ,则 CN ? 1 .连接 AN 、 MN . ∵平面 PCBM ? 平面 ABC ,平面 PCBM ? 平面 ABC ? BC , PC ? BC .

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∴ PC ? 平面 ABC . ∵ PM // CN ,∴ MN // PC ,从而 MN ? 平面 ABC .
? ?

作 NH ? AB 于 H ,连结 MH ,则由三垂线定理知 AB ? MH . 从而 ?MHN 为二面角 M ? AB ? C 的平面角. ∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°, ∴ ?AMN ? 60? . 在 ?ACN 中,由勾股定理得 AN ? 2 . 在 Rt ?AMN 中, MN ? AN ? cot ?AMN ? 2 ?

3 6 . ? 3 3

在 Rt ?BNH 中, NH ? BN ? sin ?ABC ? BN ?

AC 1 5 . ? 1? ? AB 5 5

6 MN 30 ? 3 ? 在 Rt ?MNH 中, tan ?MHN ? NH 3 5 5
故二面角 M ? AB ? C 的大小为 arc tan

30 3

(Ⅱ)如图以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz . 设 P(0,0, z0 ) ( z0 ? 0) , 有 B(0, 2, 0) , A(1, 0, 0) , M (0,1, z0 ) .

???? ? ??? ? AM ? (?1,1, z0 ) , CP ? (0,0, z0 )
由直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°,得

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? AM ? CP ? AM ? CP ? cos 60?
2 即 z0 ?

1 2 6 z0 ? 2 ? z0 ,解得 z0 ? . 2 3

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??? ? 6 ) , AB ? (?1,2,0) 3 ?? 设平面 MAB 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则
∴ AM ? (?1,1,

???? ?

? ???? ? ? 6 ?? ? z?0 ?n ? AM ? 0 ?? x ? y ? 由 ? ? ??? ,取 z1 ? 6 ,得 n1 ? (4, 2, 6) ?? ? 3 ?n ? AB ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ? ? ?? ? 取平面 ABC 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1)
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 6 39 则 cos ? n1, n2 ? ? ?? ?? ? ? ? 26 ?1 13 n1 ? n2
由图知二面角 M ? AB ? C 为锐二面角,故二面角 M ? AB ? C 的大小为

arccos

39 . 13

(Ⅲ)多面体 PMABC 就是四棱锥 A ? BCPM

1 1 1 1 1 6 6 VPMABC ? VA? PMBC ? ? S PMBC ? AC ? ? ? ( PM ? CB) ? CP ? AC ? ? ? (2 ? 1) ? ?1 ? 3 3 2 3 2 3 6


20、(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点

(1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 .
(Ⅰ)求 a , b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间,并求函数 f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值和最小值.
解析:本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及 推理能力和运算能力.

(Ⅰ)∵ f ( x) 为奇函数, ∴ f ( ? x ) ? ? f ( x) 即 ?ax3 ? bx ? c ? ?ax3 ? bx ? c ∴c ? 0

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∵ f '( x) ? 3ax 2 ? b 的最小值为 ?12 ∴ b ? ?12 又直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 的斜率为 因此, f '(1) ? 3a ? b ? ?6 ∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x) ? 2 x3 ?12 x .

1 6

f ' ( x? )

2

x 6 ?

? 1 2 x ?6 (
? 2
0
极大

x,列表如下: ?2 ) ( 2 ) (? 2, 2)
?
?

x
f '( x) f ( x)

(??, ? 2)

2
0
极小

( 2, ??)

?
?

?
?

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 (??, ? 2) 和 ( 2, ??) ∵ f (?1) ? 10 , f ( 2) ? ?8 2 , f (3) ? 18 ∴ f ( x) 在 [?1,3] 上的最大值是 f (3) ? 18 ,最小值是 f ( 2) ? ?8 2 .

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点. 21、(本小题满分 12 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆 4
(Ⅰ)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 PF1 ? PF2 ? ?

???? ???? ?

5 ,求点 P 的作标; 4

(Ⅱ)设过定点 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于同的两点 A 、 B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为作标原点),求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解析:本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合运用数学知识 解决问题及推理计算能力. (Ⅰ)易知 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 . ∴F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) .设 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) .则

???? ???? ? 5 x2 PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x, ? y )( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? ,又 ? y 2 ? 1, 4 4

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7 ? 2 x ? y2 ? ?x ? 1 ? x2 ? 1 ? 3 ? 4 ? ? 联立 ? 2 ,解得 ? 3?? 3 , P(1, 2 ) . 2 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ? ?4 (Ⅱ)显然 x ? 0 不满足题设条件.可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2)2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ? 12 16k ∴ x1 x2 ? , x1 ? x2 ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 由 ? ? (16k )2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) ?12 ? 0 3 16k 2 ? 3(1 ? 4k 2 ) ? 0 , 4k 2 ? 3 ? 0 ,得 k 2 ? .① 4 ??? ? ??? ? 又 ?AOB 为锐角 ? cos ?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 , ??? ? ??? ? ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

12 16k ? 2k ? ( ? )?4 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 12(1 ? k 2 ) 2k ?16k ? ? ?4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4(4 ? k 2 ) ? ?0 1 ? 4k 2 ? (1 ? k 2 ) ?

1 ? k 2 ? 4 .② 4 3 3 3 2 综①②可知 ? k ? 4 ,∴ k 的取值范围是 (?2, ? ) ? ( , 2) . 4 2 2
∴?

22、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 4 ,设曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线与 x 轴的交点为 ( xn?1 ,0) (n ? N *) ,其中 x1 为正实数.
(Ⅰ)用 xn 表示 xn ?1 ; (Ⅱ)若 x1 ? 4 ,记 an ? lg

xn ? 2 ,证明数列 {an } 成等比数列,并求数列 {xn } 的通项公 xn ? 2

式; (Ⅲ)若 x1 ? 4 , bn ? xn ? 2 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,证明 Tn ? 3 . 解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、计算及解决 问题的能力.

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(Ⅰ)由题可得 f '( x) ? 2 x . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f (xn ))处的切线方程是: y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) .
2 即 y ? ( xn ? 4) ? 2xn ( x ? xn ) . 2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2xn ( xn?1 ? xn ) . 2 即 xn ? 4 ? 2xn xn?1 .

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ? (Ⅱ)由 xn ?1 ?

xn 2 ? . 2 xn

xn 2 x ( x ? 2)2 ( x ? 2)2 2 ,同理 xn?1 ? 2 ? n . ? ,知 xn?1 ? 2 ? n ? ? 2 ? n 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn x ?2 x ?2 2 故 n ?1 ?( n ) . xn ?1 ? 2 xn ? 2 x ?2 x ?2 从而 lg n ?1 ,即 an?1 ? 2an .所以,数列 {an } 成等比数列. ? 2lg n xn?1 ? 2 xn ? 2 x ?2 n ?1 n ?1 故 an ? 2 a1 ? 2 lg 1 ? 2n?1 lg 3 . x1 ? 2 x ?2 即 lg n ? 2n?1 lg 3 . xn ? 2 n ?1 x ?2 从而 n ? 32 xn ? 2
所以 xn ?

2(32 ? 1)
n?1

n?1

32 ? 1 n?1 2(32 ? 1) (Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ? , n?1 32 ? 1 4 ?0 ∴ bn ? xn ? 2 ? 2n?1 3 ?1 n?1 bn?1 32 ? 1 1 1 1 1 ∴ ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? bn 3 3 ?1 3 ? 1 3 3 当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 . 1 1 2 1 n ?1 当 n ? 1 时, bn ? bn ?1 ? ( ) bn ? 2 ? ? ? ( ) b1 3 3 3 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1 1 ? b1 ? b1 ? ? ? ( ) n ?1 b1 3 3 1 b1[1 ? ( ) n ] 3 ? 1 1? 3

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1 ? 3 ? 3 ? ( )n ? 3 . 3 综上, Tn ? 3 (n ? N *) .


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